江苏高考数学试卷解析版

2013年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必然自己的姓名、考试证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地址.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您自己可否吻合.4．作答试题必定用毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定地址作答，在其他地址作答一律无效.5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共

14小题，每题

5分，共

分．请把答案直接填写在答题卡70．．．相应地址上．．．．．.1.函数

y

3sin(2x

)的最小正周期为▲

.4剖析：

T=

22

=设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为▲.剖析：Z34i,Z3224=52双曲线xy1的两条渐近线的方程为▲.1693开始剖析：xy=4n1，a24.会集1,0,1共有▲个子集.nn1剖析：238（个）a20Ya3a2N输出n结束右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲剖析：经过了两次循环，n值变为3抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果以下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为牢固(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲.剖析：易知均值都是90，乙方差较小，7.现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m,n(m7,n9)可以任意采用，则m,n都取到奇数的概率为▲.剖析：m可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个n可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总合有7963种可能吻合题意的m可以取1,3,5,7共4个吻合题意的n可以取1,3,5,7,9共5个所以总合有4520种可能吻合题意20638.如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1:V2▲.剖析：所以V11:V2249.抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形地域为D(包含三角形内部和界线).若点P(x,y)是地域D内的任意一点，则x2y的取值范围是▲.剖析：易知切线方程为：y2x1所以与两坐标轴围成的三角形地域三个点为A0,0B0.5,0C0,1易知过C点时有最小值2，过B点时有最大值10.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD1AB,BE2BC,若23DE1AB2AC(1,2为实数)，则12的值为▲.剖析：易知DE1uuur2uuur1uuur2uuuruuur1uuur2uuurABBCABACAB6ABAC23233所以112211.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为▲.剖析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以易知x0时，f(x)x24x解不等式获取f(x)x的解集用区间表示为5,0U5,12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2y21(a0,b0)，右焦点a2b2为F,右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d26d1，则椭圆的离心率为▲.剖析：由题意知d1bc,d2a2cb2acc所以有b26bc两边平方获取a2b26c4，即a4a2c26c4ca两边同除以a4获取1e26e4，解得e21，即e33313.平面直角坐标系

xOy中，设定点

A(a,a)

，P是函数

y

1

(x

0)图像上一动点，若x点P,A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为▲.剖析：由题意设1则有Px0,x0,x00PA2x0a12x0212ax0+1+2a2=x0+122a22a-2ax0+12x0x02x0x0x0令x012ttx0则PA2=f(t)=t22at2a22t2对称轴ta1.a2时，PA2minf(2)2a24a22a24a281，a3（舍去）2.a2时，PA2minf(a)a22a228a10，a10（舍去）综上a1或a1014.在正项等比数列an中，a51，a6a73.则满足a1a2a3...ana1a2a3...an2的最大正整数n的值为▲.剖析：又n12时吻合题意，所以n的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本小题满分14分）rcos，sinrcos，sin，0.已知a，b(1)rr2，求证：rr若abab；(2)rrrr，的值.设c0,1，若abc，求解：(1)rcos,sinrcos,sin,0a,brrrrrr112ab2,ab0,ab(2)①2+②2得：2+2cos1，得cos12coscos0又5,6（本小题满分14分）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC,ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E,G分别是侧棱SA,SC的中点.求证：(1)平面EFG//平面ABC;BCSA.解：(1)QE,G分别是侧棱SA,SC的中点QAC在平面ABC中，EG在平面外EG∥平面ABC为SB中点AB在平面ABC中，EF在平面外EF∥平面ABCEF与EG订交于EEF,EG在平面EFG中平面EFG//平面ABCQ平面SAB⊥平面SBCSB为交线AF在SAB中，AF⊥SBAF⊥平面SBCAF与AB订交于AAF,AB在平面SAB中BC⊥平面SAB（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l：y2x4.设圆的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：（1）

y2x4①x1②①与②联立获取圆心坐标C3,2圆方程为22x3y21切线斜率不存在时，不合题意设切线方程为ykx3解得k0或k343x3切线方程为y3或y4（2）设Ca,2a4则圆方程为x22ay2a41设M(x0,y0)由题意x022ay02a41即x02y0241QM存在圆xa22a421与圆x2y12y4有交点即两圆订交或相切即1a024(1)22a9（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，尔后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为，经测量，123130m/min1260mcosA，cosC.135求索道AB的长；问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？为使两位游客在C处相互等待的时间不高出3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)(2)设乙出发tt8分钟后，甲到了D处，乙到了E处则有AD=50t+100AE130t依照余弦定理DE2AE2AD22AEADcosA即DE27400t214000t10000当t1400035时，DE2有最小值2740037设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙1260126min由题意t甲==550解不等式得1250V乙6254314（本小题满分16分）设an是首项为a，公差为d的等差数列d0，Sn是其前n项和.记bnnSn，n2cnN*，其中c为实数.(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Skk,nN*；若bn是等差数列，证明：c0.解：（1）anan1dd0Snc0时，bnnb1,b2,b4成等比（2）由已知bnnSn2n2an3dn2dn2c2n22cbn是等差数列设bnknb（k,b为常数）有2kdn32bd2an22ckn2bc0对任意nN恒成立kd2此时2adb2命题得证（本小题满分16分）设函数fxlnxax，gxexax，其中a为实数.(1)若fx在1,上是单调减函数，且gx在1,上有最小值，求a的范围；(2)若gx在1,上是单调增函数，试求fx的零点个数，并证明你的结论.解：（1）由题意：f(x)'0对x1,恒成立即ax1对x1,恒成立Qgx在1,上有最小值a0时，g(x)'0恒成立，g(x)在1,无最值a0时，由题意lna1综上：a的范围是：ae（2）Qgx在1,上是单调增函数g(x)'0对x1,恒成立即aex对x1,恒成立令f(x)0，则lnxaxlnx图像交点的个数则有f(x)的零点个数即为ya与yln