高考数学经典易错题会诊与高考试题预测14

经典易错题会诊与2012届高考试题

预测(十四)

考点14

极限

数学归纳法

数列的极限

函数的极限

函数的连续性

数学归纳法在数列中的应用

数列的极限

函数的极限

函数的连续性

经典易错题会诊

命题角度1

数学归纳法

1.(典型例题)已知a>0,数列｛aj满足ai=a,an+i=a+L,n=l,2,….

««

(I)已知数列a｝极限存在且大于零，求A=lim%(将A用a表示);

〃一>8

(II)设bn二3"人加二1,2・・・,证明：bn+l=-----%——；

4(%+A)

(III)^|bn|^—,对n=l,2…都成立，求a的取值范围。

2”

［考场错解］(I)由lima”,存在，且A=lima”(A>0),对aa+i=a+，两边取极限得，A=a+—.

”—>8〃一>8anA

解得A=。土正+4.又A>0,；.A="+"2+4

22

(II)由an+bn+A,an+i=a+—Mbn+i+A=a+―!—.

%%+4

…__

b„+AAb„+A4(%+4)

即5+产--%—对n=l,2…都成立。

A(b“+A)

(HI)，.,对n=l,2,・“|bn|wL,则取n=l时,U区工，得J『+4区L

2〃222

I-｛ycT+4-a)l<—./.+4-a<1,解得a>—o

222

［专家把脉］第HI问中以特值代替一般，而且不知｛bn｝数列的增减性，更不能以bl取代bn.

［对症下药］(I)(n)同上。

(U)令|b1|WL得la-g(a+/2+4)K；.

••I—/+4-a区—.

22

+4-aV1,解得a2—.

2

现证明当。2之时，1%区对n=l,2,…都成立。

22"

⑴当n=l时结论成立(已验证)。

(ii)假设当n=k(k2l)时结论成立，即电区与，那么电+/=—v—!—x±

kk

2IA(%+A)IA\bk+A\2

—5—<1

故只须证明A0+AI2,即证A|bk+A22对a23成立

2

由于+庐五2

2“2+4-4

而当a23时,而当时,yla2+4-a<1,.-.A>2.

22

・・I以+AINA—I,巨2——N1,即A|bk+A|22.

故当时’也+J《x盘=六.

即n=k+l时结论成立。

根据(i)和(ii),可知结论对一切正整数都成立。

故jbnW对n=l,2,…都成立的a的取值范围为［］

2"2

2.(典型例题)已知数列2„｝中,ai=3,前n项和S„满足条件S»=6-2a同.计算a2,须、然后猜

想a”的表达式。并证明你的结论。

［考场错解］当n22时，a,1=S„-S„-l=6-2a,n-(6-2a„)=2a„-2a„H,即a.“='巾因为a1=3,所以

2

===a=a=a=

32-31"/33~2~/4—3由此猜想3n=€N)

①当n=l时，ai=4y=3,结论成立；

21-1

②假设当n=k(k2l)时结论成立，即孤=-^7成立，则当n二k+1时，因为合卜+广工己口所以

k+11

皿=［又a］=3,所以｛an｝是首项为3公比为4的等比数列。由此得ak+1=3<1)-=焉,

ak2222人+i

这表明，当n=k+l时结论也成立。

由①、②可知，猜想对任意neN*都成立。

［专家把脉］①应由ai=Si=6-2a2,求得azg再由an+i=；an(nN2)求得a3=：,a4=］,进而由此猜

想an=-^—(n£E*).

2"T

②用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设方=击，而是根据等比列的通项公式求得

ak+i=Trr•这种证明不属于数学归纳法。

[对症下药]由ai=S)=6-2a2,ai=3,得a2=(当n22时，a"=S「Sr)-l=6-2a”「(6-2an)=2a「2ali+“即

:a”.将a2=g代入得a3=：a2=；,a4=ga3=会由此猜想a产言(“eN*).下面用数学归纳法

an+l：

证明猜想成立。

①当n=l时，ai=-^y=3,猜想成立;

a-

②假设当阿⑶)时结论成立，即成立，则当"k+1时，因为ax^k，所以

ak+i=J••^7=热"=系浦这表明，当n=k+ln寸结论也成立。

由①，②可知，猜想对ndN*都成立。

3.(典型例题)已知不等式驾—+…+工>」叫2川,其中n为大于2的整数，［1暇川表示不超

23n2

过log2n的最大整数。设数列｛an｝的各项为正，且满足ai=b(b>0),anW“/一，n=2,3,4,….

n+an—\

2b

(I)证明:anW，n=2,3,4,5,•••;

2+Z?[log2w]

(11)猜测数列｛8｝是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

(III)试确定一个正整数N,使得当n>N时，对任意b>0,都有an<l.

［考场错解］(1)利用数学归纳法证明不等式：为二h

1+/(〃)•/?

3为33

1)当a=3时，a<----=-----<=」■—知不等式成立。

n2+1

3+做_2_+i1+/(3)2

。22al

2)假设n=k(kW3)时,akWb’则e高翟T产T・百丁.叩曲1时,

1+/W

4

不等式成立。

(II)有极限,且linanan=0.

/TTT\2/?2人21

(lll)v----------------<-----------，令--------<-

2+/?|log2n][log2w][log?n]5

解得n>10=1024.取N=1024,有an<1.

［专家把脉］(1)在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式

放缩与转化，不能去拼凑。

［对症下药］(I)证法1：•.•当nZ2时，(KaoW必二L,；.

n+an—\

J_2"殳二1=_!_+1,即J——于是有

a.nan-\an-［na„an-\n

----———所有不等式两边相加可得工-工21+《+…+L

a

«2q2多23anan-1nan可23n

由已知不等式知，当n23时有，----->—[log2w].

ana\2

・・i/L・111[2+/?[log/i]

•al〈b,・・—>—+-r[liog2n]=------——=2—•

anb22b

.7

..an<----2-b----.

2+Z?[log2n]

证法2：设f(n)='+：+…+L首先利用数学归纳法证不等式见n=3,4,5,….

23〃1+f(n)b

⑴当n=3时,由“急<-----:------.知不等式成立。

他+1l+/(3)b

2a)

(ii)假设当n=k(k23)时，不等式成立，即&W—2—,

i+f(k)b

则ak+iW

(k+l)4_攵+1<女+1_(k+l)b_b_b

(氏+1)+4=£±2+i-依+i).l+/.)〃[=(k+l)+(k+l)f(k)b+b=l+[f(k)+J_]b=\+f(k+\)b

依bk+1

即当n=k+l时,不等式也成立。

由(i)、(ii)知，anW——-——n=3,4,5,•••.

1+f(n)h

又由已知不等式得

%<―J——------------------,n=3,4,5,….

1+；口叫也2+帅。外加

(H)有极限，且lim册=0,

〃一>8

l0

(Ill),/-----------<--—，令一-一<-,则有logzn》Llog2n]>10,=>n>2=1024,故取

2+ft[log2n][log2n][log2M]5

N=1024,可使当n>N时，都有a„<|

专家会诊

1.一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除

性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。

2.运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的

证明。

考场思维训练

1用数学归纳法证明"(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•5…(2nT)(nWN+)”时，从n=k到

n=k+l,给等式的左边需要增乘的代数式是()

2&+1

A.2k+\B.

k+\

C(2k+1)(24+2)2k+3

D.

k+\

答案：C解析：略

2曲线C：xy=l(x>0)与直线1:尸x相交于A1,作交x轴于瓦作BA〃1交曲线C于

A2…依此类推。

(1)求点A[、Az、A：.和口、B2、B：4的坐标;

答案：Aid,1).A2(拒+i,72-1).A3(V3+V2,V3-V2)、Bi(2,0)、B2(2V2,0)>B3

(273,0)

(2)猜想A“的坐标，并加以证明；

答案：An(，证明略.

(3)1而IB"为+J

"T88〃_］伉】

答案：设An(',%),%(%,0).

%

由题图:Al(1,1),B1(2,0)・.,aE,b尸2且

:1

%=——+。〃

%

=---加_1(丁A〃在直线y=x—

%

...HmIB“B"+11=Rm9=lim5苕,分子分母乘以(而T+向(而+g))

|—\BnI〃->82an〃->8。〃——1

y/n+』n-l

及lim

“一>8y/n4-1+y[n

3设数列a】，a2,…，an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=「ban-言而其中b是与n

无关的常数，且bHT。

(1)求a0和ae的关系式：

答案：a„=$「SnT=-b(a「an-i)———!——+---!——-=-b(a„----——(n>2)

(l+h)n(1+(1+力”

解得an=-——^n-1+—"](〃N2)

\+b(\+b)n+]

(2)猜想a“的表达式(用n和b表示);

答案：Va=s=l-ba--a,=—

11+6(1+初2

bbh.b

=r1

3----1^H-9+------1--------r

n\+b\+b(1+b)"(l+b)"+l

b2b2+b

宣)"+不赤7T

,b2tbh〃+房

(------)[------an-3-----------------TT

1+6\+b(l+b)〃T(l+/?y/+,

/b、2b+b2+b3

(币)味3+诉k.“

由此猜想an=(2)"Tq+"〃2+/，3+-；+\

1+0(l+b),,+l

把代入上式得

(1+炉

b-bn+'

b+b2+…+b”n

a：(l-bW+b)

n(1+b严।

品咤)

(3)当0<b〈l时，求极限limS„.

1b_y+11

(3).S〃=I-ba--------=1-/?•————-

n(1+b)"(l-/?)(l+*)n+l

Ji)_LM

答案:

(l+b)〃\-b1+b

*/0<b<IH't,limbn=0,lim(----)n=0,/.lim5=1.

A—8M-»oo14-pM—»ooZJ

命题角度2

数列的极限

1.(典型例题)已知数列{xj满足X2=3,Xn=，(xnT+xn-2),n=3,4,….若lim.%.=2,则xl二

22〃—>8

()

A.-B.3C.4D.5

2

［考场错解］C.,.,xl=4..•.xZuZ,x3=;(xl+x2)=3,x4=；(2+3)='|,x5=；(3+'|)=?■，….当n78,

由趋势可知4T2,故选C

［专家把脉］通过有限项看趋势，并不能准确描述极限。

［对症下药］B由Xn=1(Xn.i+Xn-2)可得2乂302+乂1,2乂4林+乂2,2乂504+乂3,…,2Xn=Xx+Xn2两边相加得：

2

2xn+xn-i=2x2+xi,两边取极限,2xi=4+2,

.*.xi=3.

2.(05,浙江高考卷)lim1+2+3；-+"=()

“T8〃/

A.2B.4C.-D.0

2

［考场错解］Dlim"2+3；_tZL=］加(\+N+-^+…+2)=lim'+lim马+…+lim'=o.

［专家把脉］无穷数列的和的极限不能求极限的和。

［对症下药］lim支要=lim”LL

n—>oo2/1〃一>82〃2

3.(典型例题)已知数列{log2(anT)}(n£N*)为等差数列，且a】=3,a2=5,贝！］

lim(——!——+!——+…+--!---)=()

〃—8a2-aja3-a2afl+1-an

A.2B.-C.1D.-

22

［考场错解］DVai=3,a2=5./.log2(al-l)=l.log2(a2-l)=2..\an-i=2n.an=2an-i.，

1

vlim--------------

…gan+i-a・

故lim(—5--1---5——+…H---!——)=——5——=-

a

a2-a}ay-a2^2~\2

［专家把脉］无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限，不能求极限的和。

［对症下药］CVai=3,a2=5.Alog2(ai-l)=l,log2(a2-l)=2.

an-l=2n,an=2n+l.

-----------1-+…+

。2一1的一。2an+\~an

111

=++•••+^^---

22-212-222n+1-2n

2

，lim(，+，+...+］,

〃T8a2-a｝a3-a2an+｝-an

4（典型例题）计算:lim

i3"+2"+1

l^2；=lim

［考场错解］im

〃T83"+2”+〃T8

［专家把脉］lim(-)M=0,而不是1。

〃T83

,1

..3|1+|-2"_..1-3

［对症下药］lim-------r-lim――-

3"+2向〃T8—1,r

3

5(典型例题)已知Un=anTb+a「2b2+…+abn-i+bn(n£N*,a>0,b>0).

(I)当a=b时，求数列｛u“｝的前项n项和S„o

(n)求lim2。

〃T8wn-l

n23trIn

［考场错解］(I)当a+b时，rn=(n+l)a.Sn=2a+3a+4a+•­•i+(n+l)a.则

234nn

aStl=2a+3a+4a+,•,+na+(n+1)a”.两式相减：

o_(H+1)。"？—(〃+2)a〃+l—c厂+2a

s"=0

k117hmhm----——-lim-------a.

ni

〃—>8wn_jua〃T8n

［专家把脉］(I)问运用错位相减时忽视a=l的情况。

(II)a=b是(I)的条件，当aWb时，极限显然不一定是a.

［对症下药］(I)当a=b时，L=(n+l)an.这时数列｛%｝的前n项和

23n-1n

Sn=2a+3a+4a+,,,+na+(n+1)a.①

234n+,

①式两边同乘以a,得aSn=2a+3a+4a+—+na"+(n+1)a②

①式减去②式,得(l~a)Sn=2a+a2+a3+e*,+an-(n+1)an+I

na(ia，i)n+1

若a^l,(l-a)S=~-(n+l)a+a

\-a

Sn=^r+一百一

5+l)a"+2("+2严-+2a

d-«)2

若a=l,Sn=2+3+***+n+(n+l)=-^^^

5+1)。〃a(n+1)

(H)由(I),当a=b时,Un=(n+l)an,则lim=limhm———-=a.

〃一>8〃〃一1，IT811TLin—8n

当aWb时，Un=an+an'lb+,•,+abn1+bn=an[1+—+(—)2+•••+(—)n]

l-(-)"+1

a_L_g〃+l一〃+1)此时,4-=£_0一

-TT-nn

a-bun_xa-b

a

n

,,c〃+lA”+la-h(-)

或a>b>0,lim——二lim---------lima

n

〃—>8un_\»8a_b">8

若b>a>0,lim-^_=lim—----=b.

"T8u„_!n->~_]

专家会诊

1.充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限①limC=C.(C为常数).②lim1=0.

〃T8M-»oon

③limqn=0,|q|<l.

〃一>8

2.对于二型的数列极限，分子分母同除以最大数的最高次项，然后分别求极限。

OO

3.运算法则中各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无

限个。

考场思维训练

1若q为二项式(±-?尸)s的展开式的常数项，则limg[=___________.

23&“T87+1—1

答案：1/7解析：可求得q=7,lim卫二=L

”787,,+1-17

2已知点A(0,2)、B(0,-2)、C(4+2,0)其中n为正整数，设S”为三角形ABC外接

nnn

圆的面积，贝IjlimS=—

〃T8n

答案：4n解析；设外接圆的半径为降，则(-)2+(4+2-Rn)/：，

nn

R„=——+工+2所以lim/?„=2,所以limS“=4万

2n~+n〃〃一>8〃一>8

3已知等比数列｛xj的各项为不等于1的正数，数到｛%｝满足yn=210g凶(a>O,arl),设

y」=17,y7=l1.

(1)求数列｛y“｝的前多少项最大，最大为多少？

答案：由已知得,数列为关数列，兴=17,门=11,

公差d="§"=-2".yn=>4+(n-4)rf=25-2n,:.当1V”V12时，加>0,当”>13时,yn<0,.,.数列｛加｝

的前12项最大，最大为144.

(2)设bn=2yn,sn=bl+b2+…+bn,求lim2■的值。

“T82”

答案：Vbn=2yn,Sn=bl+b2+-bn,二｛bn｝为等比数列.

且公比为q=L二lim和=«-=建=之

4〃―>8I-q33

4

...S〃_1

••lim-rr=—.

〃—>82253

4设an=l+q+q2+・・・+q：“(n£N+,qW±)，An=C;ai+C)a+…+C\an

(1)用q和n表示A„；

答案：•••qWl,/.a.,=-^

i-q

-An+•+

i-qi-q\-q

-【(C：+&：+.•.+C")-(qC：+『C,；+…+</"C")]

1-4

=7--[(C,°+C,1,+---+C")-(C°+qC\+q2C^•■•+q'C'„)]

i-q

=42"-(1+泌(#1)

1-4

⑵当-3<q<l时，求lim%的值;

2”

答案：=—11-(-^-)"l,v-3<^<1,

2nl-q2

.4_i

•・lrim-----------

x—>82“1-q

命题角度3

函数的极限

L（典型例题）若变（七一占）=1'则常数&b的值为()

A.a=-2,b=4B.a=2,b=-4

C.a=-l,b=-4D.a=2,b=4

[考场错解]Alim6g女=lim±0=1.故能约去(1-x),...a=-2,b=4.

x->l1—X2XT1(1+X)(l—X)

［专家把脉］（ax+a-b）中有在式（l-x）的求解中，注意a、b的符号。

a[1+x)-b_ax+a-h,

［对症下药］CVlim=hm------------=1.

1-x2XT1(l+x)(l-X)

故ax+a-b中必有因式(1-x),且极限为1。故a=-2,b=-4.

2.(典型例题)若lim上3=1,则limA1=()

x—>1X-1x—>1f(2.—2x)

A.-1B.1

x-1

［考场错解］Dlimhm----------

A->1针NW.^1f[2(x-\)]2

［考场把脉］错误理解极限存在的条件。函数f（x）中必有因式（X-1）,

［对症下药］U.・理止1=1,故f(xT)=x-l.

x-1

1_

Af(x)=x.:.lim——

XT12—2x2

3.(典型例题)】im(—~~!------------=-----)=()

Il-3x+2x—4x+3

AB.cD.-

-42-46

1-x

［考场错解］B原式=——=吧

(x-2)(x-3)2

［专家把脉］在运算中注意符号的变化。

1-x

［对症下药］A吧言律言-lim=lim

,t—>1(x—l)(x—2)(x—3)A—>1(x—2)(x—3)2

4.(典型例题)痴乎=()

X+3X2-9

A.--B.0C.1D

66-i

［考场错解］B当X--3,x+3=0,故lim手上=0。

一“一9

［专家把脉］求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入。

［对诊下药］Alim

x—>—3x~36

专家会诊

1.求函数的极限时，如果X-Xo即X。是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(Xo)

的值。就是函数的极限值。

2.当f(x)在X。处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意

义时再求f(Xo)的值，即为极限值。

3.L1知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。

考场思维训练

1设f(x)在Xo处可导，f(Xo)=O则limnf(X--)=.

“T+8Ofl

答案：-f案Xo)解析：lim〃/(殉」)

«—»+«>n

/Uo--)-/Uo)

=-1而------------=-/'(x).

X->+oo__£0

n

2lim-=()

〃->12x--x-l

A.-B.-C.0D.2

23

答案：B.解析：略

3已知lim三丝必=a,且函数y=ah?x+2+c在［1,e］上存在反函数，则()

XT2x-2x

A.be(-oo,o)

B.b0(2e,+8)

C.be(-oo,o)U(2e,+8)

D.be(O,2e)

答案：c.解析：略

4设f(x)是x的三次多项式，已知lim3=痴3=1,试求lim3的值。(a为非零

2〃x-2ax->4ax—4ax—3a

常数).

答案：解：由于lim上立=1,可知f(2a)=0①

XT2ax-2a

同理f(4a)=0②

①②可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)有因式,

由于

f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里A、C均为选定的常数，

由lim^^-=1,即lim4(x2a)&4a)GC)=［而A(x-4a)(x-C)=1,得(2a-4a)(2a-C)=1,即

x->2ax-2ax->2ax-2ax->2a

4a2A-2aCA=-l③

同理，由于lim必立=1,得4(4a-2a)(4a-C)=l,

*—4〃x—4a

即8a2A-2Aca=l④

山③④得C=3a,A=」y,因而/")二」yCr-2〃)(x-4“)(x-3a),

2a22a2

lim/(")一二lim-^(x-2〃)(x-4。)=•(一〃)=---

XT3aX-3〃XT3a2/2a~2

命题角度4

函数的连续性

L(典型例题)极限limf(x)存在是函数f(x)在点x=x。处连续的()

XTX0

A.充分而不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

［考场错解］climf(x)存在of(x)在点x=Xo处连续。

XTX0

［专家把脉］limf(x)wf(xo)时,则f(x)在点x=Xo处不连续。

XTX。

［对症下药］BVlim仪外不一定等于函数值£&。)，而f(x)在点x=Xo处连续。则有

.2.5

limf(x)=f(Xo)

.t-^x0

2.(典型例题)已知函数f(x)=lim工，试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，

“TOO4-xn

求出其不连续点。

［考场错解］：4-nxW0,...xnW4,xW-2.，f(x)的定义域为3,-2)U(-2,+~).

当x=0时,f(x)=O,f(0)=0.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。

［专家把脉］错把函数f(x)=M上二当作函数f(x)=—J.

“T84-xn4-xn

［对症下药］(1)当|x|<l时，f(x)=iim±_=O；

〃TOO4-x”

(2)当X=7时，f(x)=lim———不存在;

N—>oo4—X，1

(3)当X>1时，f(x)=lim」一二一

”->84-xn3

(4)当x=l时f(x)=lim——=-l

nt84—xno

0-\<x<\

•*-fM=<gX=1

-1%<—1或1>1

・・・f(x)的定义域为(-8,-1)U(-1,+OO)0

而在定域内，X=1时。

limf(x)=0.limf(x)=-l.limf(x)不存在。

x->rx->l+XT1+

故f(x)在x=l处不连续。・・・f(x)在定义域内不连续。

专家会诊

1.在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即limf(x)=f(x。).前提是f(x)在X。

XT%。

处的极限要存在。

2.在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往

只须考虑定义域内的不连续部分。

考场思维训练

1£仪)在乂=1处连续，且痴3=2,则f⑴等于()

XT1X~1

A.-1B.0C.1D.2

答案：B.解析：略

9x2—ln(2—x)_

2rhm---------------------------------------.

X—14arctanx

答案：-解析：利用函数的连续性，即lim/(x)=/(x0),

兀

...x2-sin(2-x)I2-sin(2-l)1

・・lim---------------------=---------------------=—

XT.H4arctan/4arctan17t

x0<x<l

3设f(x)=Lx=l则/Xx)的连续区间为()

2

1l<x<2

A.(0,2)B.(0,1)

C.(0,1)U(1,2)D.(1,2)

答案：C.解析：limf(x)=lim1=1

XT1+XT1+

limf(x)=lim=1,

XTI-X->\-

lim/(x)=l#/(l)=i

XT12

即f(x)Dx=l点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续。

X(X<1)

4求函数f(x)=1的不连续点和连续区间

10g2(^--)U>1)

答案：解：不连续点是x=l,连续区间是(-8,1)U(1+8).

探究开放题预测

预测角度1

数学归纳法在数列中的应用

1.已知数列｛an｝满足条件(n-1)a““=(n+l)(a.T)且a?=6,设b“=a“+n(nGN*),

(1)求｛垢｝的通项公式；

(2)求lim(——---1---!---1-------1--1--!—)的值。

“TOOb2-2&-23-2-2

［解题思路］(1)运用归纳一猜想一证明。(2)裂项法先求数列的和，再求和的极限。

［解答］1.(1)当n=l时,代入已知式子中，得ai=l,当n=2时,得a'=6,同理可得a&=28,

再代入bn=an+n,得bi=2b=8,b3=18,.•.猜想bn=2r?,用数学归纳法证明：1。当n=l时，

bi=a1+l=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2°假设n=k(k22)时命题成立,即bk=2k；即

ak+k=2l<2,ak=2k2-k,则n=k+l时.，

22

bk+i=ak+l+k+l=—(a(t-l)+k+l=—(2k-k-l)+k+l=(k+l)(2k+l)+(k+l)=(k+l)(2k+2)=2(k+l)

kk-1

・••当n=k+l时，结论成立。

由1°、2。可知bn=2n2.

(2)原式=lim(—+—+•••+-y——)

〃->86162n—2

rlr111.1rrlzl11111111

i21x32x4(H-1)(/?+1)2fo232435〃-1〃+14

lim(Id----------)——

〃一>82nn+\8

2.设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)|证明：对所有正整数k有

m

力|f(2k)-f(2,)|W若

［解题思路］运用数学归纳法证明。

［解答］10当k=l时，左=0=右，命题成立。2。假设k=n时，不等式成立，即

£|f(2，-f(2')|W如心，则k=n+l时，£|f(2k，1)-f(2f)|=

M2i^i

Z|f(2k+l)-f(2i)+f(2n)-f(2i)||f(2D-f(2i)|+如1,=Zlf(2k+2n)-f(2i)|+

i=l/=1i=l

-1)二世〃(〃T)二+1)

~~~2~~2~,

故当k=n+l时，命题也成立。

由1。，2。可知原不等式成立。

预测角度2

数列的极限

1.已知(X&-L)6的展开式的第五项等于竺，则lim(X-1+X-2+…+x-n)等于

x2〃—)8

A.0B.1C.2D.-1

［解题思路］利用二项式的通项公式求出x的值，再求数列和的极限。

3

4142

［解答］BT5=C6(X)()=15x-l=y

2

.*.x1=—/.lim(x-1+x2+*,*+x-n)=lim(—+—+-+—2―=1.

z1

22482ni—

2

...选B

2.设xn=4\4Ti■-向，求数列仅户的极限。

［解题思路］由于石，内）的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数

列。

［解答］因为Xn=Vn(7«+1-Vn)=VnT厂用G除分子和分母,

Vn+l+V«

由1+L—l得知1(〃T8),再应用除法运算,即求得limX-lim

n〃一>8nn—>©o2

j+lrZ»+l

*3.已知a、b是不相等的正数，若lim°一"=2,则b的取值范围是（）

…an+bn

A.0<bW2B.0<b<2

C.b>2D.b>2

［解题思路］B讨论a与b的大小后，分子、分母同除以『用或6用，后再求山极限值求范围。

l-(-)n+l

aa+l-bn+l

［解答］当a>b时,lim----------------=lim-1~^—=0=2.

w—><»a"+b””一>8

+-•(-)"

aaci

A0<b<2.

当a<b时,limlim=-b<0不可能为2,故a<b不成立。

〃一»8a"“一>8

；.b的范围是(0,2)。故选B

预测角度3

函数的极限

3

彳sinx-2sin.t+l2

1.lim------------------------lim(sin~x+sinx-1)=1

、兀sinx-1

n—>—

2

2.求limG-2.

”->4x—4

［解题思路］将分子有理化，使分子分母极限存在。

［解答］limlim(4-2)('+2)=二x-411

XT4X-4.14(X-4)(Vx4-2)XT4(x-4)(«+2)Jx+24°

预测角度4

函数的连续性

1.函数f(x)在x()处有定义是lim(fx)存在的()

XT&

A.充分不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解题思路］利用极限在某点存在性判断

［解答］D•.•函数在X。处有定义，但在此点处极限不一定存在，反

之也不一定，如图(1)(2)。

2.设f(x)=当a取何值时，函数f(x)是连续的？