初中数学-最短路径问题探究教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE11《最短路径问题》教学设计一、课程标准要求：初中数学《新课程标准》中指出,教师要引导学生在学习过程中掌握数学思想和方法,从而参与数学实践活动.数学思想方法教育是数学教学的目的之一,通过数学思想解决数学问题,就能将数学知识内化为学生的能力.探究"最短路径"问题正是在教学中如何利用"转化"的数学思想解决这一类问题.为解决实际问题奠定理论基础。二、教材分析(一)、教学内容的地位作用：

随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。(二)、教学目标1、认知目标：（1）能利用轴对称，平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。（2）能通过逻辑推理证明所求距离最短。（3）在探索最短路径的过程中，体会轴对称，平移的“桥梁”作用，感悟转化思想。2、能力目标：（1）经历问题探究的过程，将实际问题转化为数学问题，培养转化的能力。（2）在解决问题过程中，养成良好的作图的习惯。（3）感受图形变换、转化、数形结合、模型等思想方法。3、情感目标：通过专项讲解，运用现代化话的教学手段，提高学生学习的兴趣，归纳出方法和规律，积累解决数学问题的经验，提高学生的合作交流的意识，消除学生对此类问题的陌生感和恐惧感，提高学生解决问题的信心和能力。（三）、学生达成目标的标志：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.（四）、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题三、学情分析学生已经学习图形的认识，三角形的全等，轴对称及等腰三角形等有关图形与几何的内容，学生对图形识别、分析能力、理解能力有明显提高，但由于学习这部分的知识比较抽象，与实际问题联系较大，故部分学生可能理解起来较为困难，所以要做好预习工作。本班大部分学生学习数学的热情比较高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。但个别学生基础较弱，能力差异较大需做好后进生关注。四、教学准备：三角板、多媒体课件、实物投影等五、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、展示学习目标、学习重难点：学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．记住目标，把握重难点点明确任务，有的放矢二、提出问题引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．（板书）课题：最短路径问题三、回忆旧知知识储备请同学们回忆一下，我们学过哪些关于最短距离的数学知识？①利用展开图②垂线段最短③两点之间，线段最短学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识.教师提示，学生回答从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.唤起记忆，为新知奠定基础四、合作探究练习巩固问题1：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A到G需要爬行的最短路程又是多少厘米？AAEFBGC3cm2cm1cmAG=前右：探究成果：1.若已知长方体的长a、宽b、高c，且a>b>c，则长方体表面上相对两点之间的最短路程是：特别的，正方体时a=b=c最短距离为2.最短距离问题的解决方法一：利用“展开”解决最短距离问题练习1：如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是

__________问题2如图，点A，B在直线l的异侧（同侧），点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C，则点C即为所求．练习2：如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4）．设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值。探究成果：最短距离问题的解决方法二：利用“轴对称”解决最短距离问题强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”变式探究：一点在两相交直线内部练习3已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.问题2你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？教师展示：证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．BBlAB′CC′问题3：原题再现（造桥选址问题）如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BBAＭＮ思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.如图所示：AA1NＮ１Ｍ１MBA新知小结一种数学思想：利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：一个理论依据：两点之间线段最短。练习5：如图，村庄A、B在河a的同侧，要在河边修一条绿道PQ（P在Q的左侧），长度为15m。问绿道PQ修在什么位置时，从A村经由绿道到达B村的距离最短？利用“平移”与“轴对称”结合解决最短距离问题动手画直展开图观察口答动手连线观察口答独立思考合作交流汇报交流成果，书写理由.运用成果，变式练习思考感悟将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来学生独立完成，集体订正学生独立完成，集体订正独立完成，交流经验观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决各抒己见合作与交流交流体会师生共同归纳为学生动手机会，培养学生的操作能力经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.学会由特殊到一般的推理学以致用达到轴对称知识的学以致用注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.学以致用，及时巩固灵活运用所学知识注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.提炼思想方法：轴对称，线段和最短体会转化思想，体验轴对称知识的应用动手体验提高分析复杂问题的的能力体验转化思想理论提升五、当堂训练加强认识1.现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为2.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是______3、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为变式练习（2014东营中考题，4分）4.在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm弧AC=弧CD=弧DB，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．

5.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，点F在BC上，CF=1，点M、N分别是x轴、y轴上的动点，在图像中画出四边形MEFN周长最小时M、N的位置。学生独立思考解决问题独立思考，合作交流.学生动手画画。合作解答巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.提炼方法。手脑并用，数形结合六、自我小结归纳反思中考中的最短路线（距离）问题考查知识点“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型“饮马问题”，“造桥选址问题”。出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：化“折”为“直”.或化“立体”为“平面”七、作业布置、课后延伸1、八（上）课本P93-15题；2、整理本节课例题自由发言,相互借鉴.自我评价.总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.关注学生的个体差异.课后补充，加强理解板书设计：最短路径问题两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”教学反思：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问学情分析1、学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题.2、一直以来学生对于网络环境下的几何主题探究都十分的感兴趣，学习投入程度大。他们观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。3,、学生有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲望，但注意力容易不集中。学生学习基础一般，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助。学生具有一定的探究精神和合作意识，能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待加强。进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中。通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的．效果分析最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．教材分析一、（1）教学内容《最短路径问题探究》学习后，为让学生能灵活的运用轴对称和勾股定理解决最短路径问题而设置的一节专题课．由于现阶段学生模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望．同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课（2）地位和作用本节课是在学习了轴对称和勾股定理的基础上，引导学生探究如何运用勾股定理解决最短路径问题。它既是勾股定理知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．二、教学目标：依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标：●知识与技能目标1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题2、初步学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题●方法与过程目标1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯．2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力●情感与态度目标1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育三、教学重、难点分析●教学重点：1、运用勾股定理、线段公理解决实际问题．2、学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．●教学难点：1、勾股定理、线段公理的灵活运用和提升，2、提高思维的有效性．●突出重点、突破难点的方法与策略：（1）突出重点的方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点（2）突破难点的方法：充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、动手实践、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点．勾股定理、线段公理的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点．以达到突破难点的目的四、教学方法的选择与应用根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“导学—探究—反思”的教学模式，引导学生在探究活动中认识到良好学习方法的重要性．教师的教法突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台；学生的学法突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法．评测练习考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于AB′Pl点AB′Pl模型转化应用：在三角形中探求线段和的最小值1.如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为

．2.如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为

.3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为A． B．C． D．2在四边形中探求线段和的最小值4.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5.如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为

．6.如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为

．7．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=_________．8.如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为

．9.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为

cm．（结果不取近似值）．10.如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．在圆背景下探求线段和的最小值11.如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为________如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．13．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值14.如图9，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小,则点P坐标为_________.在二次函数背景下探求线段和的最小值15.如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.在过点A、O、B的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值16.如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

课后反思爱迪生说：“不下定决心培养思维习惯的人，便失去了生活中的最大乐趣”．同样，在学习中不懂得思考的学生，一定学的非常辛苦．真正聪明的人是更理性地掌握思考的方法，而不仅仅是感性的运用．聪明人是因为懂得思维的方法才变得聪明，而不是因为聪明才懂得学习．要让学生轻松快乐地取得成绩，我们必须要提高课堂效率，让学生学会思考，掌握思考方法．从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功．这一节课，主要采用的是导学——探究——反思的教学模式．所以设计这节课时我考虑到以下几个方面：1、设计“导学——探究——反思”模式的理由在解答简单问题时，人们的思路往往是清晰、合乎逻辑且有效的，但在解答复杂问题时，往往无从下手，思维混乱.我班学生基础知识掌握较好，但思维缺乏灵活性，被动性较强，所以想通过勾股定理、线段公理这类大家非常熟悉的知识的运用，引导他们去探究，去发现，去体会思考.从而把在简单问题中获取的经验和研究问题的方法运用到复杂问题的解决中去，以达到“教”是为了“不教”的目的2、思考方法设计通过例题教学，引导学生学会从知识、方法、数学思想等方面进行归纳总结通过例题变式，让学生体会变式思考，反思回顾通过引导学生提问，让学生学会思考，善于提问，提升思维层次通过结论方法的归纳提升，让学生感受思考的快乐，体验学习的乐趣3、思考中