中考专题复习(二)　规律与猜想

专题复习(二)规律与猜想类型1数式的变化规律解题策略：1.找出等式中“变”与“不变”的部分．2．分析出“变”的规律．3．常用数字规律有：(1)正整数列规律：1，2，3，…，n；(2)奇(偶)数列规律：1，3，5，…，2n－1(2，4，6，…，2n)；(3)2，4，8，16，…，2n；(4)3，9，27，81，…，3n；(5)正整数和：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)；(6)正奇数和：1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2；(7)正偶数和：2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)．(2022·黄石)观察下列各式：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)；eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；…请按上述规律，写出第n个式子的计算结果(n为正整数)1－eq\f(1,n＋1)．(写出最简计算结果即可)【思路点拨】观察式子，可发现分数可两两相消，用n表示其一般规律即可得到答案．1．(2022·岳阳)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22017的末尾数字是(B)A．0 B．2 C．4 D．62．(2022·日照)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为(B)A．23 B．75 C．77 D．1393．(2022·武汉)按照一定规律排列的n个数：－2，4，－8，16，－32，64，…，若最后三个数的和为768，则n为(B)A．9 B．10 C．11 D．124．(2022·郴州)已知a1＝－eq\f(3,2)，a2＝eq\f(5,5)，a3＝－eq\f(7,10)，a4＝eq\f(9,17)，a5＝－eq\f(11,26)，…，则a8＝eq\f(17,65)．5．(2021·恩施)观察下列等式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)；1＋3＋6＋10＋…＋eq\f(1,2)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋20＋…＋eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；则有：1＋5＋15＋35＋…＋eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．6．(2021·黄石)观察下列等式：第1个等式：a1＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1，第2个等式：a2＝eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)，第3个等式：a3＝eq\f(1,\r(3)＋2)＝2－eq\r(3)，第4个等式：a4＝eq\f(1,2＋\r(5))＝eq\r(5)－2，…按上述规律，回答以下问题：(1)第n个等式：an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝eq\r(n＋1)－1．7．(2021·南宁)观察下列等式：第一层1＋2＝3第二层4＋5＋6＝7＋8第三层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第四层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述的数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层．8．(2022·内江)观察下列等式：①a1＝eq\f(2,1＋3×2＋2×22)＝eq\f(1,2＋1)－eq\f(1,22＋1)；②a2＝eq\f(22,1＋3×22＋2×（22）2)＝eq\f(1,22＋1)－eq\f(1,23＋1)；③a3＝eq\f(23,1＋3×23＋2×（23）2)＝eq\f(1,23＋1)－eq\f(1,24＋1)；④a4＝eq\f(24,1＋3×24＋2×（24）2)＝eq\f(1,24＋1)－eq\f(1,25＋1)，…按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a6＝eq\f(26,1＋3×26＋2×（26）2)＝eq\f(1,26＋1)－eq\f(1,27＋1)；(2)用含n的代数式表示第n个等式an＝eq\f(2n,1＋3×2n＋2×（2n）2)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1＋1)；(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝eq\f(14,43)；(得出最简结果)(4)计算：a1＋a2＋…＋an＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2n＋1＋1)．类型2图形的变化规律解题策略：(1)标序号：记每组图形的序号为“1，2，3，…，n”；(2)数图形的个数：在图形数量变化时，要记出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序号数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比较，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数；(4)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．(注：当图形变化规律不明显时，可把序号数n作为自变量，把第n个图形的个数看作是函数值，设函数解析式为y＝an2＋bn＋c，再代入三组值进行计算即可，若a＝0，则是一次函数)(2022·临沂)将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是(B)A．11B．12C．13D．14【思路点拨】第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n个图形有1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)个小圆；小圆个数为78时，可求出n的值．1．(2021·荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为(B)第1个图案第2个图案第3个图案A．671 B．672C．673 D．6742．(2022·重庆改编)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第n个图形中菱形的个数为91，则n的值为(B)A．8 B．9 C．10 D．113．(2022·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，下图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为(B)A．84株 B．88株C．92株 D．121株4．(2022·白银)下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为9，第2017个图形的周长为8__069．5．(2022·天水)观察下列的“蜂窝图”：则第n个图案中的“”的个数是3n＋1．(用含n的代数式表示)6．(2022·济宁)如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是eq\f(\r(3),18)．7．(2022·威海)某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3所示的图案，第四次拼成形如图4所示的图案，…按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共有地砖(2n2＋2n)块．类型3坐标的变化规律解题策略：坐标的变化规律探究是数的探究和图形的探究的综合．因为点附在图形上，图形在做有规律的变换导致图形的点在做有规律的变换，所以，在探究时，先分析图形的变换规律，根据图形的变换规律求出前面几个点的坐标，然后利用分析数的变换规律的方法分析出一般的规律，再按照一般的规律写出任何一个要求的点的坐标．(2022·内江)如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥l轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为A3，…，这样依次下去，得到一组线段A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为(B)A．(eq\f(\r(3),2))2015B．(eq\f(\r(3),2))2016C．(eq\f(\r(3),2))2017D．(eq\f(\r(3),2))2018【思路点拨】先根据已知条件求出A0A1，A1A2，A2A3的线段长，最后分析三条线段的长度，结合计算的过程探究其一般规律，最后将n值代入即可．解析：∵k＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A1OA0＝30°.∴A0A1＝2×eq\f(1,2)＝1；A1A2＝1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)；A2A3＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)；…；以此类推，An－1An＝(eq\f(\r(3),2))n－1∴A2016A2017＝(eq\f(\r(3),2))2016.1．(2021·岳阳)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律，点P2016的坐标为(504，－504)．第1题图第2题图2．(2022·衡阳)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2018的纵坐标是22__017．3．(2022·齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则A2017的坐标为(0，21__008)．第3题图第4题图4．(2022·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三