2023届北京市顺义区第九中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生，这里运用的抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样 D．分层抽样2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．3．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x图象上所有的点()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．设，若3是与的等比中项，则的最小值为（）.A． B． C． D．5．如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A． B． C． D．6．已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．7．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度米，拱高米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度大约是（）A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米8．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（）A．至少有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球 D．至少有1个白球；都是白球9．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为A． B． C．或 D．或10．下面的程序运行后，输出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．54二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若点为圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程为___________.12．在中，，，是的中点.若，则________.13．已知，且，则的值是_______.14．已知数列满足，，，则__________．15．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．16．已知，，若，则的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2+c2﹣b2）．（1）求角B的大小；（2）若边b＝，求a+c的取值范围．18．已知两点，.（1）求直线AB的方程；（2）直线l经过，且倾斜角为，求直线l与AB的交点坐标.19．在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．（I）求线段的长．（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．20．如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的较小二面角的大小21．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面是的中点.（1）求证：平面；（2）若，证明：

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】抽名学生分了组（每排为一组），每组抽一个，符合系统抽样的定义故选2、B【解析】

由平行线间的距离公式求出圆的直径，然后设出圆心，由点到两条切线的距离都等于半径，求出,即可求得圆的方程.【详解】因为两条直线与平行,所以它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以.设圆心坐标为,则点到两条切线的距离都等于半径,所以,,解得,故圆心为,所以圆的标准方程为.故选：.【点睛】本题主要考查求解圆的方程,同时又进一步考查了直线与圆的位置关系,圆的切线性质等.本题也注重考查审题能力,分析问题和解决问题的能力.难度较易.3、A【解析】

由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵，故要得到的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可，故选:A．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4、C【解析】

由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.【详解】解：3是与的等比中项，，，=，故选C.【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.5、D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.6、B【解析】

根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.【详解】因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率,.故或.故.故选：B【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.7、A【解析】

以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将代入圆的方程，可求出支柱的高度【详解】由图以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为，，，则圆拱所在圆的方程为，，解得，，圆的方程为，将代入圆的方程，得.故选：A【点睛】本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.8、A【解析】

根据对立事件的定义判断．【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.故选：A.9、C【解析】，，则或，选C.10、D【解析】

根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案．【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，退出循环，输出的值为1．故选：D．【点睛】本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解析】

利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦．【详解】圆标准方程为，圆心为，，∵是中点，∴，即，∴的方程为，即．故答案为．【点睛】本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长（其中为圆心到弦所在直线的距离）．12、【解析】

在中，由已知利用余弦定理可得，结合，解得，可求，在中，由余弦定理可得的值．【详解】由题意，在中，由余弦定理可得：可得：所以：…………①又……………②所以联立①②，解得.所以在中，由余弦定理得：即故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.13、【解析】

计算出的值，然后利用诱导公式可求得的值.【详解】，，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.14、-2【解析】

根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性，周期为3，故得到故得到故答案为：-2.【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.15、【解析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，

∴，又∵当时，也满足上式，

∴数列的通项公式为，∴

，令（），则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，

故当时，，即当时，，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.16、【解析】数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b≤3时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y＞0)有公共点．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）B=60°（2）【解析】

（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+csin（A），由题意可求范围A∈（，），根据正弦函数的图象和性质即可求解．【详解】（1）在△ABC中，∵S（a2+c2﹣b2）acsinB，cosB．∴tanB，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵B，b，∴由正弦定理可得1，可得：a＝sinA，c＝sinC，∴a+c＝sinA+sinC＝sinA+sin（A）＝sinAcosAsinAsin（A），∵A∈（0，），A∈（，），∴sin（A）∈（，1]，∴a+csin（A）∈（，]．【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式及三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据、两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；（2）根据的倾斜角和过点，得到的方程，再与直线联立，得到交点坐标.【详解】（1）因为点，，所以，所以方程为，整理得；（2）因为直线l经过，且倾斜角为，所以直线的斜率为，所以的方程为，整理得，所以直线与直线的交点为，解得，所以交点坐标为.【点睛】本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题.19、（I）；（II）或．【解析】

（I）先求得相交弦所在的直线方程，再求得圆的圆心到相交弦所在直线的距离，然后利用直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长.（II）先求得当时，取得最大值，根据两直线垂直时斜率的关系，求得直线的方程，联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．点（0，0）到直线PQ的距离，（Ⅱ），.当时，取得最大值．此时，又则直线NC为．由，或当点时，，此时MN的方程为．当点时，，此时MN的方程为．∴MN的方程为或．【点睛】本小题主要考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查三角形面积公式，考查直线与圆相交交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查两直线垂直时斜率的关系，综合性较强，属于中档题.20、（1）见解析（2）【解析】

（1）取的中点，连接，先证即说明，再由线面平行的判定定理说明平面．（2）延长交的延长线于，连.说明为所求二面角的平面角．再计算即可．【详解】解：（1）如图所示，取的中点，连接.∵，∴.又，∴.∴四边形为平行四边形．故.∵平面，平面，∴平面.（2）延长交的延长线于，连.由，知，为的中点，又为的中点，∴.又平面，，∴平面.∴为所求二面角的平面角．在等腰直角三角形中，易求.故所求二面角的大小为.【点睛】本题考查线面平行、二面角的平面角，属于中档题．21、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】

（1）首先取的中点，