第六章曲线曲面投影方法

第六章曲线曲面投影方法第一页，共五十一页，2022年，8月28日1）点在空间作连续变换方向的运动轨迹

曲线的形成一般有下列三种方式：2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线6.1曲线概述6.1.1曲线的形成第二页，共五十一页，2022年，8月28日3）平面与曲面或两曲面相交的交线必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。第三页，共五十一页，2022年，8月28日6.1.2曲线的分类1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。2、按曲线上点的分布可分为两类：1）平面曲线曲线上所有点都在同一平面上，如二次曲线、渐伸线等；2）空间曲线曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。第四页，共五十一页，2022年，8月28日1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影为直线

2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性

3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲线

4）曲线切线（割线）的投影仍为其投影的切线（割线）

6.2.1曲线的投影

特性6.2曲线的投影

特性及其画法第五页，共五十一页，2022年，8月28日6.2.2曲线的投影画法一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来

第六页，共五十一页，2022年，8月28日Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点B和F为对H面重影点E为一般点

第七页，共五十一页，2022年，8月28日6.3圆的投影

圆是最简单的平面曲线

根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面投影）：

2.1圆所在平面为投影面平行面

2.2圆所在平面为投影面垂直面

2.3圆所在平面为一般位置平面

第八页，共五十一页，2022年，8月28日当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆的直径6.3.1圆所在平面为投影面平行面第九页，共五十一页，2022年，8月28日6.3.2圆所在平面为投影面垂直面当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。

第十页，共五十一页，2022年，8月28日6.3.3圆所在平面为一般位置平面

当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影

短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影

第十一页，共五十一页，2022年，8月28日圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-最大斜度线法当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。可以采用最大斜度线法或变换投影面法来作图。最大斜度线法第十二页，共五十一页，2022年，8月28日圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法-变换投影面法变换投影面法特别注意：水平投影的短轴gh和正投影的短轴gh并不一一对应。第十三页，共五十一页，2022年，8月28日方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴

第十四页，共五十一页，2022年，8月28日6.4螺旋线6.4.1圆柱螺旋线

一点沿圆柱面直母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱面轴线作等速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为圆柱螺旋线

圆柱螺旋线的三要素

1：圆柱的直径ｄ

2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程

第十五页，共五十一页，2022年，8月28日

旋向：分为右旋、左旋两种

右螺旋线的动点运动遵循右手定则，图上（a)可见部分右边高；左螺旋线的动点运动遵循左手定则，图上(b)可见部分左边高

第十六页，共五十一页，2022年，8月28日作图步骤

第十七页，共五十一页，2022年，8月28日6.1.2圆锥螺旋线一点沿圆锥面直母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆锥面轴线作等速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为圆锥螺旋线

第十八页，共五十一页，2022年，8月28日

曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合

如图所示曲面，

是由AA１沿着曲线ABC运动且在运动中始终平行于直线MN所形成的

AA１称为母线第十九页，共五十一页，2022年，8月28日母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的

母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续两素线

控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素

第二十页，共五十一页，2022年，8月28日母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为规则曲面

母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面

同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成

第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日6.5曲面的投影

只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成的曲面将唯一确定。

曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线

当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时，这些母线称为界限素线第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日

曲面的轮廓线对不同投影面各不相同。如图所示，投射柱面与曲面的切线T称为曲面对H面的轮廓线，ｔ′为曲面轮廓线的H投影。

第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日6.5.1曲面的分类

根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面；按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回转面；按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面；按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面；按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，则可分为可展曲面和不可展曲面。

第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日一、直线面

1可展直线面

1）柱面

一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为柱面。柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。

第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线

第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日直圆柱面

aa

a第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日几种柱面

直圆柱面斜圆柱面直椭圆柱面斜椭圆柱面

第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日4.1.2锥面

一直母线沿曲导线运动且始终通过一定点（锥顶）而形成的曲面称为锥面。锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。第三十页，共五十一页，2022年，8月28日作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线

第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日

正圆锥面

s●

s●

ksk

k过锥顶作一条素线。第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日正圆锥面斜圆锥面正椭圆锥面斜椭圆锥面

第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日4.1.3切线面

一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线相切而形成的曲面称为切线曲面

切线曲面是可展直线面

第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日渐开线螺旋面

在作投影图时，首先应画出其导线——圆柱螺旋线的投影（画法详见§７），然后沿导线取若干点，在各点处作出导线的一系列切线，即可求出H投影面迹线，在V面投影上应保留轮廓线的投影。

第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日2）不可展直线面

柱状面

一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了柱状面

柱状面是不可展曲面

第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日锥状面

一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面

锥状面是不可展曲面

第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日双曲抛物

一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面

双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴）即为该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直，则称为正双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。

双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面

第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日正双曲抛物面斜双曲抛物面第四十页，共五十一页，2022年，8月28日6.6

回转曲面

母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称为回转曲面

固定轴称为回转轴在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆称为纬线圆。其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂直在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为赤道圆。

第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日画回转曲面的投影图时，通常使其轴线垂直于某一投影面，以便简化作图

由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转曲面可以分为：

直线回转面曲线回转面

组合回转面

第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日6.6.1直线回转面

圆柱面

§４中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的特殊形式。若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成圆柱体。

第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日

圆柱面上求点

aa

a第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日圆锥面

§４中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一般锥面的特殊形式。若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则形成圆锥体。

圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍）

纬线圆法

第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日纬线圆法

s●

s●(n)s●n(n)●第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日单叶双曲回转面一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面

单叶双曲回转面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面

第四十七页，共五十一页，2022年，8月28日曲线回转面

曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面均