数字逻辑第1章概论

第1章数字逻辑概论第1章数字逻辑概论

1.1概述 1.2数制系统

1.3有符号二进制数的编码表示

1.4二进制编码 1.5本章小结

1.6习题1.1.1数字系统的发展简史第一次变革发生在以加工制造为主导的IC产业发展的初级阶段。第二次变革的标志是代加工公司与IC设计公司的崛起。第三次变革发生在20世纪90年代初，1.1概述数字信号具有以下特点：（1）抗干扰能力强、无噪声积累。（2）便于加密处理。（3）便于存储、处理和交换。（4）设备便于集成化、微型化。（5）占用信道频带较宽1.1概述2.数字系统处理模拟信号的系统是模拟系统，处理数字信号的是数字系统。数字系统具有如下几个优点：

（1）数字系统具有较小的误差，有较强的稳定性、可靠性和抗干扰能力。（2）数字系统具有更高的精确性。（3）数字系统不但适用于数值性信息的处理，而且适用于非数值性信息的处理，而模拟系统只能处理数值型信息。（4）数字系统处理信息可将一项大任务划分为多项独立的子任务，并且这些子任务能被按顺序分别完成，这样可以形成模块化和成本较低的系统。（5）数字系统处理信息可以采用通用的信息处理系统（比如计算机）来处理不同的任务，从而减少专门系统的成本。1.1概述3.数字系统的层次结构1.1概述第5级第4级第3级第2级第1级VLSI级MSI、LSI级SSI级元件级复杂系统、从第2级到第4级的功能部件功能逻辑单元，如加法器，计数器，乘法器更复杂的功能逻辑单元，如微处理器功能逻辑单元，如门，触发器等电子元件，如晶体管，二极管，电阻，电容1.2.1数制的基本概念1.数码：数制中表示基本数值大小的不同数字符号。例如，十进制有10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。2.基数：数制所使用数码的个数。例如，二进制的基数为2；十进制的基数为10。3.位权：数制中某一位上的1所表示数值的大小（所处位置的价值）。例如，十进制的123，1的位权是100，2的位权是10，3的位权是1。1.2数制系统4.数制：计数的规则。在人们使用最多的进位计数制中，表示数的符号在不同的位置上时所代表的数的值是不同的。5.十进制:人们日常生活中最熟悉的进位计数制。在十进制中，数用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个符号来描述。计数规则是逢十进一。6.二进制:在计算机系统中采用的进位计数制。在二进制中，数用0和1两个符号来描述。计数规则是逢二进一。7.十六进制:人们在计算机指令代码和数据的书写中经常使用的数制。在十六进制中，数用0，1，…，9和A,B,…，F（或a，b，…，f）16符号来描述。计数规则是逢十六进一。1.2数制系统1.2.2进位计数制（前导课程已学，回顾）1.十进制计数制2.二进制计数制3.八进制计数制和十六进制计数制1.2.3数制转换（前导课程已学，回顾）1.二进制数、八进制数和十六进制数转换为十进制数2.十进制数转换为二进制数3.二进制、八进制和十六进制之间的转换1.2数制系统【例5】分别将二进制数(11010.101)2和十六进制数(B6F.C)16转换为十进制数。

解:

(11010.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=16+8+0+2+0+0.5+0+0.125=(26.625)10(B6F.C)16=11×162+6×161+15×160+12×16-1=2816+96+15+0.75=(2927.75)10【例7】把二进制数(1010101111.00101)2转换成对应的八进制和十六进制数。解:

(1010101111.00101)2＝(1257.12)8=(2AF.28)16。1.2数制系统【例6】将十进制数(25.638)10转换为二进制数。解:

按照前面介绍的将十进制数转换为二进制数的方法，需将(25.638)10分解为整数部分(25)10和小数部分(0.638)10分别进行转换，最后将二者的转换结果合并即可。（1）整数部分转换，除2取余法；所以(25)10=(11001)2。1.2数制系统251263102222210101（2）小数部分转换，乘2取整法；所以(0.628)10=(0.1010)2。综合(1)、(2)，则有(25.638)10=(11001.1010)2。需要说明一点：小数部分转换时，其乘积结果往往不能达到0，所以转换值存在一定的误差。一般在二进制小数的位数已达到要求的精度时，便可结束乘2的运算。1.2数制系统

术语：1、真值：二进制数值前用“－”、“＋”符号表示二进制数负数和正数。这种表示的二进制数的方法，称为符号数的真值，简称真值。2、机器数：将真值的符号部分数字化以及真值的数值部分采用编码表示，称为机器数。真值的符号部分在机器数中称为符号位，真值的数值部分在机器数中称为尾数。1.3有符号二进制数的编码表示机器数有3三种形式，它们是原码、补码和反码。1.3.1原码采用原码表示有符号的二进制数时，符号位部分用“0”表示二进制正数，用“1”表示二进制负数。尾数部分与真值的数值部分相同。因此采用原码的形式表示二进制数时，仅是二进制数的数符数字化。1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3.2反码采用反码表示有符号的二进制数时，符号位部分别用“0”表示二进制正数，用“1”表示二进制负数。反码的尾数部分与符号位有关；符号位是“0”时，尾数同真值的数值部分相同；符号位是“1”时，尾数是把真值的数值部分各位取反。1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.2.3补码采用补码表示有符号的二进制数时，数符号位用“0”表示二进制正数，用“1”表示二进制负数。补码的尾数部分与数符号位有关。数符号位是“0”时，尾数同真值的数值部分相同。数符号位是“1”时，尾数是部分把真值的数值各位取反，然后在尾数的最低位上加1。1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示1.3.4使用补码进行二进制算术运算带符号数的加法和减法将产生八种互不相同的运算。每个操作数（X和Y）即可是正的也可是负的，且运算即可是加法也可是减法。运算加法减法X>YX<YX=Y(+X)+(+Y)+(X+Y)(+X)+(-Y)+(X-Y)-(Y-X)0(-X)+(+Y)-(X-Y)+(Y-X)0(-X)+(-Y)-(X+Y)(+X)-(+Y)+(X-Y)-(Y-X)0(+X)-(-Y)+(X+Y)(-X)-(+Y)-(X+Y)(+X)-(-Y)-(X-Y)+(Y-X)0表1-2带符号数的加减法1.3有符号二进制数的编码表示1.3有符号二进制数的编码表示该例中两个负数相加结果为正数，结果出错。这是由于没有足够多的位存储结果而导致溢出。将数的大小用5位数值表示，重新计算该问题。当两个正数相加得到一个负数或者两个负数相加得到一个正数时，都说明产生了溢出。使用以2为基的补码进行减法运算时，先把它转换成对应的加法运算，再进行计算。1.4.1自然二进制编码的十进制1.4二进制编码在数字系统中除了采用机器数表示二进制数以外，有时需要用若干位二进制数表示一位十进制数，以便能在数字系统中表示和使用十进制数，适应处理十进制数的需要。目前通常使用四位二进制数对十进制数的每一个数符进行编码，称为二–十进制编码，简称BCD码。下面介绍3种BCD码。BCD码：十进制数的代码表示。具有二进制形式，却有十进制数的特点。是一种以二进制形式编码的十进制数码（BinaryCodedDecimals）。1.4二进制编码表1-3十进制转换成自然BCD码十进制数BCD码012345678900000001001000110100010101100111100010011.4.2（加权、自补）二进制编码（1）8421BCD码

8421BCD码是将每个十进制数的数符用四位二进制数表示,即用0000～1001这10个不同的四位二进制数分别表示十进制数的0～9这10个数符。在8421BCD码中，每一位二进制数符从左到右的位权分别是23、22、21、20。因此，8421BCD码称为有权码。1.4二进制编码例如，写出十进制数238的8421BCD码。

23810

＝0010

0011

1000(8421BCD码)例如，写出100101000001（8421BCD码）的十进制数。

100101000001(8421BCD码)＝94110在8421BCD码中不使用、不允许出现1010～1111这6六个编二进制数的组合码。1.4二进制编码（2）2421BCD码

2421BCD码是将每个十进制数的的数符用四位二进制数表示，即用0000～0100、1011～1111这10个不同的四位二进制数分别表示十进制数的0～9这10个数符。

2421BCD码中每一位数符从左到右的位权分别是21、22、21、20，因此，2421BCD码也是一种有权码。例如，写出十进制数258的2421BCD码。

25810＝（0010

1011

1110(2421BCD码)例如，写出001111001111

2421BCD码的十进制数。

001111001111（2421BCD码）＝369101.4二进制编码

在2421BCD码中不允许出现0101～1010这六个编码，这也是因为在十进制数中没有数符同这六个编码对应。另外，2421BCD码也称为“自反编码”，即把某个十进制数符的2421BCD码各位取反，便是另一个十进制数符的2421BCD码。例如，2421BCD码“0100”是表示十进制数符“4”。将它的各位求反得“1011”，它是十进制数符“5”的2421BCD码。另外，“5”可以通过：5＝9

-

4得到。因此，2421BCD码也称为“对9的自补编码”。1.4.3余3BCD码余3BCD码是在8421BCD码的每一个四位二进制数编码加上“0011”构成。余3BCD码是一种无位权的编码。1.4二进制编码

例如，写出十进制数258的余3BCD码。 25810＝010110001011（余3BCD码）

写出100010010111（余3BCD码）的十进制数。 100010010111（余3BCD码）＝56410余3BCD编码也是一种“对9的自补”编码。

余3BCD码中不使用0000～0010、1101～1111这6个二进制数的组合。1.4二进制编码使用余3BCD码可以进行加法运算－即使用十进制数运算。只是注意，由于每一位十进制数符的余3BCD码编码多“0011”，两个余3BCD码相加的和就多了0110。因此，使用余3BCD码进行加法运算时,需要对产生的和产生和要进行调整，使结果也是余3BCD码。

调整的方法：1)如果没有进位产生，加法运算后的和也不是余3BCD码，这时需要在和中减去“0011”进行调整。2)如果两个余3BCD码进行加法运算后产生进位，则加法运算后的和就不是余3BCD码了，这时需要在和中加上“0011”进行调整；1.4二进制编码十进制数8421BCD码2421BCD码余3BCD码0123456789000000010010001101000101011001111000100100000001001000110100101111001101111011110011010001010110011110001001101010111100表1-4十进制数对应的3种BCD编码1.4.4奇偶校验码奇偶校验码是在计算机中广泛使用的可靠性编码。奇偶校验码是由信息位加上一个校验位组构成。信息位是数字系统中传输数据的通路。校验位是为了产生信息位的校验码而设置的一位数据通路。校验位上的校验码是“0”或者是“1”，它与信息位中“0”的个数和“1”的个数有关。如果信息位和校验位中“1”“的个数为奇数，称为奇校验码。这个校验位称奇校验位。如果信息位和校验位中“1”“的个数为偶数，称为偶校验码。这个校验位称偶校验位。在数字系统中，如果使用奇校验码，则称数字系统使用为奇校验。同理称为偶校验。1.4二进制编码1.4二进制编码1.4二进制编码数字系统可以采用奇校验也可以采用偶校验。不管使用那一种校验方式，需要有一个校验位形成电路，它的输出是校验位，一般校验位用P表示。奇偶校验检测电路，如图1-3所示。在后面的学习中，我们学习设计校验位P产生电路。1.4.5格雷码由若干位二进制数数符组成的编码中，任意两个相邻的编码仅有一位二进制数符不同，具有这种特性的编码称为格雷码。1.4二进制编码1.4二进制编码可以将一个二进制数编制为格雷码。也可以将BCD码够进行编制为格雷码。1.4二进制编码

格雷码的特点：

一是，相邻的两个数符之间仅有一位不同。二是，它所代表的数符在加1时没有中间的过程出现。例如：“7”的8421BCD码的格雷码是“0100”，“7”加1是“8”，“8”的8421BCD码的格雷码是“1100”。在格雷码中运算7加1等于8，仅仅是把“0100”最左边的二进制数符“0”改为“1”，使之成为“1100”即可。其他的每一个8421BCD码的格雷码数符加1，同样是仅仅是改变格雷码中一位二进制数符。1.4二进制编码1.4二进制编码其它的编码，例如：8421BCD码、余3码、2421BCD码不满足相邻的两个数符与之间仅有一位数符不同的特点。例如，“7”的一位8421BCD码“7”是“0111”，“0111”它加增1以后是“1000”，他是“8”的8421BCD码。8421BCD码在运算7加1等于8的过程中，四位二进制数符在从“0111”变化到“1000”时，四位二进制数符都会发生变化。如下所示。1.4二进制编码译码器加1计数器逻辑电路尽管最终的结果是1000。，但是加1在的过程中，在其t0，t1，t2时刻产生了三个0110、0100和0000的中间结果过程。另外，在加1运算中，四位二进制数的每一个数符都会发生了变化。

这种现象在数字系统中这种现象是不允许的。使用格雷码就就可以避免以上现象中间过程的出现。1.4.6汉明校验码奇偶校验码只能检测到一位出错，不能定位出错的是哪一位数符。如果能够定位出错数符的位置，数字系统就可以自动进行校正处理。汉明校验码是一种具有定位出错数符位置能力的一种编码。在这里首先介绍在一个编码中能够检测出错的条件是什么，然后介绍汉明校验码的结构，以及它为什么有定位出错数符位置的能力。引入以下几个基本概念。1.4二进制编码码字：表示一个数（或字符）的若干位二进制编码称为一个码字。例如：8421BCD码中的，“0011”、“1000”。码元：码字中的一位二进制数符。“0011”中的“第1位”0“；码组：满足一定规则的码字的集合。8421BCD码中的全部10个编码是一个码组。最小码距：在一个码组中任何码字之间不同码元的最小个数以8421BCD码为例，0000～1001称为一个码组。其中的每一个8421BCD码是该码组中的一个码字。例如，0000，0001，……，1001总共十个码字。每个码字中的一位二进制数符称为一个码元。两个码字之间不同的码元的个数称为码距。8421BCD码的最小码距为1，例如0000与0001。最大的码距