考研高数讲义-新高等数学上册辅导讲义-第一章上课资料

函数与极限第一节映射与函数一、集合常用数集：自然数集：整数集：有理数集：实数集：开区间：闭区间：半开区间：；；；；邻域：去心邻域：二、函数定义：都有唯一与之对应，记为。三、函数的性质讨论函数：，讨论区间：1、有界性有界：若，使得，称在区间上有界无界：对，总，使得，则称在区间上无界上界、下界：若，使得，，称在区间上有上界；若，使得，，称在区间上有下界定理：若在区间上有界在区间上有上界也有下界。2、单调性严格单调增（减）：若，且，恒有广义单调增（减）：若，恒有，3、奇偶性偶函数：奇函数：常见的奇函数：等常见的偶函数：等4、周期性周期函数：，对，有，且，则称为周期为的周期函数。常见的周期函数：等【例1】（87二）是（）有界函数.（B）单调函数.（C）周期函数.（D）偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数设的定义域为，的定义域为，值域为，且，在定义域上有复合函数。【例2】（88一二）已知，且，求并写出它的定义域.2、反函数将函数称为直接函数，函数称为反函数。与的图形关于直线对称。初等函数第二节数列和函数的极限一、数列极限的定义数列：，，称为整标函数。其函数值：叫做数列（序列）。数列的每一个数称为项，第项称为数列的一般项。简记数列为数列极限：已给数列和常数，如果对于，都，使得对于，不等式恒成立，则称当时，以为极限，或收敛于，记为或。反之，若无极限，说发散。二、函数极限的定义（1）：设函数在内有定义，为一常数，若对于，都，使有，则称当时，以为极限，记为或。单侧极限：左极限：。右极限：定理：（2）：设函数在充分大时有定义，为一常数，若对于，都，使都有，则称当时，以为极限，记为或。单侧极限：；定理：【例1】设（为常数），求的值，使得存在。三、极限的性质性质1（极限的唯一性）数列——若存在，则极限值是唯一的。函数——若存在，则其极限值是唯一的。性质2（有界性）数列——如果收敛，则一定有界。（全局有界性）注：有界的数列不一定收敛。函数——如果，那么存在常数和，使得当时，有。（函数极限的局部有界性）性质3（保号性）数列——，，则，当时，都有。推论：如果数列从某一项起，且，那么注：结论中的“”中的等号不能去掉，前提中的等号可以去掉。函数——若，且，则必存在，使得，都有。推论：设，且在内，则注：结论中的“”中的等号不能去掉，前提中的等号可以去掉。【例2】设在点的某邻域内有定义，且，则必存在某邻域，使得（）(B)(C)(D)不能判断大小性质4（数列与子列的关系）若，则它的任一子数列也收敛，且极限也为。注：若的两个子数列的极限不相等，则该数列发散。性质5（数列极限与函数极限）存在存在且为同一值（）反之：若，而，则不存在。第三节无穷小与无穷大一、无穷小（量）若，则称当时，是无穷小（量）。注：无穷小量是一个变化中的过程量，它趋向于零，但不一定等于0。函数极限与无穷小的关系定理（为一常数），且二、无穷大（量）如果当时，对应的函数值的绝对值无限增大，则称当时，是无穷大（量）。或：若对（无论多么大），总，，有，则称当时，是无穷大（量），记为。注：说明极限不存在，说明为无穷大量；无穷大量是一个变化中的过程量，是一个持续变化的量；无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定为无穷大。【例1】（87二）函数（）当时为无穷大.（B）在内有界.（C）在内无界（D）当时有有限极限.【答案】（C）【例2】（91三）设数列的通项为：则当，是（）无穷大量.（B）无穷小量.（C）有界变量.（D）无界变量.【答案】（D）二、无穷小与无穷大的关系定理：【例3】（90二）已知，其中是常数，则（A）.（B）.（C）.（D）.【答案】（C）三、无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小。（2）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小注：常数与无穷小乘积仍是无穷小两个无穷小的乘积仍是无穷小；有限个无穷小的乘积仍是无穷小。【例4】（07数二）【答案】0第四节极限运算法则一、极限的四则运算公式下列公式中，自变量是同一变化趋势。设，，则有（1）（2）若是常数，则（）（3）若，（4）设，而，，则必有。【例1】（92一二）当时，函数的极限等于2（B）等于0（C）为（D）不存在但不为【答案】（D）【例2】求以下的极限并总结规律（1）（2）（3）【答案】（1）2；（2）；（3）0总结：【例3】设，，，则下列命题中不正确的是（）（B）（C）（D）【答案】（B）【例4】设，不，不，则下列结论正确的是（）不（B）不（C）不（D）不【答案】（D）3、复合函数的极限运算法则定理（复合函数的极限运算法则）若，，且存在，当时，有，则。第五节极限存在准则两个重要极限一、准则一夹挤准则1、若数列，及满足下列条件：①，当时，有成立②，，则存在，且。若函数，及满足下列条件：①在内，有成立②则存在，且。3、若函数，及满足下列条件：①在内有成立②则存在，且。【例1】（95二）【例2】设，都有，求，。【答案】；二、准则二单调有界准则为单调增数列：为单调减数列：极限存在的单调有界准则：若单调数列是有界的，则存在。【例3】（96一）设，，试证数列极限存在，并求此极限.三、重要极限重要极限一：重要极限二：；；利用重要极限求极限：【例4】求极限【例5】（89二）.【例6】（91三）下列各式中正确的是（）（A）.（B）.（C）.（D）.【例7】（90一）设为非零常数，则.【例8】（92二）求.【例9】（95一）.第六节无穷小的比较一、无穷小的比较定义设，是两个无穷小（都是同一个自变量在同一变化过程中的无穷小量，且与之比也是同一个自变量，同一变化过程中的极限）：如果，就说是比高阶的无穷小，记为；如果，就说是比低阶的无穷小；如果，就说与是同阶的无穷小；如果，就说与是等价无穷小；如果，就说是的阶的无穷小。二、等价无穷小替换定理设，，且存在，则存在，且。常用重要的等价无穷小：当时，，，，，，，，注；1、等价无穷小替换定理是等价无穷小因子替换定理，只有因子可以替换，只有在乘除法中的因子才可以替换。2、等价无穷小与变量替换结合（□～□,当□时）【例1】（91一）已知当时，与是等价无穷小，则常数.【例2】（92三）当时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量？.（B）.（C）.（D）.【例3】（95二）求.【例4】（89三）设，则当时，是等价无穷小.（B）与是同阶但非等价无穷小.（C）是比更高阶的无穷小.（D）是比较低阶的无穷小.【例5】（91一）求.【例6】求.【例7】（91三）求极限.第七节函数的连续性与间断点一、函数连续性的定义在处连续：，其中，若在内每一点处都连续，则称在内连续，记为，称为的连续区间。单侧连续：若，则称在点左连续；若，则称在点右连续。【例1】判定在处的连续性．【例2】（88二）设在内连续，则.【例3】（94二）若在上连续，则.二、函数的间断点间断点：若函数在点不连续，则称为的间断点。间断点的分类：为第一类间断点：若，都存在若，则为的跳跃间断点若，则为的可去间断点【例】，为可去间断点；，为跳跃间断点；第二类间断点：若，中至少有一个不存在，则为函数的第二类间断点具体分为：无穷间断点；震荡间断点【例】，，所以是第二类间断点，不存在，所以是第二类间断点【例4】设，则[]在点连续，在点间断（B）在点间断，在点连续（C）在点，都连续（D）在点，都间断【例5】设，讨论函数的连续性。【例6】（92三）设函数，问函数在处是否连续？若不连续，修改函数在处的定义，使之连续.第八节连续函数的运算、初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质一、初等函数的连续性①一切基本初等函数在其有定义的点都连续。②若函数与在点连续，则函数、及在点连续。③若函数在点处连续，设，而函数在点处连续，则复合函数：在点处连续。结论：初等函数在其定义域内都是连续的。由于函数在其连续点满足：，则初等函数在其有定义的点处求极限的问题就转化为：求这一点的函数值。也就是：求极限代入求值。【例】；二、闭区间上连续函数的性质定理1（最值与有界性定理）设函数在闭区间上连续，则在该区间必有最大值和最小值且有界。几何意义：一段连续曲线必有最高点和最低点，相应地有最大值和最小值。定理2（介值定理）设函数在闭区间上连续，则对介于和之间的任何值，在开区间内至少存在一点，使。几何意义是：连续曲线与水平直线至少相交于一点。定理3（零点定理）若与异号（即），则连续曲线与轴至少有一个交点，亦即方程在区间内至少有一个实根（也就是至少有一个零点）。【例1】证明在区间内至少有一个根。【例2】设函数在上连续，且，证明在区间上至少存在一点，使得：【例3】设函数在上连续，且，，对任意的，证明在区间上至少存在一点，使得：本章强化练习一、函数的性质1、（90三）设函数，则是（A）偶函数.（B）无界函数.（C）周期函数.（D）单调函数.答案：（B）2、（2004三）函数在下列哪个区间内有界？（A）.（B）.（C）.（D）.答案：（A）二、极限的性质1、（2003一二）设均为非负数列，且则必有对任意成立.（B）对任意成立.（C）极限不存在.（D）极限不存在.答案：（D）2、（98二）设数列与满足则下列断言正确的是若发散，则必发散.（B）若无界，则必有界.（C）若有界，则必为无穷小.（D）若为无穷小，则必为无穷小.答案：（D）三、极限的求解数列极限1、求，其中答案：2、设常数，求极限答案：3、求极限答案：函数极限1、（97二）求极限答案：12、（96一）,则.答案：3、（00一）求极限答案：14、（04二）求极限答案：5、（03一）.答案：无穷小1、（93二）当时，变量是（A）无穷小.（B）无穷大.（C）有界的，但不是无穷小的.（D）无界的，但不是无穷大.答案：（B）2、（01二）设当时，是比高阶的无穷小，则是比高阶的无穷小，则正整数等于（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.答案：（B）3、（03二）若时，与是等价无穷小，则.答案：4、（05二）当时，与是等阶无穷小，则.答案：5、当时下列无穷小是的阶无穷小，求阶数（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）答案：（1）2（2）3（3）4五、已知极限求参数1、（04三）若，则..答案：2、（10三）（2）若，则等于()（A）0（B）1（C）2（D）3答案：（C）3、已知，求之值答案：4、设，又，问为何值时存在。答案：5、设，则答案：6、设，则当时是的（）（A）等价无穷小（B）二阶无穷小（C）三阶无穷小（D）四阶无穷小答案：（C）六、函数连续1、（00二）设函数在内连续，且则常数满足（A）（B）（C）（D）答案：（D）2、（97二）已知函数在处连续，则.答案：3、（08二