2020版高考数学第三单元导数其应用课时6导数实际应用综合应用课后作业文(含解析)新人教A版

导数的实质应用及综合应用1．某商场销售某种商品的经验表示，该商品每天的销售量y(单位：千克)与销售价钱a2x(单位：元/千克)知足关系式y＝x－3＋10(x－6)，此中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每天可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确立销售价钱x的值，使商场每天销售该商品所获得的收益最大．(1)由于当x＝5时，y＝11，因此a＋10(5－6)2＝11，解得a＝2.5－3(2)由(1)知该商品每天的销售量y＝2＋10(x－6)2(3＜x＜6)，x－3因此该商场每天销售该商品所获取的收益f(x)＝[x－23＋10(x－6)2](x－3)2＋10(x－3)(x－6)2(3＜x＜6)，因此f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]30(x－4)(x－6)．当x变化时，f(x)，f′(x)的变化状况以下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单一递加极大值42单一递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，因此当x＝4时，f(x)max＝42.答：当销售价钱定为4元/千克时，商场每天销售该商品所获取的收益最大．2．请你设计一个包装盒，以下图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去暗影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F是AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．若广告商要包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．依据题意，有22S＝4·2x·2(60－2x)＝240x－8x＝－8(x－15)2＋1800(0<x<30)．因此x＝15时包装盒侧面积S最大．依据题意，有222V＝(2x)·2(60－2x)＝22x(30－x)(0<x<30)．因此V′＝62x(20－x)．当0<x<20时，V′>0，V单一递加；当20<x<30时，V′<0，V单一递减．因此当x＝20时，V获得极大值，也是最大值．2－2x21此时，包装盒的高与底面边长的比值为2x＝2，即x＝20时，包装盒容积V(cm3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为3．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.议论f(x)的单一性；若f(x)有两个零点，求a的取值范围．f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．

12.设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(－∞，1)上单一递减，在(1，＋∞)上单一递加．(ii)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．①若a＝－e，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，2因此f(x)在(－∞，＋∞)上单一递加．e②若a>－，则ln(－2a)<1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.因此f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单一递加，在(ln(－2a)，1)上单一递减．e③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.因此f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单一递加，在(1，ln(－2a))上单一递减．(2)(i)设a>0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单一递减，在(1，＋∞)上单一递加．又aa223f(1)＝－e，f(2)＝a，取b知足b<0且b<ln2，则f(b)>2(b－2)＋a(b－1)＝a(b－2b)>0，因此f(x)有两个零点．设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，因此f(x)只有一个零点．e设a<0，若a≥－2，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单一递加．又当x≤1时，f(x)<0，e故f(x)不存在两个零点；若a<－2，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单一递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单一递加．又当x≤1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．4．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.议论f(x)的单一性；若f(x)≥0，求a的取值范围．函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2xx2xx－a)．－ae－a＝(2e＋a)(e①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单一递加．②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上单一递减，在(lna，＋∞)上单一递加．a③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln(－)．a当x∈(－∞，ln(－))时，f′(x)<0；2a当x∈(ln(

－2)，＋∞)时，

f′(x)>0.a

a故f(x)在(－∞，ln(

－2))

上单一递减，在

(ln(

－2)，＋∞)上单一递加．①若a＝0，则f(x)＝e2x，因此f(x)≥0.②若>0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)获得最小值，最小值为f(ln)＝－a2ln，aaa进而当且仅当－a2lna≥0，即a≤1时，f(x)≥0.③若a<0