第四章动量守恒

第四章动量守恒第一页，共四十五页，2022年，8月28日2

引言

动力学问题运动学问题

力的瞬时效果力的位置函数牛顿定律适用质点，应用于质点系存在困难；引进新概念和物理量该量新规律

？关系

三大定理与守恒定律（普遍定理）①动力学普遍定理及守恒律（动量定理、能量定理、角动量定理）：建立了表现运动特征的量（动量、能量、角动量）和表现力作用效果的量（冲量、功、冲量矩）之间的关系；②普遍定理及守恒律应用：解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于深入研究范围更广的运动规律。第二页，共四十五页，2022年，8月28日3§⒈动量与动量定理

动量是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，称为状态量。牛顿第二定律作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。一、动量定义动量：

牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任何运动必定经历空间和时间。因此，应用牛顿定律于质点组，研究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向。第三页，共四十五页，2022年，8月28日4二、质点动量定理由动量定理微分形式定义dJ=Fdt为力的元冲量，则冲量J为力对时间的积分动量定理积分形式

动量定理常用于碰撞过程,在碰撞、打击瞬间用平均冲力概念第四页，共四十五页，2022年，8月28日5三、质点系动量定理1.对两质点系统(如图)内力：外力：12考虑牛顿笫三定律，(1)+(2)得:质点1质点2第五页，共四十五页，2022年，8月28日6

2.对多质点系统

质点系的动量定理——作用于系统的合外力在一段时间内的总冲量等于系统动量的增量。设质点组由N个质点组成，对第i个质点应用动量定理，有对所有质点的动量定理表式求和，则有由于所有内力的矢量和为零，即第六页，共四十五页，2022年，8月28日7(2)系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点的动量变化；

(1)只有外力对系统动量的增量有贡献；

说明：⑶动量定理与牛顿定律的关系：

①对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动量定理表示的是力对时间的积累效果；②牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系，而动量定理可适用于质点系；③牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系，要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。在无限小的时间间隔内：

.质点系动量定理的微分形式第七页，共四十五页，2022年，8月28日8例题4.1、如图，小球m自由落体h距离，能将重物M提升到多少高度?解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为三段分析：⑴软绳由松到紧，M不动，小球自由下落，获得末速度⑵软绳被绷紧，在此瞬间m,M均受到绳子张力T的作用，达到同一末速度V。MmhmM第八页，共四十五页，2022年，8月28日9解出：根据动量定理有⑶m、M一同运动，位移H，应用匀加速直线运动公式以及第二定律，有第九页，共四十五页，2022年，8月28日10分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理求解。例题4.2、柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度与落下距离之间关系。根据Fex=dP/dt得yOy解：如图，建立坐标系,令线密度λ,则在某时刻第十页，共四十五页，2022年，8月28日11两端同乘以y：两端积分：得：yOy第十一页，共四十五页，2022年，8月28日124.3、长为l，线密度为ρ的柔软绳索，原先两端A、B并合一起，悬挂在支点上，现让B端支点自由下落，求当B端下落了x时，支点上所受的力？解：整条绳索作为体系，受到重力（向下）和支点的拉力（向上）两个外力作用。在合力作用下，体系的动量不断变化。体系的动量也就是右半部分绳索的动量。由于右半部分（未成为左半部分）的运动不受左半部分影响，并作自由落体运动。说明：（1）质点系动量定理可用来直接用于牛顿定律所不能解决的问题；（2）后面再从另一角度来讨论这个问题。第十二页，共四十五页，2022年，8月28日13§2.

质心与质心运动定律一、质心质心位置及其求法：

质点系动量定理的微分形式：对质点系而言存在一个特殊点c，满足是该特殊点的加速度，c称为质心①两个质点组成的体系从总体反映质点系运动的宏观特点，需要引入质心概念,并讨论质心运动具有的若干独特的规律。第十三页，共四十五页，2022年，8月28日14

可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个“权”与质点的质量分布位置有关。由此得②n个质点系统分量形式第十四页，共四十五页，2022年，8月28日15对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得分量形式为③若一个物体由A、B两部分组成，依质心xyz方向表达式分别改写为第十五页，共四十五页，2022年，8月28日16同样Y、Z方向质心位置分别为质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力学概念。第十六页，共四十五页，2022年，8月28日17例题4.3

求半径为a的均质半圆球的质心.解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划分为若干半径为r厚为dz的薄圆平板状体积元dV.而xzO设，则第十七页，共四十五页，2022年，8月28日18例题4.4

如图，在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。解：选择如图坐标系，考虑对称性，余下部分质心的y坐标为零，仅需求x坐标大圆板质量为，质心坐标为xc=0小圆板质量为，质心坐标为x1c=R/2余下的质量为，质心坐标用x2c

表示，则Oxy第十八页，共四十五页，2022年，8月28日19二、体系动量定理与质心运动定理引入质心概念，质点系动量则可表示为体系动量定理可写成上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式第十九页，共四十五页，2022年，8月28日20

(3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的运动，而是质心的运动。而质心的存在，正是任意物体在一定条件下可以看成质点的物理基础；几点说明:

(2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的；(1)质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分量方程，运动的独立性同样成立；(4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。第二十页，共四十五页，2022年，8月28日21

②物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的运动与质心系相对固定参照系的运动；③质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用。说明：①对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系：其质心坐标系为惯性系.对于受外力作用的体系，则是非惯性系；三、质心坐标系？质心坐标系：把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系。第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日22例4.5

一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下端刚与地面接触。此时放开绳子，从静止状态开始下落。已知绳子质量为m,长为l，求下落到所剩长度为z时，地面对这段绳子的作用力。解：解法一（质心法）把绳子看作一质点系。当绳子下落到剩长度为z时，所以其质心高度和速度分别为

所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度v=dz/dt与一个质点自由下落的速度相同，即zOz第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日23由此可得质心加速度为

设地板对上段绳子的作用力为F，对整根绳子应用质心运动定理，则有第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日24忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为-vdt，可得加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为

绳子上端的下落速度为，而紧靠地面的质元dm与地面相碰时其动量由vdm变为零。故若设该质元受到的支持力为F1，根据质点动量定理有解法二：（动量法）第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日25§3.动量守恒定律一、动量守恒定律由体系动量定理若Fex=

0,则几点说明：①内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体分配有重要作用。当体系所受外力矢量和为零时,但由于内力作用，可以有第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日26④动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适用范围更广；尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不成立，但动量守恒定律仍然成立。②动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒；

③在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力有限，过程时间很短，外力冲量很小；而其间内力很大，体系内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的动量再分配问题。第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日27炮身反冲运动4.7、设炮车以仰角α发射炮弹，M（炮身），m（炮弹），炮弹在出口处相对炮身的速率为v’，试求炮身的反冲速度，设地面摩擦力可略。解：炮身和炮弹体系，在竖直方向受到重力和地面支承力的作用，在开炮瞬间，两者的大小并不相等（支承力可很大），但在水平方向（取为x）不受外力的作用，故水平方向体系的动量守恒。由于炮弹的速度是相对炮身，须将利用相对运动公式化为相对地面。ymxαMα讨论：相对同一惯性系（相对地面或取反冲结束后炮身）。思考题：①试用反冲结束后炮身作为参考系来重解该题。是否可以在整个过程中均取炮身（而不是反冲结束后炮身）为参考系解题？为什么？②只要开炮的时间很短，体系在竖直方向的动量也应守恒。你认为对吗？为什么？第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日28例4.8质量为M=500kg、长为4m的木船浮在静止水面上，一质量为m=50kg的人站在船尾。此人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少距离?设船与水之间的摩擦忽略。分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为零，质心在水平方向的位置保持不变,故宜用质心概念求解。解：解法一（质心法）取x轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的行走方向为x正方向。人在船尾时，体系质心的坐标xc为Lx0y第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日29

当人走到船头后，设船的中心坐标为x，则体系质心坐标为

质心水平位置不变，即xc’=xc，故0xLx0故船相对岸移动了4/11m。第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日30再设u为人对船的速度，则

如图，人在t0~t时间内从船的一端走到另一端，距离为L,人和船对岸的移动距离分别为x1、x2

，则可写出下面三个运动学关系式解法二（动量守恒法）在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故

其中v1、v2分别为某时刻人和船对岸的速度。Lx第三十页，共四十五页，2022年，8月28日31由式（1）得v2，并代入式（2），得第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日32?变质量:是指体系在运动过程中不断与外界交换质量。对这样体系的运动过程分析思路：①可分解为一系列元过程；②在元过程中，其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量定理；③由此即可导出主体的运动方程。一、变质量物体的运动§4.变质量物体的运动t时刻t+⊿t时刻第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日33这就是变质量质点（即主体）运动方程。（变质量动量定理）令，则，上式取极限得

如图，在t时刻，主体m与附体⊿m是分离的；经过⊿t时间，附体并入主体。于是，由体系的动量定理，有第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日34几点说明：⑴方程中外力，附体对主体的作用力为。当u=v时，方程形式上与牛顿第二定律一样，但注意m是变量。⑵当u=0时，方程变为⑶上式是在的情况下导出，但当时，结论仍然正确。第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日35例4.9

试以变质量物体运动的观点重新求解例4.3。解：因为要求支点上的拉力Fr，取左半部分的绳索为主体较方便。以竖直向下为x正方向，在B端下落x的瞬时，主体速度为0。因为单位时间内右部分绳索下落u，其中只有一半充入左半部分，另一部分仍在右半部分（使右部分下端降低）。作用在体系上的外力为：

于是由主体运动方程：第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日36

二、火箭飞行原理M

设火箭喷出的气体相对速度u-v沿火箭轨道切向，且为一常量vr；①火箭飞行中不受外力作用；②火箭起始质量为M,燃料烧尽后质量为m。根据变质量质点运动方程，有由于是一维运动，，且与v的方向相反，得第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日37注意：上式中dm<0,dv>0,积分得通常M/m≈6,vr≈2000-3000m.s-1,故vf至多可达4000-5000m.s-1。

要提高vf

,可用多级火箭。对于二级火箭vf可达

实际发射火箭还将克服地球引力的影响和空气阻力的影响，情况要复杂得多。第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日38例4.10

雨滴开始自由下落时质量为m0,在下落的过程中,单位时间凝聚的水汽质量为k,忽略空气阻力,求雨滴经时间t下落的距离。解：设水汽附着于水滴前的速度u=0，依题意可得：利用初始条件：t=0时，v=0

，由该方程可解得：对上式积分，并利用初始条件：t=0时，x=0，得：

附：由原方程可得：第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日补充习题1、有N个人站在铁路上静止的平板车上，每人的质量为m，平板车的质量为M。他们以相对于平板车的速度u跳离平板车的某端，平板车无摩擦地沿相反方向滑动。则（A）若所有的人同时跳车，（B）若一个一个地跳离，平板车的最终速度是多少？2、第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日40本章基本要求⒈进一步掌握动量和冲量的概念及动量定理，特别是它们的矢量性；⒉进一步掌握动量守恒定律解决问题的思路和