中位线的性质沪科版

中位线的性质沪科版第1页/共33页（实例:楼梯、栅栏、百叶窗、作业纸等等）第2页/共33页看下面练习:1、已知：直线l1∥l2∥l3

，AC∥A1C1

，

AB=BC.求证；A1B1=B1C1ABCA1B1C1ABCA1C12、已知：直线l1∥l2∥l3

，AB=BC求证；A1B=BC1ABBC？？？？l1l3l2l1l3l2图1图24231第3页/共33页ABCA1B1C1l1l2l3EF证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于点E、F∵l1∥l2∥l3∴得到□ABB1E和□BCFB1∴EB1=AB，B1F=BC∵AB=BC,∴EB1=B1F.又∠1=∠2，∠3=∠4∴△A1B1E≌△C1B1F∴A1B1=B1C14321A图4图5ABCA1B1C1l1l3l2l1BC（A1）B1C1l2l3请同学们自己完成下面两图的证明图33、已知如图3，直线l1∥l2∥l3,AB=BC.

求证；A1B1=B1C1？？练习图1图2第4页/共33页平行线等分线段定理也相等.

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段图1图2图4图3图5？？？？？？？？？？第5页/共33页ABCA1B1C1DD1∵直线l1∥l2∥l3,AB=BC.∴A1B1=B1C1∵直线l2∥l3∥l4,BC=CD.∴B1C1=C1D1思考分析：l1l3l2l4？？？已知：直线l1∥l2∥l3∥l4

，AB=BC=CD.求证；A1B1=B1C1=C1D1.第6页/共33页平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等ABCA1B1C1l1l3l2符号语言∵直线l1∥l2∥l3

，AB=BC.∴A1B1=B1C1？？第7页/共33页判断题1、如图△ABC中点D、E三等分AB，DF∥EG∥BC，DF、

EG分别交AC于点F、G，则点F、G三等分AC（）2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上若AM=BM、

DN=CN则AD∥MN∥BC()3、一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。（）4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么AB=BC=DE=EF（）ABCl1l3l2EFDDABCEFGABCDMN第8页/共33页？？AEBCF推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.符号语言∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB.∴AF=FC平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.第9页/共33页例2如图，D,E分别是△ABC中BC边和AC边的中点.求证:DE//BC且AEDCBF而E是AC的中点，同样，过D作DF//AC，交BC于F，则BF=FC.∵DE//FC,DF//EC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=FC.第10页/共33页FE

连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。思考：1、一个三角形有几条中位线？2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？ABCDDE是△ABC的中位线定义：第11页/共33页ABCDEF∵DE=EF∠1=∠2AE=EC∴△ADE≌△CFE证明二：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.∴AD=FC、∠A=∠ECF∴AB∥FC又AD=DB∴BD∥CF且BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形其他证法∴DF∥BC，DF＝BC又∵即DE∥BC已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线求证：DE∥BC，且DE=BC。

12第12页/共33页怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形？思考：（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的小三角形作怎样的图形变换？XZACBPNMQDE第13页/共33页ABCEDF证明三：如图，延长DE至F,

使EF=DE，连接CD、AF、CF∵AE=EC∴DE=EF∴四边形ADCF是平行四边形∴ADFC又D为AB中点，∴DBFC∴四边形BCFD是平行四边形

∴DE//BC且DE=EF=1/2BC返回第14页/共33页ACEDFGB证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF

又∵AE=EC,∠AEG=∠CEF∴△AEG≌△CEF∴AG=FC，GE=EF又AB∥GF，AG∥BF∴四边形ABFG是平行四边形∴BF=AG=FC，AB=GF又D为AB中点，E为GF中点，∴DBEF∴四边形DBFE是平行四边形∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC即DE=1/2BC返回第15页/共33页三角形的中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半用符号语言表示DABCE∵AE=EBAD=DC∴DE∥BC，DE=BC.21第16页/共33页初显身手BDAECF(1)△DEF的周长与

△ABC的周长有什么关系?(2)△DEF的面积与

△ABC的面积有什么关系?例1：口答（1）三角形的周长为18cm，这个三角形的三条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？第17页/共33页变式:如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？BAFEDC第18页/共33页（2）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE=

cm。ABDCEO5初显身手第19页/共33页（3）如图：如果AE=AB，AD=AC，DE=2cm，那么BC=

cm。ABDCEHG8第20页/共33页证明题1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD边AB、CD的中点．CM、AN分别交BD于点E、F．求证：BE=EF=FDADCBMNEF分析：1、证CM∥AN2、证BE=EF3、证DF=EF？？？平行四边形对边相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形第21页/共33页（4）在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是

。ABDCEFGH11第22页/共33页思考：

（1）

顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_________？（2）顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_______？（3）顺次连结菱形各边中点所得的四边形是________？平行四边形菱形矩形变式练习第23页/共33页

（4）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是___________？

（5）顺次连结梯形各边中点所得的四边形是______________？（6）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________？正方形平行四边形菱形第24页/共33页

（7）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？（9）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？

（8）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？菱形矩形正方形第25页/共33页总结不相等且不互相垂直的四边形各边中点组成___________对角线平行四边形互相垂直的四边形各边中点组成______矩形相等的四边形各边中点组成_____菱形相等且互相垂直的四边形各边中点组成_______正方形第26页/共33页已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900,M是CD的中点.求证：AM=BM.分析：过M点作ME∥AD交AB于点E

又∵在梯形ABCD中，MD=MC∴AE=EB易证ME是AB的垂直平分线ABCDME证明题辅助线点滴：有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形。第27页/共33页小结1、平行线等分线段定理和两个推论F？？AEBC？？ABCDEF2、定理和推论的应用(1)把线段n等分;(2)证明在同一直线上的线段相等.3、数学思想方法---转化思想.体会从特殊到一般的思考方法.辅助线点滴：有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形.第28页/共33页一、如图：有块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所以点P必须是三家地的交界地要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）

ABPEF张王李二、推论2指出，经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（即经过第三边的中点）。那么连结三角形两边中点的线段与第三边有什么样的位置和数量关系呢？？？AEBCF思考与练习第29页/共33页1、在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用？思考?ABCA1B1C1l1l3l2把问题转化为有关三角形和平行四边形的问题3、如果一组平行线为三条以上，你还会证明此定理吗？2、你还有其它的添加辅助线的方法吗？第30页/共33页平行线等分线段定理的应用定理作用：(1)证明在同一直线上的线段相等;(2)把线段n等分.例1已知：线段ＡＢ=6cm,求作：线段ＡＢ的五等分点.问题１：求作一点Ｐ把线段ＡＢ分成２：３,怎么办？ＡＢＣEFGHDINMJKLＣP问题２：如果把△ABC的面积分成２：３,怎么办？第