初等多值函数解读

§3初等多值函数一、教学目标或要求：掌握基本的初等多值函数的定义、性质；二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质；重点：基本的初等多值函数的定义、性质；难点：支点的概念三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：21-26（习题课检查）§3初等多值函数1.根式函数定义2.9设，规定根式函数为幂函数的反函数。(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的，都有个不同的与之对应，即有因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出个单值函数．设函数为多值函数，若当变点从起始点出发绕一条包围点的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点时，函数从一个支变到另一个支，则称点为函数的支点．(3)根式函数的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．根式函数

它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。

假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。

因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数

，，

利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有

，，

在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。比如原点。在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。

用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。即

下面以为例，来阐明有关多值函数的基本概念.

(i).是多值函数

由得，令，则有

由此可得w的模与z的模一一对应，而对应着每个；有三个不同的值(主值幅角)

故

所以：是多值函数

(ii).单值分支

对于同一z值的三个w值的模相同，而幅角成公差为的一个等差级数.如果在w平面上作一个以原点为顶点，张角为的角形区域，而规定w在区域I上取值，那么函数就建立了z平面上区域的点与w平面上区域I的点之间的一一对应关系.

例如在z平面上区域上任取一点，函数在区域I上有唯一的点与之对应.对来说，在w平面上区域I，能使不同的w值对应于z平面不同的z值，这样的区域称为的单叶性区域.

同理，对于z平面上区域上任取一点，在区域和区域上，函数分别确定了唯一的点和与之对应，区域II,III都是的单叶性区域.若区域I,II,III分别加上相邻的端边，构成,,，当用三个角形把w平面布满后，一个多值函数划分成了三个单值分支:

分别为一个单值分支的值域，而此时有：.

(iii).支点在z平面上选定一点，相应(取第一支)，再让点在z平面上沿一闭合曲线，按逆时针方向连续变化，如果这条曲线不包含原点(如图曲线)，则当动点回到原来位置时，连续变化的幅角也回到原来的值，相应的w也回到原来的，但如果这条闭曲线内部包含原点,(如图曲线c)，那么当动点沿逆时针方向绕一整圈回到原来位置时，z的幅角就要增加，成为，与此相应的w值就从变到.从以上分析可得，对于函数来说，z=0点具有这样的性质，当z绕它转一整圈回到原处时，多值函数由一个分支变到另一个分支，这个点就称为多值函数的支点.一般来说，对于一个多值函数，存在这样的点，当自变量z绕它运动一周而回到原处，多值函数并不回到原值，而由一个分支变到另一个分支，这样的点，叫支点.

再看无穷远点，对于，令z绕无穷远点运行一周，绕无穷远点运行是指：由于复平面上的无穷远点对应着复数球的北极，如果在复数球面上作一个小圆环绕北极，这个圆就对应着复数平面上一个很大的圆，因此，绕无穷远点支行一周是指在复数平面上沿很大的圆运行一周.显然z沿很大的圆绕

一周，由一个分支变成另一个分支，所以无穷远点也是函数的支点.这个函数再没有其它支点了.

从以上分析可得，当z沿支点转一周时，由变成，即由前一个分支变成后一个分支，再转一周，

变成，所以，复变多值函数不能分解成三个独立的单值函数，不像多值的实变函数，如可分解为独立的和(iv).支割线

为了把多值函数分解为独立的单值函数，我们必须作支割线.在z平面上从支点z=0到支点任意引一条射线，称为支割线，将z平面割开，并规定当z连续变化时，不得跨越支割线，即规定，这就使得在割开的z平面上的任意闭曲线不含支点在内，这样相应的函数值也只能在w平面上的一个单值分支上取值，而不会由一支变到另一支，这样就将多值函数的三个单值分支完全分开了，即就将多值函数变成了独立的单值函数.

注意：把一个多值函数划分为单值分支是与支割线密切相关的，对不同的支割线，多值函数各单值分支的定义域和值域也就不同.例如：

i）.当沿正实轴割开的z平面时,的三个单值分支为，定义域：.值域为：

,

,

,

ii）.当沿负实轴割开的z平面时，三个单值分支为，定义域：值域为：

,

,

,

其它情况可类似得到.例设确定在沿正实轴割破的z平面上，并且，求

分析：本题求解的关键在于确定究竟取三个单值分支中的哪一支.确定的方法是：首行根据支割线的形式确定定义域与值域，然后由已知条件确定取哪一支.

解：由于是沿正实轴割破的z平面上，所以定义域为：(相应的三个单值分支的值域就确定了)

由于，因此故应取第三支

又，故.

.

(v).支割线可分为两岸

每个单值分支在支割线两岸取不同的值，在支割线上不连续.如在沿负实轴割开在z平面上单值分支，从负实轴上方趋于负实轴上，

时,取.从负实轴下方趋于负实轴上时，取.

(vi).三个单值分支在割破的z平面上都是解析的，且：

对于一般的根式可进行类似的讨论，此时支点为和，

。例设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。

解设，则

由代入得

解得：，从而

。2.对数函数定义2.10规定对数函数是指数函数的反函数。即若

则复数称为复数的对数，记为。

为求的表达式，令，，则有

因而故

或

这说明对数函数是无穷多值的多值函数。在平面上从原点起割破负实轴的区域内，可以得到的无穷多个不同的单值解析分支：

其主值支为。每支相同的导数

对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数．对数函数的基本性质:设，例设则

例计算．解（：整数）例计算。解：（为整数）例试求方程的解。解因为，所以，由对数函数主支的定义有即所给方程的解为。

若限定取,，则z的对数只有一个，称它为的主值支，记为

单值分支、支点、支割线

在w平面上，用平行于实轴的直线，划出一个宽为的带形，如，而规定w在带形I中取值，则给出z平面与w平面上带形I的一一对应关系.带形I是的单叶性区域加一条端边.用的互不相交的带形把w平面布满后，每个带形就是对数函数的一个相应分支的值域.

对数函数只有两个支点，从0点到点作支割线，即可得到在这割破的z平面上的无穷多单值分支.

无穷多个单值函数都是解析函数，且：

运算法则

但不成立.

3.一般幂函数与一般指数函数定义2.11（为复常数）称为的一般幂函数。定义2.12（为复常数）称为一般指数函数．例求和的值。解：，4.具有多个有限支点的多值函数对具有多个有限支点的多值函数，我们不便采取限制辐角范围的方法，而是求出该函数的一切支点，然后适当连接支点以割破平面。于是在平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支。

（1）讨论函数

（2.24）

的支点，其中是次多项式，

是的一切相异零点，分别是他们的重数，满足

例考查下列二函数有哪些支点

(a)

(b)

解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线,当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变,即

从而

故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1也是其支点。

任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简单闭曲线，则

故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。

最后不是的支点。因若设含0，1的简单闭曲线，则

故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。

（b）可能的支点是0，1，。设分别是含0但不含1，含1但不含0，和既含0又含1的简单闭曲线，则

结果的终值较初值均发生了变化。故0，1，都是支点，此外别无支点。

对函数作类似的讨论，可得如下结论：

（a）可能的支点是。

（b）当且仅当不能整除时，是的支点；

（c）当且仅当不能整除时，是的支点；

（2）由已给单值解析分支的初值，计算终值。

因

其中为从到的有向曲线（不穿过支割线），与的取值无关，可以相差的整倍数。

例试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出在点取负值的那个分支在的值

解易知的支点是。因此，将平面沿正实轴从0到1割开，再沿负实轴割开。在这样割开后的平面上，能分出三个解析分支。

现取一条从到的有向曲线（不穿过支割线），则

于是

又由题设，可取。故得

。

（3）关于对数函数的已给单值解析分支，我们可以借助下面的公式来计算它的终值：

即

其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线；是满足条件那一支在起点之值的虚部，是一个确定的值。

例试说明在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。并求时等于零的那一支在的值。

解的支点为。这是因

当变点单绕一周时，

故的值增加了，的值未改变，从而，的值增加了，从一支变成另一支。故是支点，同理也都是支点，此外无其它支点。故在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。

现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则

故

这就是所要求之值。

5.反三角函数与反双曲函数由于三角函数可用指数函数表示，可预见反三角函数可用指数函数的反函数——对数函数表示，先来看反正切函数：

用记号

表示方程

的解的总体。称之为反正切函数。由上面方程可解得反正切的表达式。因上面方程可改写为

故有

由此得反正切函数的表达式

。

对于反正弦函数，我们来解方程

方程可改写为

故有

由此得反正弦函数的表达式

。

同理可得反余弦函数的表达式

反三角函数都是无穷多值函数，分出单值解析分支的方法与前面的讨论类似。

例求反正弦。

解