第八讲函数的奇偶性与周期性

第一页，共五十六页，2022年，8月28日教材知识整合回归教材第二页，共五十六页，2022年，8月28日1.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数,若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数,如果一个函数f(x)是奇函数或是偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数就是偶函数,并且奇､偶函数的定义域关于原点对称.第三页，共五十六页，2022年，8月28日2.对于函数y=f(x),如果存在不为零的常数T,使得当x取定义域中的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么f(x)为周期函数,T是它的一个周期,对于一个周期函数来说,如果在所有周期中存在一个最小正数,则这个最小正数叫做最小正周期,且若T是函数的一个周期,则nT也是函数的一个周期.但并不是所有的周期函数都有最小正周期,如常函数f(x)=c等.

第四页，共五十六页，2022年，8月28日基础自测1.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=()A.-2 B.-1C.1 D.2解析:∵y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a为偶函数,∴1-a=0,故a=1.答案:C第五页，共五十六页，2022年，8月28日 2.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=sinxB.y=-x2C.y=xlg2D.y=-x3解析:逐个检验.答案:C第六页，共五十六页，2022年，8月28日3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为()A.-1B.0C.1D.2解析:∵f(x+2)=-f(x)知f(x)为周期函数,T=4,f(6)=f(2),由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0),又f(x)为奇函数,∴f(0)=0,故f(2)=0,即f(6)=0.答案:B第七页，共五十六页，2022年，8月28日4.(2011·江西莲塘期末)设函数

第八页，共五十六页，2022年，8月28日答案:2第九页，共五十六页，2022年，8月28日5.(2011·江西模拟)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2) 若f(1)=-5,则f[f(5)]=________.第十页，共五十六页，2022年，8月28日答案:-第十一页，共五十六页，2022年，8月28日重点难点突破题型一 判断函数的奇偶性第十二页，共五十六页，2022年，8月28日第十三页，共五十六页，2022年，8月28日[解](1)函数的定义域为R,关于坐标原点对称,∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),∴f(x)为奇函数.

第十四页，共五十六页，2022年，8月28日第十五页，共五十六页，2022年，8月28日

(4)∵f(x)的定义域为R,关于坐标原点对称,当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x).又f(0)=02-2×0=0.∴对于x∈R,总有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.第十六页，共五十六页，2022年，8月28日[点评]判断一个函数的奇偶性,应分两步进行,第一步,看函数的定义域是否关于原点对称;第二步,看f(-x)等于什么,若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数,若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.第十七页，共五十六页，2022年，8月28日变式1:(2011·江西进贤摸底)函数的图象()A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称第十八页，共五十六页，2022年，8月28日解析:f(x)=2x+2-x,f(-x)=2-x+2x=f(x),故f(x)为偶函数.答案:D第十九页，共五十六页，2022年，8月28日题型二 奇偶性的应用【例2】(1)已知f(x)=ax2+bx+1为定义在[2a,1-a]上的偶函数,则a+b=________.(2)若y=f(x+2)为偶函数,则y=f(x)关于________对称;若y=f(x+2)为奇函数,则y=f(x)关于________对称.(3)已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈[-1,0]上为增函数,α､β为锐角三角形的两个内角,则f(cosα)与f(sinβ)的大小关系为__________________.-1x=2(2,0)f(cosα)<f(sinβ)第二十页，共五十六页，2022年，8月28日第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日

(2)若f(x+2)为偶函数,则y=f(x+2)的图象关于y轴对称,又函数y=f(x)是由y=f(x+2)的图象向右平移两个单位得到,故y=f(x)关于直线x=2对称,同理,若y=f(x+2)为奇函数,则y=f(x+2)的图象关于坐标原点对称,而y=f(x)的图象是由y=f(x+2)的图象向右平移2个单位得到的,故y=f(x)关于(2,0)对称.第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日[点评](1)若一个函数为奇(偶)函数,其定义域一定关于坐标原点对称;若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),且若f(x)为奇函数,且x=0有意义,f(0)=0.(2)奇函数关于坐标原点对称的两个区间如果单调,则单调性一致,偶函数关于坐标原点对称的两个区间,若单调,则单调性相反.

第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日变式2:(1)(2011·江西进贤摸底)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的取值范围是()A.(-1,0) B.(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,+∞)答案:C

第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日(2)(2011·江西南昌摸底)已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)单调递减,则m的值为()A.2 B.-2C.±2 D.0答案:B第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日解析:(1)由lgx>0得x>1,又f(x)为奇函数知f(x)>0的解为-1<x<0或x>1.(2)由f(x)为偶函数,知m2-4=0得m=±2,当m=2时,g′(x)=-3x2+4x+2不恒小于0,不合题意舍去.当m=-2时,g′(x)=-3x2+4x-2.∵Δ=16-4×3×2<0,故g′(x)<0恒成立.g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,故m=-2.第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日题型三 函数的周期性第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日【例3】(1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)•f(x)=1,对于任意x∈R恒成立,且f(x)>0,则f(2011)=________;(2)(2011·江西模拟)已知函数y=f(x),(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为________.14第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日

[解析](1)∵f(x+2)•f(x)=1知f(x+2)=∴f(x+4)∴f(x)是以4为周期的函数.f(2011)=f(3)=f(-1),又当x=-1时f(1)•f(-1)=1,而f(x)为偶函数,∴[f(-1)]2=1,又f(x)>0,∴f(-1)=1,即:f(2011)=1.第三十页，共五十六页，2022年，8月28日

(2)由f(x+1)=f(x-1),得f(x)=f(x+2),则函数f(x)是以2为周期的函数,作出y=f(x)与y=log5x的图象(如图),可知函数y=f(x)与y=log5x的图象交点个数为4.第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日[点评]抽象函数的周期性往往是以三角函数为模型设计的,故研究抽象函数的周期性时,可联想三角函数的性质､公式等,运用类比的思想,分析抽象函数的周期性.第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日变式3:已知偶函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则f(116.5)=________.解析:由f(x+3)=-f(x)知f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故f(x)为周期函数,6为f(x)的一个周期,故f(116.5)=f(2.5).又f(x)为偶函数,∴f(2.5)=f(-2.5)=2×(-2.5)=-5.答案:-5第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日【例4】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求f(0)的值;(2)证明:函数f(x)是周期函数;(3)若f(x)=x(0<x≤1),求x∈R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日

[解](1)∵函数f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),令x=0,则f(0)=-f(0),即2f(0)=0,∴f(0)=0.第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日(2)∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)①又f(x)关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x)②由①②得,-f(-x)=f(2-x),换-x为x,则f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=f[2+(2+x)]=-f(2+x)=-[-f(x)]=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数.第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日(3)∵f(x)=x,0<x≤1,∴当-1≤x<0时,0<-x≤1,∴f(-x)=-x.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x,f(x)=x,又f(0)=0,当-1≤x≤1时,f(x)=x,当1<x≤3时,f(x)=-x+2,

第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日

[点评](1)周期函数问题,在考题中常有两类表现形式:一类是研究三角函数的周期性;一类是研究抽象函数的周期性.抽象函数的周期常常应用定义f(T+x)=f(x)给予证明,证明时多从中心对称､轴对称所产生的数学等式出发,推导满足周期定义的等式,从而证明函数为周期函数的同时求出周期.(2)根据函数周期性,可求某区间上解析式,画出某区间上图象或求某一函数值.第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日变式4:已知偶函数f(x)满足y=f(x+1)为奇函数,当x∈[0,1]时f(x)=2x,则f(2011.5)=________.第四十页，共五十六页，2022年，8月28日解析:y=f(x+1)为奇函数,可知f(x)关于(1,0)对称,故有f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)=-f(2-x),∴f(-x)=-f(2+x),又f(x)为偶函数,∴f(x)=-f(2+x),故f(4+x)=-f(2+x)=f(x),∴f(x)为周期函数T=4,f(2011.5)=f(3.5)=f(-0.5)=f(0.5)=1.答案:1第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日解题方法拾遗函数的奇偶性､周期性是函数的重要性质,也是高考的必考内容之一,研究函数的奇偶性必须坚持“定义域优先”的原则,因为定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数,研究周期函数常用定义法,对于抽象函数的奇偶性常用赋值法.第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日【例5】已知函数y=f(x),(x∈R,且x≠0),对任意非零实数x1,x2,恒有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),试判断f(x)的奇偶性.第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日[解]令x1=x2=1,∴f(1)=2f(1),故f(1)=0,令x1=x2=-1.则有f(1)=2f(-1)=0,即:f(-1)=0,令x2=x,x1=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x), ∴f(x)为偶函数.

第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日[点评]判断抽象函数的奇偶性,常用赋值法.第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日考向精测第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日1.(2010·安徽)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=()A.-1B.1C.-2D.2解析:∵f(x)为R上的以5为周期的奇函数,∴f(4)=f(4-5)=-f(1)=-1,f(3)=f(3-5)=-f(2)=-2,∴f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.答