勾股定理经典例题详解

勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理形平方关系的定理。(2)勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。(3)理解勾股定理的一些变式：知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。图图(1)中方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。图图(2)中在(3)—2中，乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),方法四：如图(4)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。类型一：勾股定理的直接用法类型一：勾股定理的直接用法知识点三：勾股定理的作用2.在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，t经经典例题透析思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。转化为三角形面积之差或和。AD=13,CD=12类型二：勾股定理的构造应用∴.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有解析：作于D，则因，解析：作于D，则因，那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理，在中，.根据勾股根据勾股定理，在中，.∴.总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理..思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.∴(∴在在中，根据勾股定理有，，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。∴S=S-S=AB·BE-CD·DE=四边形ABCD△ABE△CDE类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。解析：(1)过B点作(二)用勾股定理求最短问题全国各地农村进行电网改架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3图(3)中，在Rt△ABC中∴图(3)中的路线长∴图(3)中的路线长为∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线．一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、。如图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm，(提问：勾股定理)∴∴AC＝＝＝≈10．77(cm)(勾股定理)．答：最短路程约为10．77cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边；总结升华：(1)以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；(2)取单位长时可自定。一般类型五：逆命题与勾股定理逆定理原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．(正确)2．原命题：对顶角相等(正确)3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．(正确)4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．(正确)2.逆命题：相等的角是对顶角(不正确)4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．(正确)aabbc2-10c+25=0,勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用D∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)为直角三角形.DECECDa2+16a2=20a2。DFAFADa2+16a2=25a2。经经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法(3x)2+(4x)2＝202程程(组)求解。C＝＝△ABC由(1)得：x+y＝7，(x+y)2＝49，x2+2xy+y2＝49(3)思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。(n+1)2+(n+2)2＝(n+3)2A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40ca∵82≠(40+39)×(40－39)，等等斜∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)∴S=S+S=AB·BC+AC·CD=36四边形ABCD△ABC△ACD类型二：勾股定理的应用A行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至ABMN为B。°所半°所半为:18km/h＝5m/s线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。【答案】(1)单位正三角形的高为，面积是。(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积，，类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直