北京市第四十三中学高二数学12月月考试题含解析

PAGE17-北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学12月月考试题（含解析）满分150分时间90分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，解不等式即可.【详解】由题意可得：，解得：或，所以函数的定义域是，故选：C2.直线的倾斜角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线方程可求斜率，从而可得倾斜角．【详解】设直线x-y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选B．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.圆心为且过原点的圆的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.考点：圆的一般方程.4.直线截圆所得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的方程直接求出圆心及半径，再求出圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离与半径及半弦长满足勾股定理，求得半弦长与弦长.【详解】由圆得该圆的圆心为，半径为，故圆心到直线的距离，故弦长，故选：D.【点睛】圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.5.双曲线的一个焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线方程求出，然后求解焦点坐标即可.【详解】由双曲线得，，故选：C.6.已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意及椭圆的简单性质易得，，结合离心率的概念即可得结果.【详解】∵椭圆的短轴长是焦距的2倍，∴，又∵，∴，可得，∴椭圆的离心率为，故选：D.7.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可变为x2y故其准线方程为y故选D.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p＝1，因看错方程形式马虎导致错误．8.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A.或 B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义及标准方程，列出关于的不等式组求解即可.【详解】有题意可知，解得或.故选：D.9.在△中，，，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】由题意可知，，根据正弦定理得.故选：A.10.设椭圆（）离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A.必在圆内 B.必在圆上C.必在圆外 D.以上三种情形都有可能【答案】A【解析】【分析】先利用离心率得到，，代入方程整理得，利用韦达定理，代入点，得到，即可判断.【详解】∵椭圆的离心率，∴，，∴，∵，∴，又该方程有两个实根分别为和，∴，，∴，∴点在圆的内部，故选：A.二．填空题（本大题共8小题，每题5分，共40分，把答案填在横线上）11.不等式的解集是_____________【答案】或【解析】分析】将一元二次不等式化为标准形式可解得结果.【详解】由得，所以或.故答案为：或12.直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程是______．【答案】.【解析】【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【详解】∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程．故答案为：．【点睛】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题．13.已知且，则x的值是__________【答案】【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算公式直接求解.【详解】由且，得，解得，故答案为：14.已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______．【答案】20【解析】【分析】根据椭圆的定义，直接计算结果.【详解】的周长，由椭圆方程可知，所以的周长.故答案为：2015.双曲线的顶点坐标______________，渐近线方程________________【答案】(1).，(2).【解析】【分析】求出双曲线中的，从而得到顶点坐标、渐近线方程.【详解】双曲线中的，，所以，，所以顶点坐标为，，渐近线方程为，即.故答案为：，；.16.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为________.【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：由已知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义，点A到抛物线焦点的距离等于到准线的距离．考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程.17.如图正方体的棱长为，以下结论正确的是____________①异面直线与所成的角为②直线与垂直③直线与平行④三棱锥的体积为【答案】①②④【解析】【分析】连接，，，则可得出为等边三角形，则与所成角等于与所成角，其大小为；证明，再由可得；证明平面，得出，从而证得；最后计算出.【详解】对于①，连接，，，则根据正方体的特点可知，且，则三角形为等边三角形，所以与所成角等于与所成角，其大小为，故①正确；对于②，如图所示，因为，又，所以，故②正确；对于③，由②可知，又，且，平面，平面，所以平面，所以，则，故③错误；对于④，连接，则三棱锥的体积为，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题考查空间异面直线间的夹角、空间直线间位置关系的判断等，解答本题的关键在于：（1）用定义法求解异面直线夹角时，注意要将线进行平移转化，找到异面直线夹角的平面角，然后通过解三角形求解夹角的大小或夹角余弦值的大小；（2）注意运用空间平行关系、垂直关系的判定定理与性质定理判断空间两条直线间的位置关系.18.已知曲线C的方程，有以下说法：①曲线C过原点②曲线C与x轴有两个交点③曲线C关于x轴，y轴对称④为曲线C上任意一点，则其中全部正确的是_______________【答案】②③④【解析】【分析】将原点做标代入可判断①错误；令，求解的根的个数判断②是否正确；针对和两类情况分类讨论，根据解析式及性质判断③是否正确；再将原式化为，判断是否成立.【详解】对于①，将原点代入可判断①错误；对于②，令得，，解得，则曲线与轴有两个交点，故②正确；对于③，当时，，当时，，因为曲线与曲线的图象都关于轴对称，则曲线C的图象关于轴对称；而当与时，解析式互为相反数，故其图象关于轴对称，所以③正确；对于④，由得，因为，则，故④正确.故答案为：②③④.三．解答题（本大题共4小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.已知圆截直线的弦长为．（Ⅰ）求圆的半径；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）过点作圆的切线，求切线的方程．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）5；（Ⅲ）或．【解析】【分析】（Ⅰ）将圆的方程化为标准形式可得结果；（Ⅱ）根据勾股定理列式可解得结果；（Ⅲ）分类讨论切线的斜率是否存在，利用待定系数法可求得结果.【详解】（Ⅰ）圆可化为所以圆C的半径为5．（Ⅱ）圆心到直线的距离为所以由勾股定理，得，即，又因为所以a=5．（Ⅲ）当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然它和圆相切；当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为此直线与圆C相切，所以，解得因此，切线为或．【点睛】易错点点睛：设直线方程时，要注意直线的斜率是否存在，这里容易漏掉切线的斜率不存在的情形.20.已知椭圆的焦点为和，椭圆上一点到两焦点的距离之和为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两点.当变化时，求面积的最大值（为坐标原点）【答案】（1）；（2）最大值【解析】【分析】（1）通过椭圆的定义即得结论；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，三角形的面积公式，计算即可得出结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为：，由题意知：，则，所以椭圆的标准方程为：；（2）联立，消去并整理得：，，解得：，由题意知：，设，由韦达定理得：，设直线与轴的交点为，所以的面积，则，当且仅当时，面积取得最大值.【点睛】关键点睛：本题是直线与圆锥曲线的综合题；联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，三角形的面积公式是解决本题的关键.21.如图，椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若经过点，且斜率为k直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）所以直线、斜率之和为定值2．【解析】【分析】（1）运用离心率公式和，，关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）把直线的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【详解】解：（1）由题意知，，结合，解得，椭圆的方程为；（2）由题设知，直线的斜率不为0，则直线的方程为，代入，得，由已知，设，，，则，，从而直线与的斜率之和：．所以直线、斜率之和为定值2．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.如图,四棱锥中,平面,,.,,,是的中点.(Ⅰ)证明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥.若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).(Ⅲ)不存在，见解析【解析】【分析】（I）通过证明，证得平面.（II）建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.（III）设出点的坐标，利用列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的点不存在.【详解】(Ⅰ)证明:因为平面,,所以平面.又因为平面,所以.在中,,是的中点,所以.又因为,所以平面.(Ⅱ)解:因为平面,所以,.