计量经济学 第十章 联立方程模型

计量经济学第十章联立方程模型计量经济学1第一页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学2在前面的章节中，我们所讨论的都是单一方程模型，也就是只有一个因变量Y和一个或若干个自变量X的模型，在这些模型中，我们分析的重点是因变量和自变量之间单向的关系，自变量是原因，而因变量是结果。但是在现实经济活动中，经济变量之间的影响是双向的，一个经济变量影响另外一个(或多个)经济变量，反过来又受到另外一个(或多个)变量的影响。例如在货币M对利率r的影响分析中，单一方程隐含地假定利率是由中央银行制定的，并且试图求出货币需求对利率水平变化地反应，但是如果利率依赖于货币供给，这时就需要建立两个方程，一个把货币M联系到利率r，另外一个把r联系到货币M,从而导致对联立方程模型的考虑。第二页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学310.1联立方程的性质首先举两个联立方程的例子，然后再说明联立方程估计时会出现的问题。例10.1需求和供给模型我们知道一种商品的价格P和它的需求量Q是对该商品需求和供给曲线的交点来决定的，为了分析方便，假定需求和供给曲线都是线性的，那么加上随机误差项，可以写出需求和供给方程：第三页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学4不难看出价格P和需求量Q是联合因变量，例如，由于影响需求的其他变量(如收入、财富或嗜好)的改变，需求函数的随机误差项也将改变因而需求曲线的迁移同时改变了价格P和需求量Q上移价格上升下移价格下降第四页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学5同理，由于影响供给的其他变量(如罢工、气候和进出口限制)的改变，供给曲线发生迁移，同样也会影响价格P和需求量Q,正是由于价格和需求量的这种同时相依性，在需求和供给函数中，随机误差项和价格之间的独立是不可能的，因此直接对供给和需求函数进行回归将破坏经典线性回归模型的基本假定，无法得出无偏一致的统计量。左移右移价格上升价格下降第五页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学6例10.2凯恩斯收入决定模型考虑一下简单的凯恩斯收入决定模型从消费函数中可以明显看出，C和Y是相互依赖的，并且当随机误差项发生偏移时，消费函数也随之移动，而消费的移动反过来又会影响Y，对这个函数使用普通最小二乘法也是不适用，得出的估计量将会是非一致的。第六页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学7知识点回顾无偏是指估计量的数学期望等于总体指标，即由估计量给出的所有估计值的平均数等于总体均值。一致也称相合，是指随着样本容量的扩大，估计值会趋于总体指标值，或者说，随着样本容量的逐步扩大，估计量与总体指标之间的绝对离差小于任意小的正数的概率趋于1。有效是指所选定的估计量比其他估计量有更小的方差，即所选定的估计量与总体指标的绝对离差小于任意小正数的概率大于其他估计量。第七页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学8联立方程偏误：普通最小二乘估计量的非一致性从前面所举的两个联立方程例子中可以看出，方程中有一个或多个自变量与随机误差项相关，使用普通最小二乘法估计模型，所得的参数估计量将是非一致的，为了说明这一点，以凯恩斯收入决定模型为例，假设估计消费函数中的参数，要求随机误差项满足线性回归模型的基本假定可以证明：1、因变量和随机误差项相关把(10.1.4)带入(10.1.5)式，有第八页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学9用(10.1.6)-(10.1.7)，得第九页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学10把(10.1.4)带入上式第十页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学1110.2联立方程的识别问题回顾前一节中引入的需求模型，假若我们仅有销售量Q和价格P的时间序列数据，而没有更多的信息，比如有关消费者收入、前期价格或者气候等方面的消息，那么这时我们究竟是在估计需求函数还是供给函数呢？这样就涉及到联立方程的模型识别问题。10.2.1符号和定义为了说明怎样解决识别问题，首先引入一些符号和定义。一般而言，有M个内生和联合因变量的方程模型可以写成如下方程组的形式：第十一页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学12第十二页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学13前定变量：其值由模型外部决定，视为非随机变量内生变量：其值由模型内部决定，视为随机变量外生前定变量：当前以及滞后的外生变量滞后内生前定变量：出现在方程组中的方程也许描述了一个经济社会的结构或者描述一个经济人(或消费者或生产者)的行为，因此把这些方程称为结构或者行为方程，众多的β、γ系数称为结构系数，从结构性方程中可以解出m个内生变量的系数，并且导出诱导型方程和相应的诱导型系数。第十三页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学14诱导型方程：纯粹由前定变量和随机误差项来表达的一个内生变量的方程。以前面的凯恩斯收入模型为例，回顾公式(10.1.4)和(10.1.5)把(10.1.4)带入(10.1.5)式，有公式(10.2.2)就是一个诱导型方程，它把内生变量Y表达为仅由外生变量I和随机误差项组成的函数第十四页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学15把(10.2.2)带回到式(10.1.4)中，得到另一个诱导方程诱导型(外生变量)系数度量外生变量取值的单位变化对内生变量的即期影响。对于诱导型或简化式方程，由于前定变量和随机干扰项都在方程右边而且假定外生变量和随机干扰项不相关，因而可以用普通最小二乘法估计出来的诱导型系数来计算结构系数，这种方法就称为间接最小二乘法，在后面我们将详细介绍这种方法。第十五页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学1610.2.2联立方程模型的识别联立方程的识别就是指能否从所估计出来的诱导型系数求出一个结构方程的参数估计值，如果能够，那么就说这个联立方程是可以识别的，否则就说该方程是不可识别的。(1)完全不可识别情形以例10.1中个需求和供给函数为例，由供给均衡条件可得求得均衡价格同样可以求得均衡销售量第十六页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学17式(10.2.4)和(10.2.5)是两个诱导型(简化型)方程，但是原来的供求模型中有4个未知的结构参数，要估计出4个未知参数，必须要有4个独立的方程，因此用两个诱导型方程是没有办法估计出这4个参数的，这也意味着给定价格P和销售量Q的数据，如果没有其他信息，没有办法保证估计出来的是供给函数还是需求函数。一双给定的P和Q，在供求相等的均衡条件下，仅表示适当的需求和供给曲线的交点。第十七页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学18(2)恰好或恰可识别情形

假定在需求函数中引入一个新的外生变量I(消费者的收入)，而供给函数不变我们知道收入是决定大多数商品和服务需求的一个重要决定因素，把它引入到需求函数中，将给我们提供消费者行为的某些其他信息，对大多数商品而言，可以预料收入增加，消费也会相应增加，第十八页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学19第十九页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学20对诱导型方程(10.2.8)(10.2.9)可以用普通最小二乘法估计它们的参数，求得4个诱导型系数，但是原供求模型中有5个结构系数，用4个诱导方程系数来估计5个结构系数也是没有办法得出唯一解的，但是可以求出供给函数的参数，这是因为通过上面的分析可以看出，在需求函数中增加了一个自变量，使我们能识别供给函数，这是因为在需求函数中增加自变量对函数的变异提供了一些额外的信息。第二十页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学21(3)完全识别情形接下来在供给函数中也增加一个自变量，供求模型可写成之所以引入滞后的价格变量，是因为假想一个商品的供给量依赖于它的当期价格和前期价格，在解释农产品的商品供给模型中经常用到这一模型。第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学22第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学23对诱导型方程(10.2.11)(10.2.12)使用普通最小二乘法可以得到6个诱导型系数，而原供求模型中也有6个结构参数，用6个方程来求解6个未知数，可以得到唯一的结构参数估计值。此时的需求函数和供给函数都是可以识别的，可求得:第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学24(4)过度识别情形

对某些商品或服务而言，消费者的收入和财富同样是需求的重要决定因素，在需求函数中再引入一个外生变量－财富，供给函数保持不变。第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学25在供求模型中有7个结构系数，但是估计它们的方程有8个，即8个诱导型方程的系数，方程的个数多于未知数的个数，也没有办法求得供求模型全部参数的唯一解。比如我们可以从诱导型系数中求得，不能保证这两个估计值的结果是一样的。在这种情形下，模型的识别就是过度的。第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学2610.2.3联立方程模型识别规则从上面的例子中可以看到，借助于诱导型(简化型)方程可以确定联立方程中某一方程的可识别性，但是求解过程既耗时又费力，而对联立方程识别的阶条件和秩条件则提供了一种系统性的方式，从而减轻了这一任务。为了解阶条件和秩条件，首先引入下面的符号：第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学2710.3.1可识别性的阶条件可识别性的一个必要但非充分条件称为阶条件，可以用两种不同但等价的方式来表达：定义1：在一个含有M个联立方程的模型中，为了使一个方程能识别，它必须排除至少M-1个在模型中出现的变量(内生或前定变量)。如果它恰好排除M-1个变量，则该方程是恰好识别的；如果它排除多于M-1个变量，则该方程是过度识别的；定义2：在一个含有M个联立方程的模型中，为了使一个方程能被识别，则该方程所排除的前定变量的个数必须不少于它所含有的内生变量的个数减1，即K-k≥m-1；如果K-k＝m-1，则方程是恰好识别的；如果K-k＞m-1，则方程是过度识别的。第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学28为了说明可识别的阶条件，回到前面所举的例子例10.1中的供求模型该模型中有两个内生变量P和Q，M=2;但是没有外生前定变量，k=0。为了能被识别，每个方程至少要排除M-1=2-1=1个变量，情形并非如此，因而方程无法识别再看一下供求模型(10.2.7)该模型中有两个内生变量P和Q，M=2;一个外生前定变量I，k=1。需求函数中没有排除变量，无法识别，而供给函数中排除M-1=2-1=1个变量，可以识别第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学29供求模型(10.2.10)该模型中有两个内生变量P和Q，M=2;两个外生前定变量，k=2。需求函数中和供给函数中各排除M-1=2-1=1个变量，两个函数都可以识别，因而整个模型都可以识别。供求模型(10.2.13)该模型中有两个内生变量P和Q，M=2;三个外生前定变量，k=3。需求函数中恰好排除了一个前定变量，可以恰好识别；供给函数中排除了两个外生前定变量，过度识别。第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学3010.3.2可识别性的秩条件可识别性的阶条件是识别的必要但非充分条件，即使它得到满足，方程中有时也会出现不可识别的情形。模型(10.2.7)中的供求函数虽然排除了一个外生变量，按阶条件来说是可以识别的，但识别的实现还只有当需求函数中的外生变量系数不为零时才能实现。为此，我们需要一个充分且必要的识别条件，即可识别的秩条件：在一个含有M个内生变量的M个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，我们能从模型(其他方程)所含而该方程不含的诸变量(内生或前定变量)的系数矩阵中构造出至少一个(M-1)(M-1)阶的非零行列式来。第三十页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学31例10.3考虑一个假想的联立方程，其中Y为内生变量，X为外生前定变量方程被排除的外生

变量个数

K－k包含的内生

变量个数

m-1识别情形①22恰好②11恰好③11恰好④22恰好第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学32从阶条件看，每个方程都是恰好识别的，下面再用秩条件来复查，把方程组写出下面形式

变量的系数方程1

①

1

0

00②

010

0③

010

0④

0100

若该方程那被识别，必须从其他方程所含而该方程不含的诸变量的系数矩阵中找到至少一个非零的3×3阶行列式，找出包含在其他方程中的这几个被排除变量的系数组成的矩阵，称为A第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学33第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学34第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学35对可识别性的阶条件和秩条件的讨论，可以得出在M个联立方程组中识别一个结构性方程的一般原则：1、如果K-k>m-1，且A矩阵的秩为M-1,方程是过度识别的；2、如果K-k＝m-1，且A矩阵的秩为M-1,方程是恰好识别的；3、如果K-k≥m-1，则A矩阵的秩小于M-1,方程是不可识别的；4、如果K-k<m-1，则结构方程是无法识别的，A矩阵的秩必定小于M-1第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学3610.4联立方程的估计10.4.1间接最小二乘法—恰可好识别模型的估计

一个恰好识别的结构方程，从诱导型系数的普通最小二乘估计值获得结构系数估计值的方法就称为间接最小二乘法，前面我们已经在凯恩斯收入模型中简单介绍过了。使用间接最小二乘法有下面三个步骤：1、先求诱导型方程，从结构方程组中解出诸诱导型方程，使得在每一个方程中因变量称为唯一的内生变量，并且仅仅是前定(外生或者滞后内生)变量和随机误差项的函数；2、对诱导型方程逐个应用普通最小二乘法，得到诱导型系数的估计值；3、利用诱导型系数的估计值再求原来结构系数的估计值，如果方程恰可识别，那么结构系数和诱导系数存在一一对应，可以利用后者推导出前者的唯一估计值第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学37例10.4对恰可识别的供求模型使用间接最小二乘估计回归公式(10.2.7)，将收入符号I改为X

与之对应的诱导方程是利用已知数据，对诱导方程进行估计，得到诱导系数估计值第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学38则供给方程的结构系数第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学39

首先用价格指数和生产指数分别对人均消费支出作回归，结果如下(4.4104)(3.7839)第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学40从而得到间接最小二乘法的回归结果而如果直接使用普通最小二乘法，结果为从结果中可以看出，当普通最小二乘法不适当被应用时，估计参数是有偏的。第四十页，共四十五页，2022年，8月28日计量经济学4110.4.2二阶段最小二乘法－过度识别方程的估计考虑下面的货币供给模型：应用可识别的阶条件，可以看出收入方程是不可识别的，而货币供给方程则是过度识别的。对于收入方程，如果不改变模型的设定，是没有办法估计出参数的，而过度识别的货币供给方程存在两个间接最