第十五章 狭义相对论基础

第十五章狭义相对论基础第一页，共五十三页，2022年，8月28日第六篇近代物理基础第十五章狭义相对论基础第十六章量子物理第二页，共五十三页，2022年，8月28日第十五章狭义相对论基础

◆教学基本要求1.了解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。2.了解洛伦兹坐标变换。了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间膨胀概念。了解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及二者的差异。3.理解狭义相对论中质量和速度的关系、质量和能量的关系。第三页，共五十三页，2022年，8月28日第十五章.狭义相对论基础一.力学的相对性原理牛顿运动定律适用一切惯性参考系.对一切惯性系来说,力学现象都遵从同样的规律;或者说,在研究力学规律时,一切惯性系都是等价的.——力学相对性原理.二.伽利略变换式力学相对性原理的数学表述.考虑两个惯性参考系S(Oxyz)和S(Oxyz),它们的对应坐标轴相互平行,且S系相对S系以速度v沿Ox轴的正方向运动.开始时,两惯性系重合.§1.伽利略变换牛顿的绝对时空观伽利略位置坐标变换t=0时，两者重合.vtxxzSOyyxzSOyyzzv•Px伽利略变换牛顿的绝对时空观第四页，共五十三页，2022年，8月28日S相对S系以v沿x轴运动点P在两坐标系中的关系为:考虑两个惯性参考系S(Oxyz)和S(Oxyz),它们的对应坐标轴相互平行,且S系相对S系以速度沿Ox轴的正方向运动.开始时,两惯性系重合.伽利略位置坐标变换t=0时，两者重合.vtxxzSOyyxzSOyyzzv•Px若认为同一事件在两系中经历的时间相同,即Δt=Δt.有:或伽利略变换牛顿的绝对时空观第五页，共五十三页，2022年，8月28日或S相对S系以v沿x轴运动点P在两坐标系中的关系为:若认为同一事件在两系中经历的时间相同,即Δt=Δt.有:——伽利略坐标变换对伽利略坐标变换对时间求一阶导数——伽利略速度变换.其矢量形式为:u=u+v伽利略变换牛顿的绝对时空观第六页，共五十三页，2022年，8月28日——伽利略坐标变换对伽利略坐标变换对时间求一阶导数——伽利略速度变换.其矢量形式为:u=u+v上式再对时间求导:其矢量形式为:a=a物体的加速度对伽利略变换是不变的.即牛顿定律对S系和S系有相同的形式.F=maF=ma即牛顿定律在伽利略变换下是不变的.或者说力学规律对伽利略变换是不变的.力学的相对性原理.伽利略变换牛顿的绝对时空观第七页，共五十三页，2022年，8月28日上式再对时间求导:其矢量形式为:a=a物体的加速度对伽利略变换是不变的.即牛顿定律对S系和S系有相同的形式.F=maF=ma即牛顿定律在伽利略变换下是不变的.或者说力学规律对伽利略变换是不变的.力学的相对性原理.三.经典力学时空观伽利略变换的假设①存在不受运动状态影响的时钟——绝对时间②空间任意两点间的距离与参考系的选择无关.——绝对空间.任何事件所经历的时间在不同参考系下都是不变的.伽利略变换牛顿的绝对时空观第八页，共五十三页，2022年，8月28日三.经典力学时空观伽利略变换的假设①存在不受运动状态影响的时钟——绝对时间②空间任意两点间的距离与参考系的选择无关.——绝对空间.任何事件所经历的时间在不同参考系下都是不变的.在牛顿力学中,时间,长度,质量都是伽利略变换不变量.力学相对性原理并不是以绝对时空观为前提的.§2迈克耳孙—莫雷实验一.问题的提出是否有一个与绝对空间相对静止的参考系？如果有,如何判断它的存在?显然力学原理不能找出这个特殊的惯性系,那么电磁学现象呢?迈克耳孙—莫雷实验第九页，共五十三页，2022年，8月28日在牛顿力学中,时间,长度,质量都是伽利略变换不变量.力学相对性原理并不是以绝对时空观为前提的.§2迈克耳孙—莫雷实验一.问题的提出是否有一个与绝对空间相对静止的参考系？如果有,如何判断它的存在?显然力学原理不能找出这个特殊的惯性系,那么电磁学现象呢?电磁波传播的媒质是什么?人们假定:电磁波(光)传播的媒质是以太,以太静止在绝对空间.光相对以太的传播速度为c,若有其它惯性系相对绝对空间运动,则相对此惯性系的速度将不是c.寻找以太成为判断绝对参考系存在的关健.迈克耳孙—莫雷实验第十页，共五十三页，2022年，8月28日电磁波传播的媒质是什么?人们假定:电磁波(光)传播的媒质是以太,以太静止在绝对空间.光相对以太的传播速度为c,若有其它惯性系相对绝对空间运动,则相对此惯性系的速度将不是c.寻找以太成为判断绝对参考系存在的关健.二.迈克耳孙-----莫雷实验把迈克耳孙干涉仪固连在地球上.设想以太相对太阳是静止的,则地球固连的干涉仪以v的速率相对以太运动.设计实验理论计算条纹移动数为:→以太不存在.即否定了电磁理论适用的绝对以太参照系!实际实验为零结果:无条纹移动.迈克耳孙—莫雷实验第十一页，共五十三页，2022年，8月28日三.出路:认为力,电理论正确,以太也要,需找新假设;力学及相对性原理正确,电磁理论及以太应改造;----行不通.爱因斯坦找到了出路.→伽利略变换不正确.→绝对时空观有问题.二.迈克耳孙莫雷实验把迈克耳孙干涉仪固连在地球上.设想以太相对太阳是静止的,则地球固连的干涉仪以v的速率相对以太运动.设计实验理论计算条纹移动数为:实际实验为零结果:无条纹移动.→以太不存在.即否定了电磁理论适用的绝对以太参照系!迈克耳孙—莫雷实验第十二页，共五十三页，2022年，8月28日爱因斯坦Einstein:现代时空的创始人迈克耳孙—莫雷实验第十三页，共五十三页，2022年，8月28日三.出路:认为力,电理论正确,以太也要,需找新假设;力学及相对性原理正确,电磁理论及以太应改造;----行不通.爱因斯坦找到了出路.→伽利略变换不正确.→绝对时空观有问题.§3.狭义相对论的基本原理

洛伦兹变换式一.爱因斯坦狭义相对论的基本原理(两条基本假设)1.狭义相对性原理物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式,即所有的惯性系对运动的描述都有是等效的.换言之,绝对静止的参考系是不存在的.狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式第十四页，共五十三页，2022年，8月28日2.光速不变原理真空中的光速是常量,它与光源或观测者的运动无关,即不依赖于惯性系的选择.说明:(1)第一假设说明运动的描述具有相对意义,绝对静止的参考系不存在.§3.狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式一.爱因斯坦狭义相对论的基本原理(两条基本假设)1.狭义相对性原理物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式,即所有的惯性系对运动的描述都有是等效的.换言之,绝对静止的参考系是不存在的.(2)第二假设隐含真空各向同性;且在不同的参考系中,时间的流逝不相同.狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式第十五页，共五十三页，2022年，8月28日2.光速不变原理真空中的光速是常量,它与光源或观测者的运动无关,即不依赖于惯性系的选择.说明:(1)第一假设说明运动的描述具有相对意义,绝对静止的参考系不存在.(2)第二假设隐含真空各向同性;且在不同的参考系中,时间的流逝不相同.(3)所有物理定律都遵从相对性原理.(4)伽利略变换不再适用.二.洛伦兹变换洛伦兹研究Maxwell方程的不变性时,得出了一套坐标变换:狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式第十六页，共五十三页，2022年，8月28日(3)所有物理定律都遵从相对性原理.(4)伽利略变换不再适用.二.洛伦兹变换洛伦兹研究Maxwell方程的不变性时,得出了一套坐标变换:式中c为真空中的光速上式可解出x,y,z,t,得逆变换说明:(1)S相对S系以v沿x轴运动,t=0时，两原点重合.(2)它在相对论中占中心地位.狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式第十七页，共五十三页，2022年，8月28日式中c为真空中的光速上式可解出x,y,z,t,得逆变换说明:(1)S相对S系以v沿x轴运动,t=0时，两原点重合.(2)它在相对论中占中心地位.(3)变换式是同一事件在不同惯性系两组时空坐标之间的变换式.(4)各系中时空度量基准必须一致.故规定:各系中的尺和钟必须相对该惯性系处于静止状态.(5)v≦c，物体的速度上限为c.(6)v<<c,伽利略变换.故v<<c为非相对论条件.狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式第十八页，共五十三页，2022年，8月28日(3)变换式是同一事件在不同惯性系两组时空坐标之间的变换式.(4)各系中时空度量基准必须一致.故规定:各系中的尺和钟必须相对该惯性系处于静止状态.(5)v≦c，物体的速度上限为c.(6)v<<c,伽利略变换.故v<<c为非相对论条件.三.洛伦兹速度变换式设从S系看,点P的速度为u(ux,uy,uz),从S´系看,点P的速度为u(ux´,uy´,uz´)由洛伦兹坐标变换公式可得洛伦兹速度变换公式狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式第十九页，共五十三页，2022年，8月28日三.洛伦兹速度变换式设从S系看,点P的速度为u(ux,uy,uz),从S´系看,点P的速度为u(ux´,uy´,uz´)由洛伦兹坐标变换公式可得洛伦兹速度变换公式其逆变换为:狭义相对论的基本原理洛伦兹变换式第二十页，共五十三页，2022年，8月28日其逆变换为:§4狭义相对论的时空观同时指两事件发生在同一时刻.经典时空观认为:同时的概念是绝对的,与参考系无关.相对论时空观认为:同时的概念是相对的.在一个惯性系两个事件是同时发生的,在另一惯性中,这两事件可能不是同时发生的.考虑一作匀速运动的车厢,对地的速度为v一.同时的相对性狭义相对论的时空观第二十一页，共五十三页，2022年，8月28日S´SvO´O*前后门都用光信号控制,光信号从O点发出.§4狭义相对论的时空观同时指两事件发生在同一时刻.经典时空观认为:同时的概念是绝对的,与参考系无关.相对论时空观认为:同时的概念是相对的.在一个惯性系两个事件是同时发生的,在另一惯性中,这两事件可能不是同时发生的.考虑一作匀速运动的车厢,对地的速度为v一.同时的相对性从S系看，光信号同时到达前后门.两门同时开启.从S系看,由于光速不变,但后门也以v向前运动,光信号先到后门,两门并不同时开启.狭义相对论的时空观第二十二页，共五十三页，2022年，8月28日S´SvO´O*前后门都用光信号控制,光信号从O点发出.同时的相对性从S系看，光信号同时到达前后门.两门同时开启.从S系看,由于光速不变,但后门也以v向前运动,光信号先到后门,两门并不同时开启.(1)洛伦兹变换中的坐标关系是对同一事件而言的.(2)各惯性系中的度量基准应一致(如尺、钟应相同）(3)各惯性系中的尺、钟应相对自己是静止的.下面用洛伦兹变换讨论此问题应用洛伦兹变换的注意事项:狭义相对论的时空观第二十三页，共五十三页，2022年，8月28日讨论:

1.在一个惯性系(S系)中不同地点(xa,xb)同时发生的两事件,在另一惯性系(S系)来看,并不同时.因为(1)洛伦兹变换中的坐标关系是对同一事件而言的.(2)各惯性系中的度量基准应一致(如尺、钟应相同）(3)各惯性系中的尺、钟应相对自己是静止的.下面用洛伦兹变换讨论此问题应用洛伦兹变换的注意事项:由洛伦兹变换:狭义相对论的时空观第二十四页，共五十三页，2022年，8月28日讨论:

1.在一个惯性系(S系)中不同地点(xa,xb)同时发生的两事件,在另一惯性系(S系)来看,并不同时.因为由洛伦兹变换:2.在一个惯性系中即同时又同地发生的两事件呢?则:在另一惯性系看也同时发生.狭义相对论的时空观第二十五页，共五十三页，2022年，8月28日3.在一惯性系中不同时,也不同地发生的两事件2.在一个惯性系中即同时又同地发生的两事件呢?则:在另一惯性系看也同时发生.如果即:则:Δt=0即在另一个惯性看来,可能是同时发生的.狭义相对论的时空观第二十六页，共五十三页，2022年，8月28日4.同时具有相对意义.但因果关系不会改变.即有因果联系的事件,其先后顺序仍然是不可改变的.一切物质运动的速度都不能超过光速.3.在一惯性系中不同时,也不同地发生的两事件如果即:则:Δt=0即在另一个惯性看来,可能是同时发生的.二.长度的收缩在S中静止的棒,长度为l0(t’1≠t’2)在S系中测量,长度为l狭义相对论的时空观第二十七页，共五十三页，2022年，8月28日4.同时具有相对意义.但因果关系不会改变.即有因果联系的事件,其先后顺序仍然是不可改变的.一切物质运动的速度都不能超过光速.二.长度的收缩在S中静止的棒,长度为l0(t’1≠t’2)在S系中测量,长度为l由洛伦兹变换有:即:或:由于故:l<l0,称为长度收缩.在S系中测x1、x2应为同时，即t1=t2=t0狭义相对论的时空观第二十八页，共五十三页，2022年，8月28日由洛伦兹变换有:即:或:由于故:l<l0,称为长度收缩.在S系中测x1、x2应为同时，即t1=t2=t0

(2)收缩只发生在运动方向上,垂直方向上不发生收缩.(3)长度比较具有相对意义.只有物体相对静止且平行时,比较才绝对.(4)当v<<c时,说明:

(1)相对静止的系中测得的固有长度l0最长.l为运动物体的长度,物体沿运动方向收缩.狭义相对论的时空观第二十九页，共五十三页，2022年，8月28日说明:

(1)相对静止的系中测得的固有长度l0最长.l为运动物体的长度,物体沿运动方向收缩.

(2)收缩只发生在运动方向上,垂直方向上不发生收缩.(3)长度比较具有相对意义.只有物体相对静止且平行时,比较才绝对.(4)当v<<c时,例题1如图所示,一长为1m的棒静止地放在O´x´y´z´平面内.在S´系的观察者测得此棒与轴成45º角.试问从S系的观察者来看,此棒的长度以及棒与Ox轴的夹角是多少?设想S´系以速度沿Ox轴相对S系运动.解:棒静止在S´系中的长度为l´狭义相对论的时空观第三十页，共五十三页，2022年，8月28日例题1如图所示,一长为1m的棒静止地放在O´x´y´z´平面内.在S´系的观察者测得此棒与轴成45º角.试问从S系的观察者来看,此棒的长度以及棒与Ox轴的夹角是多少?设想S´系以速度沿Ox轴相对S系运动.解:棒静止在S´系中的长度为l´ySOxSOyvvtxθ´llxlyS´系在S系Ox轴方向运动,收缩只在x方向上.y分量不变.从S系看棒长为狭义相对论的时空观第三十一页，共五十三页，2022年，8月28日棒与Ox轴的夹角为代入数据有l=0.79m,θ=63.43º.ySOxSOyvvtxθ´llxlyS´系在S系Ox轴方向运动,收缩只在x方向上.y分量不变.从S系看棒长为三.时间的延缓考虑在S´系中(静止)发生于同一地点x´=ξ的两事件.事件1:(x´1=ξ,t1)S´系看:事件2:(x´2=ξ,t2)狭义相对论的时空观第三十二页，共五十三页，2022年，8月28日S系看:事件1:(x1,t1)事件2:(x2,t2)由洛伦兹变换:或者:可见两事件时间间隔不等.三.时间的延缓棒与Ox轴的夹角为代入数据有l=0.79m,θ=63.43º.考虑在S´系中(静止)发生于同一地点x´=ξ的两事件.事件1:(x´1=ξ,t1)S´系看:事件2:(x´2=ξ,t2)狭义相对论的时空观第三十三页，共五十三页，2022年，8月28日S系看:事件1:(x1,t1)事件2:(x2,t2)由洛伦兹变换:或者:可见两事件时间间隔不等.说明:

(1)发生于同一地点,相对静止的系中测得的固有时间τ0(Δt´)最短.Δt运动时间—相对运动惯性系中测量的时间.(Δt=反过来,S´系也认为S系运动而时钟变慢.时钟变慢与时钟的结构无关.它是相对性效应.γτ0>τ0)大于静止时间,或者说在运动参考系中测量事物变化过程，时间间隔变大，叫时间膨胀或时间延缓,也叫运动的时钟变慢.狭义相对论的时空观第三十四页，共五十三页，2022年，8月28日(2)时钟快慢比较具有相对意义.只有两钟相对静止时,比较才绝对.(3)当v<<c时,说明:

(1)发生于同一地点,相对静止的系中测得的固有时间τ0(Δt´)最短.Δt运动时间—相对运动惯性系中测量的时间.(Δt=或者说在运动参考系中测量事物变化过程，时间间隔变大，叫时间膨胀或时间延缓,也叫运动的时钟变慢.反过来,S´系也认为S系运动而时钟变慢.时钟变慢与时钟的结构无关.它是相对性效应.γτ0>τ0)大于静止时间,例题2.测得高能宇宙射线中的μ子平均寿命为τ1=2.67×10-5s,某实验室中产生的μ子平均寿命为τ2=2.2×10-6s.设实验室中产生的μ子的运动速度v<<c.试按相对论估算宇宙射线中的速度,及其产生地离地面的高度.狭义相对论的时空观第三十五页，共五十三页，2022年，8月28日解:μ子的固有时间τ0=2.2×10-6s运动时为τ1=γτ0故在τ1时间内,μ子飞过和距离为μ子的产生地离地面约8000m.(2)时钟快慢比较具有相对意义.只有两钟相对静止时,比较才绝对.(3)当v<<c时,例题2.测得高能宇宙射线中的μ子平均寿命为τ1=2.67×10-5s,某实验室中产生的μ子平均寿命为τ2=2.2×10-6s.设实验室中产生的μ子的运动速度v<<c.试按相对论估算宇宙射线中的速度,及其产生地离地面的高度.狭义相对论的时空观第三十六页，共五十三页，2022年，8月28日例题3.在惯性系S中，有两个事件同时发生在x轴上相距1000m的两点，而另一惯性系S’中，（S’沿x轴方向相对S运动）。测的这两个事件发生的地点相距2000m，求：（1）S’系相对s的速度；（2）在S’系中测的这两个事件的时间间隔。有解:

（1）由解:μ子的固有时间τ0=2.2×10-6s运动时为τ1=γτ0故在τ1时间内,μ子飞过和距离为μ子的产生地离地面约8000m.狭义相对论的时空观第三十七页，共五十三页，2022年，8月28日则v=0.866c（2）例题3.在惯性系S中，有两个事件同时发生在x轴上相距1000m的两点，而另一惯性系S’中，（S’沿x轴方向相对S运动）。测的这两个事件发生的地点相距2000m，求：（1）S’系相对s的速度；（2）在S’系中测的这两个事件的时间间隔。有解:

（1）由狭义相对论的时空观第三十八页，共五十三页，2022年，8月28日则v=0.866c（2）§5.相对论动力学基础一.动量与速度的关系质点的动量p=mv可证明m0为静质量以两个全同粒子完全非弹性碰撞为例,推证质量关系.碰前:碰后:ABvm(v)uM(u)S系m0u´=-uM(u)v´=-vBAm0S´系相对论动力学基础第三十九页，共五十三页，2022年，8月28日§5.相对论动力学基础一.动量与速度的关系质点的动量p=mv可证明m0为静质量以两个全同粒子完全非弹性碰撞为例,推证质量关系.碰前:碰后:ABvm(v)uM(u)S系m0u´=-uM(u)v´=-vBAm0S´系S系看,B粒子静止,A粒子速度为v，碰后成为一个粒子.速度为u质量守恒:m(v)+m0=M(u)动量守恒:m(v)v=M(u)u所以:S´系看,A粒子静止,B粒子的速度为-v,碰后速度为u´=-u由速度变换公式:相对论动力学基础第四十页，共五十三页，2022年，8月28日解得：整理变形有：S系看,B粒子静止,A粒子速度为v，碰后成为一个粒子.速度为u质量守恒:m(v)+m0=M(u)动量守恒:m(v)v=M(u)u所以:S´系看,A粒子静止,B粒子的速度为-v,碰后速度为u´=-u由速度变换公式:因为u<v,故上式取正号．解得：相对论动力学基础第四十一页，共五十三页，2022年，8月28日物体的静止质量。相对于观察者以速度运动时的质量。0.812340.20.41.000.6相对论动力学基础第四十二页，共五十三页，2022年，8月28日解得：整理变形有：因为u<v,故上式取正号．解得：二．狭义相对论力学的基本方程改造牛顿力学,使它在洛伦兹变换下不变.当有外力F作用于质点时，有:——相对论基本方程系统的动量守恒定律:相对论动力学基础第四十三页，共五十三页，2022年，8月28日二．狭义相对论力学的基本方程改造牛顿力学,使它在洛伦兹变换下不变.当有外力F作用于质点时，有:——相对论基本方程系统的动量守恒定律:当质点运动速度远小于光速β(v/c)<<1——牛顿第二定律——经典力学的动量守恒相对论动力学基础第四十四页，共五十三页，2022年，8月28日三.质量与能量的关系由动能定理,外力的功等于质点动能的增量.当质点运动速度远小于光速β(v/c)<<1——牛顿第二定律——经典力学的动量守恒考虑一维情况得利用相对论动力学基础第四十五页，共五十三页，2022年，8月28日或者mc2为总能m0c2为静能相对性动能表达式与经典力学中的动能表达式完全不同三.质量与能量的关系由动能定理,外力的功等于质点动能的增量.考虑一维情况得利用相对论动力学基础第四十六页，共五十三页，2022年，8月28日或者mc2为总能m0c2为静能相对性动能表达式与经典力学中的动能表达式完全不同质能关系:由相对论动力学基础第四十七页，共五十三页，2022年，8月28日用E=mc2表示总能—质能关系E=Ek+m0c2如质量发生变化，则能量也发生变化ΔE=(Δm)c2静能m0c2:物体内能的总和.质能关系:由质量亏损:核反应前后静质量之差:相对论动力学基础第四十八页，共五十三页，2022年，8月28日四.能