概率论与数理统计第一章

概率论与数理统计第一章序考研内容高等数学(50%)概率论与数理统计(25%)线性代数(25%)3/29/202322023/3/29概率Chapter1-13第一部分是概率论基础，包括第一、二、三、四、五章.

第二部分是数理统计初步,包括第六、七、八、九章.第一章介绍概率论最基本的概念；第二章引进随机变量的概念，并用分布函数描述它；第三章介绍随机向量；第四章介绍随机变量的数字特征；第五章介绍大数定律与中心极限定理.第六章主要介绍数理统计的基本概念；第七章和第八章分别介绍统计推断的两项主要内容－－参数估计和假设检验；第九章介绍具有回归关系的随机变量如何建立数学模型.

本教材的主要内容本书分为两个部分:三、全概率公式四、贝叶斯公式二、乘法公式

一、加法公式2023/3/29概率Chapter1-15

引言«概率论与数理统计»的研究对象在自然界中常见到两类不同性质的现象:

确定性现象：可以根据其赖以存在的条件，事先准确的判定它们未来的结果的现象.如:在标准大气压下，水加热到100度就会沸腾.每天，太阳从东方升起.第一章随机事件及概率2023/3/29概率Chapter1-16

随机现象：就某一现象而言，在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，且在每次观察之前不能准确预料其是否会出现。如：抽样检验产品质量的结果;

保险公司的年赔偿金额;

掷一颗骰子出现的点数;抛掷硬币哪面向上等.2023/3/29概率Chapter1-17随机现象的统计规律性

比如刚才提到的例子，在桌面上投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，在投掷之前不能断言一定哪一面向上。这显然是随机现象。

但是如果大量抛掷硬币，会发现正面出现的次数与抛掷的次数之比－－我们称之为正面出现的频率－－在常数0.5附近摆动。2023/3/29概率Chapter1-18随机现象的统计规律性(续)

再比如，在桌面上投掷一颗骰子，可能1点向上，也可能2点向上，……,在投掷之前不能断言一定哪一个数字向上。这显然是随机现象。

如果重复抛掷，会发现骰子某点出现的次数与抛掷的总次数之比－－我们称之为某点出现的频率－－在一个常数附近摆动。

思考:常数是几?答案:常数是1/6.2023/3/29概率Chapter1-19

“概率论与数理统计”是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。

随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中,随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.如图是常用的柱状图2023/3/29概率Chapter1-110第一节随机试验、样本空间及随机事件第二节事件的概率第三节条件概率第四节全概率公式与贝叶斯公式第五节事件的独立性第六节独立重复试验和二项概率第一章

基本内容四大公式1.1随机试验、样本空间和随机事件一、随机试验二、样本空间和随机事件三、事件的关系和运算四、事件的运算性质基本内容2023/3/29概率Chapter1-112一、先给出随机试验的概念.试验:对随机现象的观察过程通常称为随机试验.简称试验.用字母E表示.试验的三个特性：A、重复性:试验可以在相同的条件下重复进行.B、随机性:每次结果不止一个,进行一次试验之前不能确定究竟哪一个结果会出现.C、明确性:能够明确指出试验的所有可能结果.第一节随机试验、样本空间及随机事件2023/3/29概率Chapter1-113

二、样本空间和随机事件

随机试验中每个可能出现的结果都叫做样本点(用表示)

；全体样本点构成的集合叫样本空间(用

表示)；样本空间的子集,即某些实验结果的集合,称为随机事件.简称事件.事件一般用大写字母A、B、C等表示,必要时可加下标.如:掷一枚硬币,A=“正面向上”;袋中有红,黄,绿色球各一个.任取一球.则

A1=“取出红球”；

A2=“取出黄球”；

A3=“取出绿球”.1、基本概念有时一次完整的试验可有若干个步骤组成.如:连续抛掷三次硬币.2023/3/29概率Chapter1-114随机事件的有关概念:由定义,样本空间本身和它的补集都可以作为事件.称为必然事件,

称为不可能事件.如果某个事件只包含一个样本点，即单点集合称为基本事件.

即有如下分类:基本事件：试验E的每一个基本结果{}.

复合事件（组合事件）：由两个或两个以上基本事件组合而成的事件{1

,2…,n}.必然事件：每次试验中一定出现的事件.用Ω表示.不可能事件：每次试验中一定不出现的事件.

用表示.2023/3/29概率Chapter1-115例1设试验E为掷一颗骰子,观察其出现的点数：An=“出现n点”。n=1，2，3，4，5，6.A1、A2、A3、A4、A5、A6是基本事件；A=“偶数点”是复合事件；B=“点数小于5”也是复合事件；“点数不大于6”是必然事件；“点数大于6”是不可能事件.注：复合事件发生是指：当且仅当其所包含的基本事件中有一个发生.如：A2、A4、A6中某-个发生，“偶数点”就发生.例2连续投掷一枚硬币，直到出现正面为止。若用“0”表示出现反面，“1”表示出现正面来记录每次投掷的结果，则这个试验的可能结果有：1=“1”（第一次出现正面）2=“01”（第一次出现反面，第二次出现正面）…n=“0…01”(前n-1次出现反面，第n次才出现正面)…这个试验有无穷多个可能结果，样本空间Ω={1

,2…,n…}.概率Chapter1-12023/3/292023/3/29概率Chapter1-117例3

设试验E为从10件产品中任取3件,已知10件中含有2件次品,用Ai表示取到i件次品:

即Ai={i件次品},i=0,1,2

就是3个基本事件.例4掷一枚骰子，观察其出现的点数.定义A1={1},A2={2,3,4,5,6},A3={1,3,5},A4={2,4,6}.则{A1、A2}是样本空间，{A3、A4}也是样本空间;但是{A2、A3}不是样本空间，{A1、A4}也不是样本空间.5、序贯模型许多试验本身具有序贯特征.序贯试验:在进行下次试验以前,已经知道前面试验的结果,这样一次接着一次的抽样试验,即为序贯试验.

如连续两次抛掷一枚骰子，其样本空间有两种等价的表示方法，如下图所示。左图用二维格子点表示，右图用序贯树形图表示。通常用序贯树形(状)图来刻画样本空间中的试验结果，优点是可以表示试验的顺序特征

.在树形图中，从根部到末端的每一条路径表示一个试验结果.2023/3/29概率Chapter1-120例3将一枚均匀硬币抛两次.

用(正,反)表示第一次出现正面,第二次出现反面,则样本空间

Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)};

用事件A表示第一次出现正面,则

A={(正,正),(正,反)};

用事件B表示两次出现同一面,则

B={(正,正),(反,反)}.三、事件的关系和运算

随机事件是样本空间的子集，是某些试验结果的集合.这些事件之间往往有一定的联系，我们需要研究这些事件之间的关系并规定事件之间的运算.概率Chapter1-1

2023/3/291.事件的并（和）事件A与事件B至少有一个发生这一事件称为A与B的和事件（或并事件），记为A+B或A∪B从集合角度，A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}类似的，n个事件的和事件记为或表示这n个事件中至少有一个发生。2.事件的交（积）事件A与事件B同时发生这一事件称为A与B的积事件（或交事件），记为或从集合角度看，类似的，n个事件的交事件记为或表示这n个事件同时发生.称事件A不出现这一事件为A的对立事件（逆事件），记为.用集合表示，由定义可知，A也是的对立事件，即且显然3.对立事件（逆事件）ΩA4.事件的差事件A发生而事件B不发生这一事件称为A与B的差事件，记为

.从集合角度，显然ΩAB阴影部分是或5.事件的的包含与相等如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B或事件B包含事件A，记为或.意味着A是B的子集.显然对于任何事件A，有如果且.则称事件.ΩAB此处例如:考察某动物的年龄，事件A表示“存活3年的动物”，事件B表示“存活5年的动物”，问A和B的关系.如果用X表示这种动物的年龄，则事件A={X≥3}，B={X≥5}于是6.互不相容（互斥）事件如果事件A与事件B不能同时发生，则称A与B是互不相容事件（或互斥事件）.从集合角度，A与B互不相容即.如果n个事件中任何两个事件都互不相容，即则称这n个事件互不相容.ΩABCA，B，C互不相交7.完备事件组（分割）如果n个事件互不相容，并且它们的和是必然事件，则称这n个事件构成一个完备事件组（分割）.A和构成一个完备事件组.ΩABCA,B,C形成Ω的一个完备事件组（分割）总结集合称为A的补集(对立事件),并集（和事件）交集（积事件）302023/3/29概率Chapter1-131四、

事件的运算性质

1)交换律AB=BAAB=BA2)结合律ABC=(AB)C=A(BC)ABC=(AB)C=A(BC)3)分配律(AB)C=（AC）（

BC）A(BC)=(AB)(AC)4)对偶律（摩根律）

5)其它一般情形2023/3/29概率Chapter1-132例4（对偶律的运用）事件Ak表示某射手第k次（k=1,2,3）击中目标,用文字叙述下列事件：

A1+A2:A3-A2:同上.前两次都未击中目标同上后两次至少有一次未击中同上前两次至少有一次击中目标第三次击中目标第二次未中.2023/3/29概率Chapter1-133例5（事件的关系表示）事件Ak表示第k次取到合格品（k=1，2，3）.试用符号表示下列事件：1、三次都取到了合格品,2、三次中至少有一次取到合格品.3、三次中恰有两次取到合格品.4、三次中最多有一次取到合格品。解：1、

2、

3、

4、（至少有两次未取到合格品）2023/3/29概率Chapter1-134

例6

解：Ω={1,2,3,4,5,6};A={1,3,5};B={1,2,3,4};C={2,4};A+B={1,2,3,4,5};A-B={5};AB={1,3};AC=φ;C-A={2,4};

掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件A表示“奇数点”；B表示“点数小于5”；C表示“小于5的偶数点”.用集合的列举法表示下列事件：例

（序贯树形图表示样本空间）序贯树形图连续三次向同一目标射击，用“1”表示击中目标，用“0”表示未击中目标，则样本空间如图

所示.表示第k次击中目标，则A1A2={111,110,101,100,011,010}A1A2={111,110}

表示前两次都击中目标；“恰好有一次击中目标”={100,010,001}.表示前两次射击中至少有一次击中目标；参见例4若2023/3/29概率Chapter1-136例7

测定某种灯泡寿命t(以小时为单位)的试验,试写出样本空间及事件A=“寿命大于1000小时”的集合表示.解:思考:该例题与前面的有何不同.能用列举法吗?1.2事件的概率一、概率的定义二、古典概型三、几何概型四、概率的性质基本内容概率Chapter1-22.1概率公理假定已经确定了样本空间以及与之相联系的试验，对于每一个事件A，我们确定一个实数P(A)来刻画它发生的可能性的大小，称为概率.概率是定义在事件（或集合）上的函数（通常称为测度），必须满足下面的几条公理（1）(非负性)对一切事件A，满足第二节事件的概率（2）(可加性)设A、B是两个互不相容的事件,则它们的并集满足P(AB)=P(A)+P(B)若A1、A2、…是一个互不相容的事件序列，则它们的并集满足P(A1

A2…)=P(A1)+P(A2)+…（3）(归一性)样本空间Ω

(即必然事件)的概率为1,即P（Ω）=1概率模型的构成：样本空间Ω:这是一个实验的所有可能结果的集合；概率:概率给实验结果的集合A（称之为事件）确定一个非负数P(A)(称为事件A的概率).这个非负数刻画了我们对事件A的认识或所产生的信念的程度.概率必须满足某些性质.39概率与频率概率的更具体、更直观的解释是频率.比如P(A)=2/3,表示在大量重复试验中事件A出现的频率大约是2/3.历史上有人进行过投掷一枚硬币的试验，下表列出其结果：2023/3/29概率Chapter1-241(见教材p.6表)实验者投掷次数N“正面向上”次数M频率M/N蒲丰404020480.5069皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998该试验表明，正面出现的频率在0.5左右摆动.说明出现正面的概率是1/2.后面大数定律将重新讨论这种解释.该实验的意义:概率的基本性质性质1不可能事件Φ的概率等于0，即P（Φ）=0证明:

由归一性和可加性可知性质2对立事件的概率有证明:2023/3/29概率Chapter1-2性质3若A1、A2、…、An是n个互不相容的随机事件，则它们的并集满足P(A1

A2

…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)证明:反复利用可加性即得.例1给掷一枚硬币的试验建立概率模型.解：掷一枚硬币，有两个可能的结果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，则样本空间为：。事件为：如果硬币是均匀的，正面和反面出现的机会相同，这两个结果出现的概率应该相同，即概率建模实例：由可加性和归一性知由此可得：显然，以上建立的概率满足三条公理.2023/3/29概率Chapter1-345AAB例

假设A发生的概率为0.6,A与B都发生的概率为0.1,A与B都不发生的概率为0.15,求(1)A发生但B不发生的概率.(2)B发生但A不发生的概率.(3)A与B至少有一个发生的概率.B2023/3/29概率Chapter1-346例

AABB2023/3/29概率Chapter1-247二、古典概型设样本空间由n个等可能的实验结果组成，则对任意事件A，对应的概率P(A)可由下式计算：特点1.只有有限个样本点；2.每个样本点在试验中出现的机会相等；依题意,这样对于每一个事件A，可以按照下面方法计算概率：根据归一性和可加性,有设它的样本空间为例1.2.4(练习)连续两次投掷一枚均匀的骰子有36个等可能的结果，每个结果出现的概率为1/36.计算下面几个事件的概率：P({两次点数之和为偶数})=P({两次点数之和为奇数})=P({两次点数相同})=P({第一次点数比第二次点数大}=P({有一次点数为6})=P({只有一次点数为6})=P({最大点数为3})=概率Chapter1-22023/3/29求n个人（n<365）中至少有两个人同生日的概率.解：基本事件的总数为设A表示“至少有两个人的生日在同一天”，则表示“任何两个人的生日都不在同一天，包含个基本事件于是，下面是给出n的数值，得到的一些具体结果：n203040506070800.4110.7060.8910.9700.9940.9990.9999例例1.2.6（抽签的合理性）设有n个人订了n张电影票,其中有k张甲级票.现让这n个人依次各抽一张，试证明每个人抽得甲级票的概率均为k/n,与抽取的先后次序无关.证明：n个人各抽一张，相当于将n张票全排列，故基本事件总数为n!.设事件Am={第m个人抽到甲级票}（m=1,2,…,n）,则Am中包含的基本事件数为于是可见,与抽取次序m无关.2023/3/29概率Chapter1-22023/3/29概率Chapter1-251

有三个打字员为四个科室服务,如果四个科室各有一份文件要打字,且各科室对打字员的选择是随机的,试求:(1)四个科室把任务交给同一个打字员的概率;(2)每个打字员都有任务的概率.解:补例(选择问题)2023/3/29概率Chapter1-252解:2023/3/29概率Chapter1-253例（组合数与排列数）

假设有100件产品，其中有40件一等品，60件二等品.从中任取3件,按下列抽取方法，求事件A=“有两件一等品，一件二等品”的概率.(1)(有放回抽样)每次取一件，测试后放回，再抽取下一件；(2)(不放回抽样)每次取一件，测试后不放回，在剩下的产品中抽取下一件.解:

练习2023/3/29概率Chapter1-2(2)分为两种情形:两者结果相同组合问题排列问题三、几何概型如果试验的样本空间是一个连续的集合（直线上的区间，或者平面、空间上的一个区域），并且每个样本点在试验中出现的机会相等，我们称为几何概型。当样本空间是一个连续的集合时，其概率的定义与样本空间离散的情况有很大的区别。在离散的情况下，事件的概率可以由基本事件的概率确定，连续的情况却不能.见下例.例8设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车站等车时间不超过3分钟的概率（停车时间忽略不计）。分析:由于公共汽车5分钟一班,故乘客的等车时间是0~5中间的一个数.因此样本空间而乘客到达车站的时间是随机的，我们可以认为[0,5]中的每一个时刻在等车时出现的可能性是相等的。这样，我们考虑一个单点在试验中出现的可能性。

实际上，必然有即等车时间恰好等于某一时刻的概率为0.否则的话，假设单点出现的概率为正，即根据等可能性,我们可以找到无限多个这样的点其中设事件根据可加性，对足够大的n，有与归一性矛盾.对于几何概型，我们可以按照下面的公式计算事件的概率：这里的“测度”指长度、面积、体积等.例如上例中，设B表示“等车时间不超过3分钟”，则B=[0,3],而于是四、概率的性质性质1若则且证明:因为所以B是两个不相容事件的并：利用可加性公理得再利用非负性公理得从证明过程容易看出，如果则性质2（加法公式）证明：由图所示,可将事件和B分解成不相容的事件之和：利用可加性公理，得到两式相减后移项合并根据性质2和非负性公理，很容易得到：加法公式可以推广到n(n>2)个事件的情形（称为容斥原理）.例如对于三个事件A、B、C，反复利用性质2可以得到：即加奇减偶定理性质3证明：由图所示,可以分解成三个互不相容的事件的并集：重复利用可加性公理即可证得。例将一部5卷的文集任意排在书架上，求第一卷排在左端或第五卷排在右端的概率.解：样本空间中基本事件的总数为5！.设A=“第一卷在左端”，B=“第五卷在右端”，则AB表示“第一卷排在左端或第五卷排在右端”；AB表示“第一卷排在左端且第五卷排在右端”.事件A中基本事件的总数为4！，事件B中基本事件的总数也为4！，事件AB中基本事件的总数为3!，故2023/3/29概率Chapter1-364试证:对任意两事件A、B，有证明：由对偶律，

例2023/3/29概率Chapter1365例

设某单位订有甲乙丙三种报纸,据估计,该单位职工中,有20%读甲报,16%读乙报,14%读丙报;其中8%兼读甲乙报,5%兼读甲丙报,4%兼读乙丙报;又有2%兼读三种报,求该单位职工至少读一种报纸的概率.2023/3/29概率Chapter1-366解:设A1=“读甲报”,A2=“读乙报”,A3=“读丙报”,则A1A2=“兼读甲乙报”,A1A3=“兼读甲丙报”,A2A3=“兼读乙丙报”,A1A2A3=“兼读甲乙丙报”,所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)`-P(A2A3)+P(A1A2A3)=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.02=0.352023/3/29概率Chapter1-467第三节条件概率

3.1条件概率的定义条件概率是在给定部分信息的基础上对试验结果的一种推断.例如：（a）在掷骰子的试验中，已知出现的点数是偶数，求掷出的点数为6的概率.（b）十张电影票,其中四张甲级票,问第五个人抽到甲级票的概率是多大;若已知前四人已抽到了甲级票,问第五个人抽到甲级票的概率是多大?2023/3/29概率Chapter1-468一条件概率

确切的说，对于一个试验、与这个试验对应的样本空间和概率，假定我们已经知道给定的事件B发生了，希望知道另一个事件A发生的概率.这个概率就是给定B发生之下事件A的条件概率，记作P(A|B)或PB(A).读作在事件B下，事件A的条件概率.也可称为A对B的条件概率.作为练习,同学们可以考虑一下上述问题的答案.现补充下例.2023/3/29概率Chapter1-469例1设有10件样品,分别编以号码0,1,2,…,9,任意抽取1件样品,如果令B=“取到号码为偶数的样品”,A1=“取到号码为1的样品”,A2=“取到号码为2的样品”,A3=“取到号码为大于7的样品”,求P(A1),P(A2),P(A3),P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),解:由概率的古典定义:在事件B发生的条件下,A1包含基本事件个数为0同理考虑:条件概率与无条件概率比较数量大小的结论.2023/3/29概率Chapter1-470

一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记A=“正品”,B=“甲生产的产品”,写出概率P(A)、P(B)、P(AB)、P(B|A)、P（A|B）。

例(补充)解：由古典概型计算公式

P（A）=80/100=0.8,P（B）=60/100=0.6P（AB）=50/100=0.5又因A发生的条件下，基本事件总数为80个，

B含其中50个，因此P(B|A)=50/80=0.625，同理,P(A|B)=50/60=0.83.注意:条件概率与无条件概率的异同点.条件概率的定义:设A，B是两个事件，且P(B)>0，称为在事件B下，事件A的条件概率.如果P(B)=0，相应的条件概率没有定义.1、由于

即条件概率完全集中在B上，故我们可以将事件B以外的结果排除掉，并把B看成新的样本空间。2、如果P(A)>0,条件概率的定义也可以写成3、对于给定的事件B,条件概率满足概率的3条公理.注例如:设和是任意两个不相容的事件,则：

例1在连续三次抛掷一个两面均匀的硬币的试验中，求：(1)第一次抛得正面，正面出现的次数多于反面出现的次数的概率；(2)已知第一次抛得正面，求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。解：用“1”表示出现正面，用“0”表示出现反面，则该试验的样本空间为

用A表示“正面出现的次数多于反面出现的次数”，B表示“第一次抛得正面”，则(1)由于事件“第一次抛得正面，正面出现的次数多于反面出现的次数”可表示为而故(2)已知第一次抛得正面，求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率为：而故注：也可以直接用和中的基本事件数直接计算例2十个人中有4个女生，从中任挑两名，若已知两人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率为：故：练习某动物活到10岁的概率为0.7，活到12岁的概率为0.56，求现在年龄为10岁的这种动物活到12岁的概率。解：设x表示动物的存活时间，则：P(x>10)=0.7,P(x>12)=0.56于是：总结1、条件概率的定义2、条件概率的应用二、乘法公式根据条件概率的定义，立即可以得到下面公式：如果P(B)>0，则如果P(A)>0，则在应用乘法公式时，通常要为试验建立具有序贯特征的概率模型，然后通过确定条件概率计算无条件概率。例4发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“1”和“0”。由于通信系统受到干扰，当发出“1”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信息“1”及“0”；当发出信号“0”时，收报台以概率0.9和0.1收到“0”及“1”。求发出“1”而收到“0”的概率有多大？发出“0”而收到“1”的概率是多少？解：记A={发出“1”}，B={收到“1”}，则它们的补集为样本空间可以用序贯树形图表示:所求概率为:P(发出“1”，收到“0”)P(发出“0”，收到“1”)对于三个事件A，B，C，P(ABC)=P(A)P(BC|A),而P(BC|A)=P(B|A)P(C|AB),所以证明：右端更一般的有如下的乘法规则：乘法规则：设为n个事件，且则有证明：由恒等式利用条件概率的定义，上式右端就变为：例5

一批零件共100件,其中次品10件,每次任取一件,无放回地取三次,求“第一、二次取到次品,第三次取到正品”的概率.解：用树状图及乘法规则进行计算：定义{第i次取到次品}i=1,2,3则{第i次抽到正品}，i=1,2,3利用乘法规则次品次品正品次品正品正品而故：注：本题也可以按照古典概型的方法直接计算.次品次品正品次品正品正品例6假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻乙机，击落乙机的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率.解：样本空间用树状图表示：击落乙0.2未击落乙0.8击落甲0.3未击落甲0.7未击落乙0.6击落乙0.4设则设A={甲击落乙}，B={乙击落甲}，显然击落乙0.2未击落乙0.8击落甲0.3未击落甲0.7未击落乙0.6击落乙0.4例7一个班有4个研究生和12个本科生组成，随机的将这16个人分成4个4人组，问每一个组分得一个研究生的概率有多大？解：可以将分组问题看做随机选位子：(s1,s2,s3,s4看做第一组，s5,s6,s7,s8看做第二组,等等)每个人等可能的选任意一个位子.设四个研究生的代号为1,2,3,4.考虑事件：{学生1和2分在不同的组}{学生1,2和3分在不同的组}{学生1,2,3和4分在不同的组}学生1选定位置后，学生2与学生1不同组的可能性为学生1,2不同组后，学生3与学生1,2不同组的可能性为同理所求概率为：学生1和2分在不同的组12/15学生1,2和3分在不同的组8/14学生1,2,3和4分在不同的组4/132023/3/29概率Chapter1-690

4.1全概率公式例1一个袋内装有10个球，其中有4个白球，6个黑球，采取不放回抽样，每次任取一个，求第二次取到白球的概率。解：设A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”第四节

全概率公式及贝叶斯公式(复习完备事件组:)2023/3/29概率Chapter1-691例(补充)

例1中的10个球，若改为3个白球，2个黑球，5个红球，取法不变，求第二次取到白球的概率.解;设A1＝“第一次取到白球”，A2＝“第一次取到黑球”，

A3＝“第一次取到红球”.B=“第二次取到白球”显然，A1、A2、A3构成一个完备事件组，有B=(A1+A2+A3)B=A1B+A2B+A3BA1B，A2B，A3B互不相容，由概率的可加性及乘法公式，有2023/3/29概率Chapter1-692（全概率定理）

如果事件A1，A2，…An构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任意事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)全概率公式证∵B=BΩ=B(A1+A2+…+An)=A1B+A2B+…+AnB∴P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).注：1、完备事件组不是必要条件.2、对于可列个事件也成立.2023/3/29概率Chapter1-693例2

某厂的一批产品,由甲、乙、丙三名工人生产,其产量分别占总产量的25%、35%、40%,若已知他们的次品率依次为5%、4%、2%,现在从这批产品中任意抽取一件,求这一件是次品的概率(即这批产品的次品率).

由全概率公式得:

解:设B=“抽取一件是次品”

A1=“甲工人生产的产品”;A2=“乙工人生产的产品”

A3=“丙工人生产的产品”;则A1、A2、A3构成完备事件组,P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.40P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.022023/3/29概率Chapter1-694二、贝叶斯公式

如果事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组,且都具有正概率,则对任一概率不为零的事件B,有注:P(Am)称为先验概率，P(Am|B)称为后验概率。2023/3/29概率Chapter1-695例3

在例2条件下，若从这批产品中任取一件，经检验得知是次品，问这件次品是哪一名工人生产的可能性最大。解：可见,次品是乙工人生产的可能性最大.2023/3/29概率Chapter1-696例4

M地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比例为9：7：4。据统计资料，甲种疾病在该地区三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，试求出M地甲种疾病的发病率。解：设Ai＝“第i个小区内的人”，i=1，2，3B＝“M地的人得病”，则A1、A2、A3构成完备事件组,由全概率公式2023/3/29概率Chapter1-697例5

用某种检验方法，对甲种疾病的漏查率为5％，误诊率为1％。若在一次普查中，某人经此检验查为患甲种病，求该人确实患有甲种病的概率。解：设B=“患甲种病”，C=“经检验认为患甲种病”则2023/3/29概率Chapter1-698注（1）全概率公式用来求较复杂事件的概率。所谓复杂，是因为它的发生是有若干个原因或来源。用全概率公式的关键，就是要找到一个完备事件组，往往就从这些原因或来源中来找。（2）贝叶斯公式用来求后验概率。后验概率P(Am|B)是相对于先验概率P(Am)来说的。P(Am)是试验前根据以往经验确定的一种假设概率，P(Am|B)是在获知事件B已经发生这一信息之后，事件Am发生的条件概率。2023/3/29概率Chapter1-699结果原因1原因2原因n完备事件组A1A2AnB完备事件组的选取示意图1.5事件的独立性一、两个事件的独立性二、多个事件的独立性三、可靠性2023/3/29概率Chapter1-4101

一个袋内装有20个球，其中完全涂成红色的球3个，简称全红球，全黄全黑全白色的球分别有6个、5个和4个，另外还有2个是涂有红、黄、黑、白四色的彩球，从中任取一球，记事件A、B、C、D分别表示取到的球上涂有红色、黄色、黑色、白色。求P(A),P(B),P(C),P(D),P(A|B),P(A|C),P(A|D).引例(补充)解：P(A)＝5/20=0.25,P(B)=8/20=0.4,P(C)=7/20=0.35,P(D)=6/20=0.3,P(A|B)=2/8=0.25,P(A|C)=2/7=0.29,P(A|D)=2/6=0.332654一、两个事件的独立性条件概率P(A|B)刻画了事件B的发生给事件A带来的信息.其中,一种情况是事件B的发生并没有给事件A带来新的信息，没有改变事件A发生的概率，即：此时，我们称事件A独立于事件B.例：某班50名学生，女生20名。第一组10名，其中4名女生。从中任选一名，A=“学生是第一组”，B=“女学生”，问事件A、B是否独立？分析：显然故A，B独立。注：若第一组的女生数量发生改变，比如有5名女生，则

A、B不独立。根据条件概率的定义如果有等价于：（2）式是事件A和事件B的正式定义，因为：a）与(1)式相比,(2)式包含了P(B)=0的情况.b）在(2)式中A和B具有对称的地位，因此可以称A和B是相互独立的，或A和B是相互独立的事件.下面给出有关定义.定义：设A、B是两个事件，如果满足等式则称事件A，B相互独立，简称独立.人们往往容易从直观判定独立性。例如，在两个不同的且没有相互作用的物理过程控制下发生的两个事件，我们可以判定它们相互独立。如果甲乙两人向同一目标各射一次，我们通常认为“甲击中”和“乙击中”是相互独立的.但是,样本空间中的事件的独立性往往不能直观的看出来.(注意:与事件的互斥性区分.)如果两个事件互不相容，是否可以判定它们相互独立？通常认为它们是相互独立.而事实上恰好相反，若事件A和事件B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则事件A和事件B不可能相互独立。因为从而例如事件A和事件如果事件A发生，就可以确切的告诉我们事件不会发生，事件A发生与否确实给的发生与否带来了信息.

例1连续两次扔一枚均匀的骰子,有36种可能的实验结果是等概率的每个实验结果的概率为1/36.

(1)事件

是否独立?直观上是独立的解：

由于可知是相互独立的.

(2)事件是否独立?直观上不明显.解：B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},因为P(AB)=P(A)P(B),故A,B独立.(3)事件A={最大数是2},B={最小数是2}是否独立？直观上不独立，因为最小数蕴含最大数的信息，如最小数是2，最大数不可能是1.证：故他们不独立.2023/3/29概率Chapter1-4111推论设A与B为两事件，都具有正概率,则下列四对事件：由定义可知，命题成立。二、多个事件的独立性定义:设为n个事件.若对任