一元二次方程分类练习题

一元二次方程题型分类总结知识梳理一、知识结构：一元二次方程考点类型一概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（） AB C D变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★1、方程的一次项系数是，常数项是。★2、若方程是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=3,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点类型二方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。针对练习：★1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。★3、已知m是方程的一个根，则代数式。★★4、已知是的根，则。★★5、方程的一个根为（） AB1CD★★★6、若。考点类型三解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：=0;例2、若，则x的值为。针对练习：下列方程无解的是（）A.B.C.D.类型二、因式分解法:※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如，，典型例题：例1、的根为（） ABCD例2、若，则4x+y的值为。变式1：。变式2：若，则x+y的值为。变式3：若，，则x+y的值为。例3、方程的解为（）A.B.C.D.例4、解方程：例5、已知,则的值为。变式：已知,且,则的值为。针对练习：★1、下列说法中：①方程的二根为，，则②.③④⑤方程可变形为正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以与为根的一元二次方程是（）A．B．C． D．★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：的解是。类型三、配方法※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：试用配方法说明的值恒大于0。已知x、y为实数，求代数式的最小值。已知为实数，求的值。分解因式：针对练习：★★1、试用配方法说明的值恒小于0。★★2、已知，则.★★★3、若，则t的最大值为，最小值为。★★★4、如果,那么的值为。类型四、公式法⑴条件：⑵公式：,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴⑵⑶⑷⑸例2、在实数范围内分解因式：（1）；（2）.⑶说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.考点类型四根的判别式b2-4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是()A.B.C.D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：★1、当k时，关于x的二次三项式是完全平方式。★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是.★★4、为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？考点类型五方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为。不解方程，判断关于x的方程根的情况。例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点类型六根与系数的关系⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。⑵主要内容：⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（） A.B.3C.6D.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知，，，求变式：若，，则的值为。一元二次方程的解法专题训练1、因式分解法①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；适用能因式分解的方程方法：一提，二套，三十字，四分组适用能因式分解的方程③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程2、开平方法适用无一次项的方程适用无一次项的方程3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号）②同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法将方程化为一般式写出a、b、c求出，若b2-4ac＜0，则原方程无实数解若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式求解若b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式求解。例1、利用因式分解法解下列方程(x－2)2＝(2x-3)2x2-2x+3=0例2、利用开平方法解下列方程4（x-3）2=25例3、利用配方法解下列方程7x=4x2+2例4、利用公式法解下列方程－3x2＋22x－24＝02x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=0练习：选用适当的方法解下列方程(x＋1)2－3(x＋1)＋2＝0x（x＋1）－5x＝0.x+5）2=162（2x－1）－x（1－2x）=05x2-8（3-x）2–72=03x(x+2)=5(x+2)x+2x+3=0x+6x－5=0－3x2＋22x－24＝0x－2x－1=02x+3x+1=0