高三（下）模拟考试数学（理）试卷

高三(下)模拟考试数学(理)试卷

一、选择题

1.已知复数Z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则|z-"=

()

A.V2B.2C.2V2D.8

2.命题>0,ex°-1>%o"的否定是()

x

A.3%0V°，e"°-1<%。B.2x0>0,e°—1<x0

C.Vx<0,ex—1<xD.Vx>0,ex—1<x

3.已知集合/={%|%2W4,%eZ},B={y\y=x2,xEA},贝lj

/nB=()

A.{0,2,4}B.{0,l,4}C.{0,l}D.{0,4}

4.我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥

会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来我国冬奥会获得奖

牌数量统计如下表：则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为

()

年份199219941998200220062010201420182022

奖牌数338811119915

A.8B.9C.10D.11

5.下列函数是偶函数，且在区间(-8,0)上为增函数的是()

A.y=x~2B.y=|%|+2C.y=2团D.y=x3—1

6.在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者,

现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团

只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家

乡代表团服务的概率为()

7.已知数列｛册｝是等比数列，｛%｝是等差数列，若a3a15=

8a力仇=。9,则厉+瓦1=()

A.4B.8C.12D.16

8.已知/(%)=a%+a+cos%(aeR),则在曲线y=/(%)上一点

(0,2)处的切线方程为()

A.x—y+2=0B.x+y—2=0C.2x—y+2=0

D.2x+y-2=0

22

9.已知双曲线C+—羟=1(。>0,匕>0)的左、右焦点分别为

&(—c,0),F2(c,0),点P为双曲线。右支上一点，点M的坐标为

(0,c),若|PM|+|P6|的最小值为2&c,则双曲线C的离心率为

()

A.V2B.V3C.2D.y

10.某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，

该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所

截后中间剩余部分(球心与正方体中心重合)，若其中一个截面

圆的周长为2",则该球的表面积为()

A.207TB.167rC.127rD.87T

11.函数/(%)=2sin®%+w)®>0,\(p\<])的部分图象如图

所示，则下列说法正确的是()

试卷第2页，总24页

A.f(%)是周期为］的周期函数；

B.点C，0)是/(%)图象的一个对称中心；

c直线%=?是/(%)图象的一条对称轴；

D.对任意实数不/(%)</管)恒成立.

12.已知3为函数/(%)=log2%-1的零点，b=捉,c=VTT,

则a、b、c的大小关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

二、填空题

已知向量a=(3,4),a=(2,1),贝lj(a-b)-b=.

x-y—240

已知实数％,y满足约束条件2%+y之0,贝H+y的取值范

%+1>0

围是________，

v2

已知&尸2为椭圆I+y2=i的左、右焦点，点P是椭圆上第一

象限内的点，且PF1LPF2,则|PFz|=.

已知数列｛&J中，ar=l,a2=2,且M•册+i•册+2=册+

册+1+an+2,其中九eN*则的++•••+

口2022-----------

三、解答题

从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分

以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二

学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计

如下表.

数学得分120分以上

注意力集中籍嗡芬'【20分以下

（含120分）

500分以上（含500分）100180

500分以下15070

（1）若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义

为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上称为

注意力集中水平高，试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩

优秀与注意力集中水平高有关？

（2）若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中

随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且

注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量X,

求X的数学期望.

0.0250.0100.0050.001

自5.0246.6357.87910.828

«=…黑蓝其中》a+b+c+d)

在△ABC中，a,b,c分别是内角4B,。的对边，已知c=5,

77

B=一,asinA=3sinC+bsinB.

3'

(1)求的面积；

（2）若。是AC边上一点，且DC=2/。，求BD的长.

试卷第4页，总24页

直三棱柱ABC—中，44$$为正方形，AB=

BC,乙4BC=120°,M为棱8当上任意一点，点。、E分别为/C、

CM的中点.

(1)求证：DE〃平面44道避；

(2)当点M为BB］中点时，求直线&C和平面CDM所成角的正弦值.

若f(%)=-x2+bx+2a\nx.

(1)当a>0,b=-a-2时，讨论函数f(%)的单调性；

(2)若匕=-2,且/(%)有两个极值点%i，%2,证明/(%)+f(%2)>

一3.

已知圆M过点(1,0),且与直线％=-1相切.

(1)求圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点P(2,0)作直线/交轨迹C于/、8两点，点/关于％轴的对称

点为4,过点P作PQ14B,垂足为Q,在平面内是否存在定点E,

使得IEQI为定值.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明

理由.

在平面直角坐标系％0y中，以。为极点，刀轴的正半轴为极轴,

建立极坐标系.曲线6的极坐标方程为p2(3+siM。)=12,曲

x=1+tcosa,

(t为参数)，aC(0().

y=tsina

(1)求曲线C］的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；

(2)设曲线C2与曲线Q的交点为4B,P(l,0),^\PA\+\PB\=l

时，求cosa的值.

设函数f(%)=\x+=\2x-1|,

(1)解关于％的不等式f(%)-gM>1；

(2)若2/(%)+g(%)>ax+2,求实数a的取值范围.

高三(下)模拟考试数学(理)试卷

一、选择题

1.

【答案】

C

【考点】

复数的代数表示法及其几何意义

复数的模

【解析】

此题暂无解析

【解答】

z=2—i,z—i=2—2i,\z-i\=2V2,故选C.

2.

【答案】

试卷第6页，总24页

D

【考点】

命题的否定

全称命题与特称命题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

故选。.

3.

【答案】

C

【考点】

交集及其运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

集合力={-2,—l,0,l,2},B{0,1,4},/nB={0,1},选C.

4.

【答案】

B

【考点】

众数、中位数、平均数

【解析】

此题暂无解析

【解答】

将这9个数据有小到大排序，中间数即为中位数，故选B.

5.

【答案】

A

【考点】

奇偶性与单调性的综合

【解析】

此题暂无解析

【解答】

由基本函数的图像可知，只有y=既是偶函数又在（_8,o）上

单调递增.故选力.

6.

【答案】

B

【考点】

古典概型及其概率计算公式

排列、组合及简单计数问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

试卷第8页，总24页

【试题解析】B四人全排列数为24,其中恰有两人符合为自己家

乡代表团服务的种数为废=6,所求事件概率为选B.

7.

【答案】

D

【考点】

等比数列的性质

等差数列的性质

等差数列与等比数列的综合

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】Da3a15=al=8a9,因为。9。0,所以=8,

则d=8,b7+b11=2b9=16,选。.

8.

【答案】

A

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

此题暂无解析

【解答】

因为点(0,2)在曲线上，所以/'(())=a+cosO=2,于是a=1

所以/(%)=x+cos%+l,/'(x)=1—sin以/■'(())=1,

故切线方程为y-2=%-0,即％—y+2=。

9.

【答案】

A

【考点】

双曲线的定义

双曲线的离心率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】/由双曲线定义，

\PM\+\PF1\=\PM\+\PF2\+2a>\MF2\+2a=2岳,所以

2a=V2c,e=V2,选4.

10.

【答案】

A

【考点】

球的表面积和体积

截面及其作法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

试卷第10页，总24页

截面圆半径为1,球心到截面距离为2,所以球的半径为遮，所

以球的表面积为20可选Z.

11.

【答案】

B

【考点】

由y=Asin(u)x+巾)的部分图象确定其解析式

正弦函数的图象

正弦函数的对称性

正弦函数的周期性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】B由图象可知，泞=即+冷7=耳/=2,4错误,

4o1Z

又2x(一工)+口=-^+2kn,\(p\<=卜/(%)=

2sin(2%+(),

厚0)是其图象的一个对称中心，B正确,判断C,D错误，故选

B.

12.

【答案】

B

【考点】

函数的零点

指数式与对数式的互化

函数的单调性及单调区间

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】8易知/(%)在定义域内单调递增，f(|)=log21-

I，由(|)3<22,所以而兀<(|)\所以c<a；

又因为

©S>®4=f>32=25>所以>2l,有啥吗a<l，

而H<e,所以a<“选B.

二、填空题

【答案】

5

【考点】

平面向量的坐标运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

a—b=(1,3),(a—匕)•匕=5

【答案】

2、

试卷第12页，总24页

【考点】

求线性目标函数的最值

简单线性规划

【解析】

此题暂无解析

【解答】

设z=%+y,由可行域及目标函数几何意义，可知zN-|

【答案】

2-V2

【考点】

椭圆的定义

椭圆的标准方程

【解析】

此题暂无解析

【解答】

22

【试题解析】|PF]|+\PF2\=4,|PF/2+\PF2\=12,\PF2\-

4\PF2\+2=0,因为|PFi|>\PF2\t所以IPF2I=2-V2

【答案】

4044

【考点】

数列的求和

数列递推式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】由=1,。2=2可得。3=3,=1，=

2,a6=3,依此类推可知%+（12+…+。2022=674（%+。2+

。3）—4044

三、解答题

【答案】

【试题解析】解：（1）由2x2列联表中数据计算可得，K2的

观测值

,500x(100x70-150x180)2

K.—X51.948>6,635,

250X250X280X220

所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高

有关.

（2）从2x2列联表可知，数学得分在120分以上（含120分）

且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的频率为黑=

9

25，

由题意知X〜B（100,晟），

所以E（X）=100x盘=36.

【考点】

独立性检验

离散型随机变量的期望与方差

【解析】

此题暂无解析

试卷第14页，总24页

【解答】

【试题解析】解：（1）由2x2列联表中数据计算可得，K2的

观测值

,500x(100x70-150xl80)2

rC=y51.948>6.635,

250X250X280X220

所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高

有关.

（2）从2x2列联表可知，数学得分在120分以上（含120分）

且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的频率为盍=

9

25，

由题意知X〜3（100,摄），

Q

所以E（X）=100x2=36.

【答案】

【试题解析】解：(1)由正弦定理，。2=15+炉，

由余弦定理匕2=a?+25-5a,

有a=8,b=7,从而三角形面积为［x8x5x苧=108，

(2)由(1)知/£>=(,CD=T，由cos4BD/+cos4BDC=0,

-^AD2+BD2-AB2,DC2+BD2-BC2c

方-------------

c2ADBD1------2-D--C--B-D------0,'

解得BD=蜉.

【考点】

正弦定理

三角形求面积

余弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】解：(1)由正弦定理，a2=15+b2,

由余弦定理廿=a?+25-5见

有a=8"=7,从而三角形面积为：x8x5x曰=108，

(2)由(1)知4D=(,CD=葭，由cosziBZM+cosZ_BDC=0,

-^AD2+BD2-AB2,DC2+BD2-BC2_

句-------------

2ADBD1------2-D--C--B-D------0,'

解得BD=蜉.

【答案】

【试题解析】(1)连接4M,易知阻/AM,

DE//AM,

AMu平面48814]}=DE〃平面

DEU平面

(2)取力16的中点5,以。为原点，以ZM方向为％轴，以BD方

向为y轴，以方向为z轴，

建立如图所示坐标系.设=2,

试卷第16页，总24页

M(0,—1,1)D(0,0,0)C(—g,0,0),Bi(0,—1,2),

—>—>

DM=(0,—1,1)DC=(-V3,0,0),

平面COM的法向量为九=(0,1,1),

—>

BiC=(—g,l,-2),

设。为直线当C与平面COM所成的角，则

TTT

]1

sin0=|COS〈BICTI>|二/吗

|BiC|,|n|2V2XV24

综上，直线为。和平面CDM所成角的正弦值为1.

【考点】

直线与平面平行的判定

用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】(1)连接力M,易知D£7//M,

DE//AM,

AMu平面48814]}=DE〃平面

DEU平面

(2)取力16的中点5,以。为原点，以ZM方向为％轴，以BD方

向为y轴，以方向为z轴，

建立如图所示坐标系.设=2,

M(0,—1,1)£)(0,0,0)C(-V3,0,0),邑(0,—1,2),

DM=(0,-l,l)DC=(-V3,0,0),

■—>

平面COM的法向量为九=(0.1,1),

B[C=(-V3,1,-2),

设6为直线Bi。与平面COM所成的角，则

TTT

]_1

sin。=|COS〈BIC,TI>|=|乎>一

2V2xV2-4

综上，直线Bi。和平面CDM所成角的正弦值为：.

4

【答案】

(1)解：当a>0,6=—a—2时，/(%)=%—a—2+?

2

_%-(a+2)x+2a_(x-a)(x-2)(X>0).

xx

令/'(%)=o,%=a或2,

当a>2时，函数/(%)在(0,2)上单调递增，在(2,a)上单调递减，

在(a,+8)上单调递增；当a=2时，尸(%)=出了>0,故函数

/(%)在(0,+8)上单调递增；

当0〈aV2时,函数/(%)在(0,a)上单调递增，在(a,2)上单调递

减，在(2,+8)单调递增；

(2)证明：当匕=-2时，/(%)=%—2+票=三子必(％>0),

试卷第18页，总24页

函数/(%)有两个极值点%i，%2,，方程%2-2%+2a=0有

两个正根%1，%2，

...俨1+乃=2,且4=4—8。>0解得o<a<3

由题意得f(%1)+f(%2)=1婢-2%1+2alnXi-2x2+

2alnx2

二|(xf+%2)-2(%i+&)+2aln(%i-x2)—2aln2a—2a—2,

令h(a)=2aln2a—2a—2(0VaV[),

则/i'(a)=21n2a<0,y=h(a)在(0,乡上单调递减，.二

/i(a)>%6)=一3,

/(%i)+f(%2)>-3.

【考点】

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的极值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)解：当a>0,b=—CL—2时，/'(久)—x—CL—2H---

x2-(a+2)x+2a(x-a)(x-2)/人、

=-----------=---------(%>U).

xx

令尸(%)=0,x=a或2,

当a>2时，函数>%)在(0,2)上单调递增,在(2,a)上单调递减，

在(a,+8)上单调递增；当a=2时，/(%)=回/>0,故函数

f(%)在(0,+8)上单调递增；

当OVaV2时,函数f(%)在(0,a)上单调递增，在(a,2)上单调递

减，在(2,+8)单调递增;

(2)证明：当匕=—2时，f'(%)=%—2+吆=、-2x+2a(%>0),

XX

''函数/(%)有两个极值点％i，%2,方程/一2%+2a=。有

两个正根%1，%2,

...俨1+乃=2,=4—8a>0解得0<a<3

•x2=2a2,

由题意得/(%])+/(不)=一2/+2aln%i-2%2+

2a\nx2

=1(淄+%2)-2(右+&)+2aln(%i•x2)—2aln2a—2a—2,

令/i(a)=2aln2a—2a—2(0<a<J,

则履(a)=21n2a<0,y=h(a)在(0，)上单调递减，，

h(a)>hQ)=-3,

f(%i)+f(%2)>-3.

【答案】

【试题解析】(1)设点M的坐标为(居y),由题意可知：

-+*=\x-(-1)|,

化简得好=4%,即为轨迹C的方程.

(2)设直线，的方程为％=ty+2,4(%],%),8(%2，乃)，则

联立直线，与C:/=4x,得y2-4少一8=0,则%+y2=

41,月力=-8,

直线4B的点斜式方程为：y—(―%)="±次(%—%])

%2一%1

(%2-%l)y+%2丫1=02+%)%-丫2%1

试卷第20页，总24页

+%)2—4力力•V=(%+%)%-2亡外为+2(%+%)

代入月+为=4t,7172=-8,可得3"+2-y=x+2,

即直线AB恒过点R(-2,0),

又QP1QR因此点Q在以PR为直径的圆上，即点Q到原点的距离

为定值2,

即点E即为坐标原点(0,0)时，E。长为定值.

【考点】

圆锥曲线的轨迹问题

圆锥曲线中的定点与定值问题

与抛物线有关的中点弦及弦长问题

直线的点斜式方程

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【试题解析】(1)设点M的坐标为(居y),由题意可知：

-+*=\x_(-1)|,

化简得好=4%,即为轨迹c的方程.

(2)设直线，的方程为％=ty+2,/(%,%),8(%2，%)，贝I

A(%i，-%)

联立直线，与C：V=4x,得y2一钮丫一8=0,则%+为=

的乃乃二一8,

直线4B的点斜式方程为：y—(—%)="土皿(％-与)

久2Tl

(%2-%l)y+%2%=(、2+%)%-

卬(%+%)2-4%%•'=(%+%)%-2ty,2+2(%+y2)

代入为+为=管,7172--8,可得+2-y=x+2,

即直线48恒过点R(—2,0),

又QP1QR因此点Q在以PR为直径的圆上，即点Q到原点的距离

为定值2,

即点E即为坐标原点(0,0)时，E。长为定值.

【答案】

解：(1)由p2(3+siM。)=12,x=pcosd,y=psinO,x2+

y2=p2,

得3(/+y2)+y2=12,

22

即曲线Cl的直角坐标方程为菅+5=1,该曲线为椭圆.

(2)将产=；+tC°Sa,RA-+--1.

、7(y=tsma43'

得严(4-cos2cr)+6tcosa-9=0.

由直线参数方程的几何意义，

设陷1=闯,陷|=同,

1乙4-cos2a1乙4一cos2a

所以\PA\+\PB\=|ti-t2|=J1i+t2)2—4口「=二乐=

从而cos2a=

由于ae(0(),

所以cosa=子.

【考点】

椭圆的极坐标方