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傅立叶展开与傅立叶变换1.傅立叶展开对于周期为2“的周期函数f(x)，可展开为ao+S(acosnx+bsinnx)n-1n-1cos2x，sin2x，在［-冗,冗］上满足正交性"-""-""sinmxcosnxdx-01J兀—兀"-"• y-»sin2nx-0冗cos2nx-0兀一兀m丰n,1J"sinmxsinnx-0-"

m主n,1J"cosmxcosnx-0-"—J"f(x)cosnxdx-a-“ n—J"f(x)sinnxdx-b兀一 n对于任意周期为T-21的周期函数f(x)，可展开为1J兀—兀"-"Oa¥-f+j2( n"acosnn-1In冗、x+bsin xlnl丿7C• y-»sin2nx-0cos2

sinx，

l在［-l,l］上满足正交性兀sinmxcosnxdx-0"-"丄J"cos2nx-0一"m丰n,1J"sinmxsinnx-0-"

m主n,1J"cosmxcosnx-0-"_Jlf(x)cos xdx-al-1 l2.傅立叶变换对于无周期的函数f(x)，其定义在(一^,上,可看作为T-21的周期函数取lT8的极限。

OaV=o+乙“2nOaV=o+乙“2n=1_Jlf(x)cos-xdx=al-1 lfG)=丄Jlf(t)dt+-为Jlf(t)21—acosnn兀l(x)n兀

cos—l -1n=1Jlf()dtT021-1兀Aro=—nl=为JlfC)cosroC-x)dtl -1 nn=1丄为兀n=1n冗 n冗'x+bsinxl n i丿J1f(x)sin xdx=b/-1 l nt-x)dtl-x)dt|Jlf()cosroI-1 n=JgdroJgf()cosroC-x)dt兀0 —gAron一x)dtf(x)=JgdroJgf(t一x)dt0 —g傅立叶定理：若函数f(x)在任意有限区间上满足狄利克雷条件，且在区间(-g,g)内绝对可积，则f(x)的傅氏积分在(-g,g)上处处收敛，且有1JgdroJgf(t)cosro(t-x)dt=f+0)+f-0)兀0 -g此式称为傅氏积分公式。利用欧拉公式，此公式可写为复数形式：丄JgdroJgf(t)eiro(t-x)dt=fG+0)+fG-0)2兀-g -g 2当f(x)在x处连续时，则f(x)在x处的傅氏积分就等于f(x)。f(x) = JgdroJgf()eiro(t-x)dt2兀-g -ge—e—iwxd①Jg(JgJg(JgfC)eirotdt—g —gF(ro)=Jgf(x)eiGxdx-

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