人寿保险的精算现值课件

第三章

人寿保险的

精算现值本章结构离散型寿险的精算现值连续型寿险的精算现值人寿保险的精算现值两类寿险精算现值之间的关系本章学习目标

理解寿险精算现值的含义熟悉离散型各险种寿险精算现值的计算公式熟练使用换算函数计算离散型各险种的寿险精算现值掌握离散型、连续型寿险精算现值之间的关系人寿保险给付方式的分类分为：连续型寿险和离散型寿险连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认为是立即赔付）人寿保险给付上的两大特点不确定性：是否发生给付不确定给付的时间不确定给付发生在较长时间以后，其成本受利率影响很大。净保费的计算原理收支平衡原理（精算等价原理）：净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入期望现时值等于支出期望现时值

精算现值（包含两层含义）：保险赔付在投保时的期望现值把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求期望值精算现值=趸缴净保费由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以，以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期望值。本节的主要目标理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净保费主要险种n年期定期寿险终身寿险n年期生存保险n年期两全保险延期m年的终身寿险延期m年的n年定期寿险递增终身寿险递减n年定期寿险一般变额寿险例3.1100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人数分别为1、2、3、4、5人。每年的赔付支出及其折现值如表所示：年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值（1）（2）(3)=1000×(2)(4)(5)=(3)×(4)1110001.03-1970.872220001.03-21885.193330001.03-32745.434440001.03-43553.955550001.03-54313.04基本符号——岁投保的人整值剩余寿命bk+1——保险金在死亡年末给付函数vk+1——贴现函数zk+1——保险赔付金在签单时的现时值E(ZK+1)——寿险的精算现值（趸缴净保费）计算原理K的不同上下限，对应着不同的险种（一）n年定期寿险给付函数保险金给付在签单时的现值随机变量趸缴净保费自然保费即中n=1的趸缴净保费.

是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。例3.2某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），计算趸缴净保费。例3.2答案例3.3张某50岁时购买了一份保额为100000元的终身寿险。已知：设预定利率为0.08求这份保单的趸缴净保费。例3.3答案（三）n年期生存保险被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支付保险金.只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金给付的时间和数量可以预先确定.保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的概率为.（四）两全保险两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合给付函数给付现值随机变量趸缴净保费例3.4某人在40岁时投保了3年期10000元两全寿险，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），计算趸缴净保费。（六）延期m年的n年定期寿险保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保险责任范围内的死亡给付保险金。给付函数给付现值随机变量趸缴净保费

几个关系式（七）递增型寿险终身寿险n年定期（八）递减型寿险给付函数给付现值随机变量趸缴净保费

一般变额寿险给付现值随机变量趸缴净保费例3.5对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。kbk+1qk+103000000.0213500000.0424000000.06例3.5答案死亡年末给付趸缴净保费公式归纳递减n年定期寿险递增终身寿险n年期两全保险延期m年的终身寿险延期m年的n年定期寿险终身寿险基本换算函数在给定预定利率下，基本换算函数按不同年龄排列，编制成换算函数表。用换算函数表示常见险种的趸缴净保费

例3.6某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年末赔付。如果在40岁至65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用换算函数写出这一保单精算现值的表达式。例3.6答案（1）这份保单可以分解为下列保单的组合50000元的25年定期寿险100000元延期25年的10年定期寿险30000元延期35年的终身寿险的组合这份保单的精算现值的表达式为：例3.6答案（2）或者，将这份保单分解成下列保单的组合30000元的终身寿险20000元的35年定期寿险50000元延期25年的10年定期寿险的组合练习现年36岁的人，购买了一张终身寿险保单。该保单规定：被保险人在10年内死亡，则给付数额为15000元；10年以后死亡，则给付数额为20000元。设死亡给付发生在保单年度末。试求其趸缴净保费。答案第二节连续型寿险的精算现值相关符号x

：投保年龄

t

：保单签发到被保险人死亡的时间长度

T

：连续型未来寿命，连续型随机变量：t时刻给付的保险金，一般是事先确定好的：折现函数，：保险金在保单签发时的现值，是一随机变量。连续型保险趸缴净保费的计算原理计算公式保险金给付在保单签发时的精算现值，即先将t时刻的保险金转化为现值，然后求其期望值。上式中的积分号的上下限有多种形式，这就对应实际中人寿保险的多种形式。n年定期保险的趸缴净保费给付函数给付现值随机变量趸缴净保费递增终身寿险(一年递增一次）给付现值随机变量趸缴净保费递增终身寿险（连续递增）给付现值随机变量趸缴净保费

递减定期寿险（一年递减一次）给付现值随机变量趸缴净保费递减定期寿险（连续递减）给付现值随机变量趸缴净保费其他各险种的趸缴净保费与离散型寿险的趸缴净保费计算原理完全一样,符号也很类似，也有类似的关系.注意掌握各险种及连续型、离散型寿险趸缴净保费之间的异同点。第三节UDD假设下连续型寿险和离散型寿险趸缴净保费之间的关系以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：则有

假设(UDD)下两类趸缴保费之间的关系关于的计算含义：相当于把死亡发生年划分成m个相等的部分，保额在死亡发生的那个第m部分的期末给付1单位的终身寿险的趸缴纯保费在UDD假设下，有当时，相当于连续寿险的趸缴纯保费例3.7某人在30岁时投保了50000元30年期两全保险，设预定利率为6%，以中国人寿业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），求这一保单的趸缴净保费。其他条件同上。但保单规定：投保的前10年死亡赔付50000元，后20年死亡赔付30000元，满期存活给付20000元。求这一保单的趸缴净保费。例3.7答案（1）例3.7答案（2）考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人寿保险。按i=0.06计算（30）的人趸缴纯保费。（1）保障期至第10年底（2）保障期至第5年底例3.8例3.8答案练习设某30岁的人购买了一份终身寿险保单。该保单规定：若（30）在第一个保单年度内死亡，则在其死亡当时立即给付5000元，此后保额每年增加1000元。试用换算函数表示此递增终身寿险的趸缴纯保费。补充内容补充内容1.利率i2.贴现率:d=i/(1+i)3.名义利率4.名义贴现率5.现值6.终值7.利息力δ

掌握含义及之间的关系！

补充内容1.利率i单位资本金在单位时间所产生的利息表示资本的获力水平或获利能力用公式表示：其中，A(t-1)表示第t年初的资本金，A(t)表示第t年末的资本金。积累函数a(t)：A(t)=A(0)a(t)

单利下：a(t)=1+it

复利下：

a(t)=（1+i）t补充内容2.贴现率d利息的期初支付，是积累额上的减少额如，购买面额为100元的一年期国债，现时支付90元就可买到，则本期国债的利息为10元，是在100元基础上的减少额，而利息在购买时就已获得，10元为贴现额。衡量贴现水平，是单位货币单位时间内的贴现额用公式表示复利且利率不变条件下，有：补充内容3.名义利率i（m）名义利率的由来设本金为1元，年利率为20％，则年利息额为0.2元。若一年支付4次利息，则相当于每次支付0.05元，即相当于每次利率为20％/4＝5％。而按复利计算，本利和为：，一年总利息为0.2155元，于是年实际利率为21.55％,

产生了利率的名不副实，与之对应的实际年利率不再是20％，此时，20％称为名义利率。补充内容名义利率与年实际利率的关系一年支付m次的名义利率与年实际利率i之间的关系：每次的实际利率为：补充内容4.名义贴现率涵义

如，某债权人借出1元，在一年按月利息2.5％于每月初获取利息，并于最后一个月收回1元，则12个月的利息总额为2.5％12＝30％，为名义贴现率。补