学年工科硕士研究生期末考试矩阵论试题_第1页
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武汉大学数学与统计学院2005-2006学年工科硕士研究生学位课程期末考试《矩阵论》试题(A卷，150分钟)专业电气工程班号姓名学号注：所有的答题内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方的一律无效；交卷时将试卷连同答题纸、草稿纸一并上交。是非题(满分12“√”,否则打“×”)(√是的实矩阵，为维向量，则；(×)2.设阶方阵满足，则的特征值只能是1；也可能是-1，如令证明：(√)3.欧氏空间上的任意两种向量范数都是等价的；在线性空间中所任意两种范数等价而欧氏空间是一种特殊的线性空间(√)4.设为矩阵，为阶可逆方阵，则.填空题(本题满分12分,每空3分).设有三个四维向量.则它们的2-范数分别为2;2;;且与都正交的所有向量为.即求的解。三、(本题满分12分,每小题6分)设阶方阵满足.1.试利用滿秩分解证明；证法1：（利用秩的性质证明）证法2：（利用满秩分解证明）2.进而证明.四、(本题满分12分)常见的矩阵分解有哪些?试求矩阵的谱分解.答：常见的矩阵分解有：三角分解，正交三角分解，谱分解，满秩分解，奇异值分解和极分解，，五、(本题满分12分,每小题4分)给定的两个基和若定义线性变换为：,且有内积：,试求：1.求两基间的过渡矩阵；在基下的矩阵的度量矩阵其中.六、(本题满分12分,每小题6分)设有三阶方阵,1.试证明矩阵不能相似于对角矩阵；因为没有3个线性无关的特征向量，所以不能相似于对角阵2.试求的Jordan标准形；七、(本题满分12分,每小题6分)设为阶方阵，为一个多项式，1.试证明矩阵的特征向量皆为的特征向量；令当X为A的特征向量，即满足时，有，其中所以X也为的特征向量2.试估计矩阵的特征值的分布范围.特征值范围：八、(本题满分16分,每小题8分)1.设为实矩阵，什么叫做的广义逆？的广义逆是否惟一？并给出其证明。答：为实矩阵，如果存在满足条件，则称G为A的广义逆矩阵，记作；的广义逆是不惟一。证明如下：证明：若取，有说明也

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