竞赛2003年全国高中数学联合试题及参

第第2页共8若AB，则实数a的取值范围是 已知a，b，c，d均为正整数，且log

b3

d5，若a－c＝9，则4将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球 Mn＝{(十进制)n位纯小数0.a1a2an｜ai01}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limSn n三．解答题（6020分x12x设3x12x2

2Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2tsin2t＋Z2sin4t与ABCAC点A/刚好与A点重合这样的每一种拆法都留下一条直线折痕A/取遍圆周上所有点时，2003年高中 合竞赛加试试ACQB一（本题满分50分）过圆外一点PACQBA，B所作D（ 已知{104{104104，其中{x}＝x－[x]，而[x]x的最大（50分）nt条连线段组成一个空n＝q2＋q＋1，t1q(q1)21，q≥2，q∈N2q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(A，B，C，DAB，BC，CD，DA组成的图形．第第4页共86CCE∥ABCE＝AB，以△CDE为底面，BCABF—ECDV1V21CDES＝ CE×CD×sin∠ECD，ABCDMNV1MNCECDsinECD

，因此 V1V1，故选 3 7．由原不等式分解可得(|x|3)(x2|x|10，由此得所求不等式的解集为(3,

51)2

51,3)25555

524，故△PFlF2的面积5

f(x)21xa

g(xx22(a7)x5ABf(x)g(x)在(1，3)xf(1)≤0，f(3)≤0，g(1)≤0，g(3)≤0，b由已知可得：ab,cd，从而a d4，因此a｜b，c｜d．又由于b (),

bd2b d

d d

c＝9，故()a

c

9，即 a

c2)(a

2)9，故得：

，解得a

c

b125,dC，D2的正方形的顶点，且以它们的外接圆⊙O/和⊙O为上下底面构成圆柱，同时，A/AB的32．32

2－1A/M＝4848＋2∵Mnn1数字均有两种选择(01)方法，故Tn2n12n1n—101S12n1(1

1)12n2(1

1)2n1

∴limSnlim[

1)

1]1n

n

13a2b2c2d∴a2b2c2d

(当且仅当a＝b＝c＝d时取等号 5abxx2x

x1,c1515

,d 2x152x15(x1)(x1)(2x3)(15

xx2x15∵x2x15x12xx12x

2015152xcos2tsin2tsin4tsin2∴ya(1x)22b(1x)x 5分AB、BCD(1

ab)，E(3

bc DEyca)x1(3a2b4(ac2b)(x1)22

1015∵a＋c－2b≠0，∴(x1)202

x2113，∴抛物线与△ABCAC 坐标为1,,ac2bz1ac2b

20 解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点A/(Rcos,Rsin)与点A重合，而折痕为直线MN，则 5分∴(xRcos)2(yRsin)2(xa)2即2R(xcosysinR2a2

10xcosyx2x2

R2a22Rx22R2Rx22Rx2

R2a2

(sin

,cos x2x2R2a22x2x2R2a22Rx222

(xa

(R2

(R2

(a)2(xa2即所求点的集合为椭圆圆 2

＝1外(含边界)的部分 20(R2

(R2

(a)22003年高中数合竞赛分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其它中间档次．AB，在△ADQ与△ABC故△ADQ∽△ABC，而有BCDQ，即 10

PC

AC同理由△PCB∽△PBD

PC

20 又因PA＝PB，故ACBC， 30 又由关于圆内接四边形ACBD的定理知于是得：AB·CD＝2AB·DQ，故DQ＝1CD，即 402在△CBQ与△ABDADDQCQ，∠BCQ＝∠BAD 故∠CBQ＝∠ABD，即得 50l l

[104]

[104]

[1043l≡3m≡3n(mod104

3l3m3n(mod 333(mod2

10由于(3，2)＝(3，5)＝13l－n≡3m－n≡1modu3u≡1mod24)3v≡1mod24)v，我们有u｜v．事实上若u不整除v，则由带余除法可知，存在非负整数a、b，使得v＝au＋b，其中0＜b≤u－1，从而可推出3b≡3b＋au≡3v≡1(mod24)，而这显然与u的定义．3≡3mod24)，32≡9mod24)，33≡27≡11mod24)，34≡1mod24)－n＝4k，其中k为正整 203m－n≡1mod25)34k≡1mod34k≡1mod25) 30即5k24kk2

2285kk1)((k2)

3k k

7]2kk1)((k6

311 4)3即 k＝5t，并代入该式得t＋5t[3＋(5t－1)×27]≡0(modk＝5t＝53ssm－n＝500s，s同理可得l－n＝500r，r为正整 40因此当s＝1，r＝2，n＝501时三角形的周长最小，其值为3003． 50分BiBi｜Bi｜＝bi bi2l且bi≤(n－1) 则图中必存在四边形，因此下面只讨论bi＜n－1(i＝0,1，2，……，n－1)的情况． 10分不妨设q＋2≤b0＜n－1i≠j时，BiBj无公共点对，即因此|BiB0|bi 故VB中点对的个数＝C B

中点对的个 20＝

2|BB

C2Cbi

(bi＝12时，令bb

C C1

1

＝

3bi2)

[ 3(bi)2(n1)]

302

n

＝12

n1

3(2lb)2(n1)] (2lbn1)(2l