浅谈线性变换对角化问题

摘要 1Abstract 2引言 31线性变换 41.1线性变换的定义 41.1.1线性变换的概念 41.1.2线性变换的矩阵及矩阵表示 41.2矩阵的相似对角化问题 51.2.1相似对角化问题 51.2.2矩阵的特征值与特征向量 52线性变换的对角化 72.1线性变换的对角化 72.1.1线性对角化的提出 72.1.2线性对角化的定义 72.2线性变换的特征值与特征向量 72.2.1线性变换的特征值与特征向量的概念 72.2.2线性变换的特征多项式 72.3线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 82.3.1特征值与特征向量的联系 82.3.2线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系 92.3.3线性变换可对角化的充要条件及推论 92.3.4求线性变换对角化的方法和步骤 103线性对角化问题的相关题目 14总结 16参考文献 17致谢 18摘要线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一，其研究价值不言而喻。本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点，再通过矩阵的特征值与特征向量，以线性对角化问题为主要线索，着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件，并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系，更进一步的，加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。关键词：线性变换的对角化问题；矩阵；特征值；特征向量AbstractLineartransformationisanimportantpartofhigheralgebrathroughitsresearchvalueisself-evident.Thispaperattemptstoexplorethematrixdiagonalizationbyknowledgepointsofanaloglineartransformationdiagonalizationknowledge,andthroughtheeigenvaluesandeigenvectorsofthematrix,lineardiagonalizationproblemasthemainclue,startedstudyinglineartransformationseigenvaluesandeigenvectorsstepstosolvethebasicconditionsandlinearkeratosis,andsummarydescriptionofthelineartransformationmatrixdiagonalizationdiagonalizationwithlinkstofurtherdeepenunderstandingoflinearmatrixdiagonalizationdiagonalizationcontentandpoints.Keywords:Changingexistingdiagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors引言线性变换的对角化问题作为重要的数学课程，在高等代数的地位不言而喻，高等代数是数学与应用数学专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。在线性变换的对角化问题中，本文提出矩阵相似对角化问题，给出矩阵的特征值与特征向量等概念，在此之后总结它们与矩阵特征值和特征向量之间的关系,并把线性变换与矩阵对角化问题之间的密切关系探究清楚。充分应用探究的结论，最后使我们通透掌握线性变换的对角化与矩阵相似对角化的内在联系与区别。尝试将整个内容贯穿在一条主线，以分析线性变换和矩阵的特征值、特征向量与特征多项式为重点，总结说明在这几方面的联系，并且归纳求解线性变换特征值与特征向量的方法步骤，使整个内容清晰简洁，做到一目了然。将线性变换的对角化与矩阵对角化之间的关系梳理更加清晰，易于掌握与通透理解。1线性变换1.1线性变换的定义1.1.1线性变换的概念定义1设是数域上的线性空间，是到自身的一个映射，即对于中的任意元素均存在唯一的与之对应，则称为的一个变换或算子，记为,称为在变换下的象，为的原象。若变换还满足称为的线性变换。1.1.2线性变换的矩阵及矩阵表示定义2设是数域上一个维向量空间，令是的一个线性变换。取定的一个基，令这里就是关于基的坐标。令阶矩阵那么这个阶矩阵叫做线性变换关于基{}的矩阵。矩阵的第列的元素就是关于基{}的坐标。1.2矩阵的相似对角化问题1.2.1相似对角化问题1对角矩阵设是数域上的矩阵，形如的矩阵，我们把叫做对角矩阵。2相似矩阵对于阶方阵和,若有可逆矩阵使得,则称相似于,记作，称为由到的相似矩阵。3.矩阵相似对角化定义3设是数域上一个阶矩阵。如果存在数域上一个阶可逆矩阵使得为对角矩阵，那么矩阵可对角化。1.2.2矩阵的特征值与特征向量定义4设是一个阶方阵，是一个数，如果方程存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量。如果是矩阵的属于特征值的一个特征向量，那么我们有即，其中。定义5设是数域上的阶矩阵，是参数，的特征矩阵的行列式称为矩阵的特征多项式。它是数域上的一个次多项式，记为。的根(或零点)称为的特征值（根），而相应于方程组的非零解向量称为的属于特征值的特征向量。2线性变换的对角化2.1线性变换的对角化2.1.1线性对角化的提出设是数域上的维线性空间（记为），是线性空间的一个线性变换，任取的一组基，设在这组基下的矩阵为。那能否找到的一组基，使得在这组基下的矩阵是一个对角阵呢？接下来，我们就来寻找这组基，由此引出线性变换对角化的问题。假设这组基存在，我们不妨把它设为使得，可见，满足方程，即满足线性对角化。2.1.2线性对角化的定义定义1设是维线性空间的一个线性变换，如果存在的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化。2.2线性变换的特征值与特征向量2.2.1线性变换的特征值与特征向量的概念定义2设是数域上线性空间的一个线性变换，如果对于数域中的任一数，存在一个非零向量，使得则称为的一个特征值，而称为属于特征值的一个特征向量。2.2.2线性变换的特征多项式定义3设是数域上的一个线性变换，是上的阶矩阵，是一个数，线性变换关于矩阵的行列式称为线性变换的特征多项式，这是数域上的一个次多项式。2.3线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系2.3.1特征值与特征向量的联系定理[5]设是数域上一个线性空间,是的一个线性变换，在的一个基下的矩阵为，如果，那么：⑴是的特征值是矩阵的特征值；⑵是的属于特征值的特征向量是矩阵的属于特征值的特征向量。证明：由假设，及又在基下的坐标为。表明在基下的坐标为。因此，当是的特征值时，。联系：由于故是非零向量，这说明是矩阵的特征值。是矩阵的属于特征值的特征向量。如果是矩阵的特征值，而是的属于的特征向量，那么。且，即与在基下的坐标是一样的。所以。又，所以是的特征值，而是的属于特征值的特征向量。线性变换在数域中某一组基下的矩阵是，如果是线性变换的特征值，那么一定是矩阵的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么就是线性变换的一个特征值。2.3.2线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系如果线性变换可对角化，线性空间在的一组基下的矩阵为，且存在线性空间使的一组基,若有的可逆矩阵,使得。则有===即可相似对角化。反之，如果可相似对角化，则存在可逆矩阵，使得：。令==则是的一组基，且在基下的矩阵，即可对角化。2.3.3线性变换可对角化的充要条件及推论定理[5]令是数域上维向量空间的一个线性变换，可以对角化的充要条件是：（1）的特征多项式的根全在内；（2）对于的特征多项式的每个根，本征子空间的维数等于的重数。证明设上述条件（1）（2）成立。令是一切不同本征值。重数分别是有：在每个本征子空间里选取一个基，我们知道线性无关，所以构成V的一个基。可以假设这个基是，于是的特征多项式。所以但。因此=。推论设是数域上一个阶矩阵。可以对角化的充要条件是：的特征根全在内；对于的每个特征根，秩，其中是的重数[5]。例1矩阵不能够对角化，因为的特征根是个二重根，而。若一个阶矩阵可以对角化，则存在可逆矩阵使得或2.3.4求线性变换对角化的方法和步骤（1）在线性空间中取定一组基,并且写出在这组基下的矩阵；（2）求出矩阵的特征多项式在数域中的全部的特征值；（3）把所求出的特征根逐个代入方程组，并对于的每一个特征值，解出其对应方程组的一组基础解系，这组基础解系就是属于该特征值的线性无关的特征向量在基下的坐标，这样就求出了线性变换中属于每个特征值的全部线性无关的特征向量，从而判定是否可以对角化，最后进行验证。总结设是数域上维向量空间的一个线性变换，它关于的一个基的矩阵是。要求出的特征值，只要求出矩阵的特征多项式，设是矩阵的一个特征值，这时齐次线性方程组有非零解，每一个非零解都是属于在基下的坐标。例2设,现有的线性变换：，求的特征值与特征向量，并判断能否对角化。解（1）取的一个基，求出在这个基下的矩阵。由：得（）=，这里（2）由的特征多项式得的特征值：。所以的特征值为。（3）矩阵的属于的特征向量为，所以的属于特征值的特征向量为矩阵的属于的特征向量为所以的属于的特征向量为矩阵的属于的特征向量为所以的属于特征值的特征向量为所以的属于特征值的特征向量为由于线性无关，所以有个线性无关的特征向量，从而可对角化。验证结果如下：（）=。例3设线性变换在基下的矩阵是,求的特征值与特征向量。解特征多项式为令特征多项式为零，解得=5，=-1。将=5代入，解得属于=5的一个线性无关的特征向量是，将=-1代入，解得属于=-1的两个线性无关的特征向量是 ，。3线性对角化问题的相关题目1.已知是数域上一个线性变换，是的一个矩阵，其中=判断矩阵能否对角化。解矩阵的特征多项式是可知特征值是2，2，-4。对于特征值-4，求出齐次线性方程组的一个基础解系。对于特征值2，求出齐次线性方程组的一个基础解系。由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征值的重数，所以可以对角化。2．已知矩阵，判断该矩阵能否对角化？解先求矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值为,当时，解方程组得矩阵属于特征值的线性无关特征向量为。当时，解方程组得矩阵属于特征值的线性无关特征向量为。矩阵有三个线性无关的特征向量。因此矩阵可对角化。总结本课题在高等代数中占得比重较大，所以是我们必须要熟练掌握的知识要点，其中线性变换贯穿高等代数后期的大部分内容，所以研究线性变换的意义深远。本文首先提出解决线性变换的工具--矩阵，介绍了矩阵的相关知识，具体分析相似矩阵的对角化问题，接着类比研究了线性变换的对角化问题。通过这种逐一类比的方法，从他们两者之间的定义、特征值、特征向量与特征多项式进行仔细研究分析，归纳出它们之间存在的联系，最后总结了线性变换的特征值与特征向量的求解步骤，并且通过举例说明，使得更加牢固理解求解步骤的应用，便于我们更简单直接的理解并掌握线性变换的对角化问题。参考文献[1]北京大学几何代数研究代数小组，高等代数[M].北京：高等教育出版社，1