线代chap线性代数与解析几何

1§ 12§ 23§ 3第五章特征值与特征向量 2012年12月2 2/第五章特征值与特征向量特征值(eigenvalue和特征向量(eigenvector),作为工程计算中不可或缺的组成部分特征值和特征向量被广泛用,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 3/第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征第五章特征值与特征向量 2012年12月2 4/第五章特征值与特征向量(A

,α ,β

,γ

1,1(

Aα 1(

=−α,Aβ

=1 (Aγ

1 第五章特征值与特征向量 2012年12月2 5/第五章特征值与特征向量An阶矩阵,λ是一个数.如果存在非零列向量α(n×1矩阵)使得Aα=λA的一个特征值,αA的λ的特征向量,在上面的例子中-1和1A的两个特征值,αβ分别是对应于它们的特征向量;γ则是一个不属于A的任意一个特征值的第五章特征值与特征向量 2012年12月2 6/第五章特征值与特征向量..A

,α

̸=0,Aα=λα,(A−λE)α(λE−A)α0.αλ– ·· λ−a.

λ−a22·· =.. =.. ·· λ− ..第五章特征值与特征向量 2012年12月2 7/第五章特征值与特征向量λ−a ·· −a λ ·· .

=即

·· λ|λE−A|=Aaij)n×n,λnf(λ|λEA|0A的特征方程或特征多项式λEAA的特征矩阵第五章特征值与特征向量 2012年12月2 8/第五章特征值与特征向量征值,所以特征值又叫作特征根.,,提下,AA的特征方程|λE−A|λi,求出(λE−A)X0的非零解,就是对应于λi的全部特征向量.第五章特征值与特征向量 2012年12月2 9/第五章特征值与特征向量A−−741 5第五章特征值与特征向量 2012年12月2 10/第五章特征值与特征向量A−−741 5解Aλ+ |λE−A|

λ− λ−

=(λ−1)(λ+12)A11(二重第五章特征值与特征向量 2012年12月2 10/第五章特征值与特征向量λ=1(λE−A)X=0中得4x1−4x2 x1=0−7x1−5x2=00.0.1第五章特征值与特征向量 2012年12月2 11/第五章特征值与特征向量λ=1(λE−A)X=0中得

2x1−4x2x1−2x2−7x1−5x2−2x3 .4.2第五章特征值与特征向量 2012年12月2 12/第五章特征值与特征向量因此A1,-110 (k1̸= 1

42

(k2̸=0第五章特征值与特征向量 2012年12月2 13/第五章特征值与特征向量同计算行列式的值一样,借助于 和特征向量也很方便.以上例为例,我们可以在 formatratA=[−340;−110;751];[d,v]=0d01100v0000第五章特征值与特征向量

2012年12月2 14/其中v为特征值矩阵,d为对应特征值的特征向量矩阵(已单位化).由于某一矩阵的特征值是唯一确定的,而对应于特征值的特征向量是有无穷多个的,所以用 第五章特征值与特征向量

2012年12月2 15/平面上旋转变换Tθe1e2 A cosθ−sin sin cos?第五章特征值与特征向量 2012年12月2 16/第五章特征值与特征向量平面上旋转变换Tθe1e2 A cosθ−sin sin cos?解A|λE−A|

λ−cos sin

=λ2−2λcosθ+1= λ−cos第五章特征值与特征向量 2012年12月2 16/第五章特征值与特征向量θ̸kπ时cosθ̸=±1,∆=4cos2θ−4<0,方程在实数范围内无解.于是此矩阵要想在实数范围内存在特征值,θ只能kπ.此时,特征方程为|λE−A|=λ2±2λ+1=(λ±1)2=0θ=2kπ时,1(二重).λ=1(λE−A)X=0中, 0

+ 1

(k1k2第五章特征值与特征向量 2012年12月2 17/第五章特征值与特征向量θ=(2k+1)π时,1二重).λ=1代入齐次线性(λE−A)X=0中,求得其基础解系仍为 0

+ 1

(k3k4第五章特征值与特征向量 2012年12月2 18/第五章特征值与特征向量nnAA′有相同的特征值第五章特征值与特征向量 2012年12月2 19/第五章特征值与特征向量nnAA′有相同的特征值(λE−A)′=λE−A′,|λE−A||(λE−A)′||λE−A′|.AA′,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 19/第五章特征值与特征向量nnAA′有相同的特征值证明因为(λE−A)′=λE−A′,|λE−A|=|(λE−A)′|=|λE−A′|.AA′,nA=(aij)n×nnλ1λ2···λn,An个特征值之和等于A的迹λ1+λ2+···+λn=a11+a22+···+An个特征值之积等于A的行列式的值λ1λ2···λn=第五章特征值与特征向量

2012年12月2 19/证f(λ)=(λ−λ1)(λ−λ2)···(λa a ··a a ···1

f(λ)=|λE−A|

−a λ−a22···......................

–an2···λ−

(λ−a11)(λ−a22···(λ−ann)这一项中,f(λ)的最高项的系数为1n−1−(a11+a22+···+ann).|λE−A|λ=0|A|=(−1)n|A|.第五章特征值与特征向量 2012年12月2 20/第五章特征值与特征向量f(λ)=λn−(a11+a22+···+ann)λn−1+···+ (2)关系)λ1+λ2+···+λn=a11+a22+···+ λ1λ2···λn=第五章特征值与特征向量 2012年12月2 21/第五章特征值与特征向量λnA的一个特征值,αAλ的一个特征向量λ2A2的一个特征值,αA2λ2的第五章特征值与特征向量 2012年12月2 22/第五章特征值与特征向量λnA的一个特征值,αAλ的一个特征向量.λ2A2的一个特征值,αA2λ2的证明由条件知Aαλα,α̸0.A2α=A(Aα)=A(λα)=λ(Aα)=,此例题不难推广到一般的情形λnA的一个特征值,αAλ的一个特征向量k,λkAk的特征值,αAkλk的一个特征向量.第五章特征值与特征向量 2012年12月2 22/第五章特征值与特征向量更进一步地,f(xamxmam−1xm−1···a1xa0m项式Af(AamAmam−1Am−1···a1Aa0E.f(A)α=amAmα+am−1Am−1α+···+a1Aα+=amλmα+am−1λm−1α+···+a1λα+=f(λ)=amλmam−1λm−1···a1λa0f(A)的一个特征值,αf(Af(λ的一个特征向量特别地A是可逆矩阵时,λ̸=0,Aα=λαA−1Aα=A−1λα,即αλA−1α,A−1α=1α1A−1的特征值,α λλ第五章特征值与特征向量 2012年12月2 23/第五章特征值与特征向量λ1λ2···λtnA的两两不同的特征值,αi1αi2···λi的一些线性无关的特征向量(i=12···t).α11α12···α1r1α21,···αt1···αtrt也是线性无关的第五章特征值与特征向量 2012年12月2 24/第五章特征值与特征向量λ1λ2···λtnA的两两不同的特征值,αi1αi2···λi的一些线性无关的特征向量(i=12···t).α11α12···α1r1α21,···αt1···αtrt也是线性无关的t=k时成立,α11α12···α1r1α21···αk1···αkrk是线性无关的,t=k+1时结论同样成立.

a1j

+···

rk+1 ak+1,jαk+1,j

(3)j j

j=1 第五章特征值与特征向量 2012年12月2 24/第五章特征值与特征向量λk+1,

1

+···

ak+1,jλk+1

= (1.3)A左乘,

+···

k

=

a1j(λk+1−λ1)α1j+···

akj(λk+1λk)αkj0 j=1α11α12···α1r1α21···αk1···αkrk的,aij(λk+1−λi)= (i=1,2,···,k;j=1,2,···,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 25/第五章特征值与特征向量λ1λ2···λt是两两不同的特征值,aij= (i=1,2,···,k;j=1,2,···,(1.3)

rk+j

ak+1,jαk+1,j=αk1αk2···αkrkλk的一些线性无关的特征向量ak+1,j= (j=1,2,···,α11α12···α1r1α21···αt1···αtrt也是线性无关的第五章特征值与特征向量 2012年12月2 26/第五章特征值与特征向量第五章特征值与特征向量 2012年12月2 27/第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵及第五章特征值与特征向量 2012年12月2 28/第五章特征值与特征向量,. A − (A2

−110

A3

−1138

A4

−49 −514

,,,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 29/第五章特征值与特征向量, P − 1P−1AP

) ) −1

=这(样,A=PBP−1, Ak=(PBP−1)(PBP−1)···(PBP−1)=PBkP−1 0

.

) =

)0

1/3 2101− −2101+2·3100 2100− −2100+2· 第五章特征值与特征向量 2012年12月2 30/第五章特征值与特征向量ABn阶矩阵,如果存在P,B=P−1AP,我们就说AB,A∼,反身性:A∼A.PE,AE−1AE成立对称性:A∼BB∼A.A∼B,则存在可逆矩P,BP−1AP.QP−1,APBP−1Q−1AQ,B∼A成立.有了对称性质,AB相似第五章特征值与特征向量传递性:A∼B,B∼C,A∼C.A∼B,B∼C知,PQBP1AP,CQ−1BQ.这样存在矩阵PQ,C=Q−1(P−1AP)Q=(PQ)−1A(PQ),A∼C成立.第五章特征值与特征向量 2012年12月2 31/AB相似,P,B=P−1AP,(1)|A|=AB有相同的特征多项式和特征值tr(A)=tr(B)r(A)=f(x)是一个多项式,f(B)=P−1f(A)P;A′∼B′;A可逆,A∗∼第五章特征值与特征向量 2012年12月2 32/第五章特征值与特征向量AB相似,P,B=P−1AP,(1)|A|=AB有相同的特征多项式和特征值tr(A)=tr(B)r(A)=f(x)是一个多项式,f(B)=P−1f(A)P;A′∼B′;A可逆,A∗∼证明1)|B|=|P−1AP|=|P−1||A||P|=|A|.(2)|λEB||λE−P1AP|=|P−1(λE−A)P|=|P−1||λE−A||P|=|λE−A|,AB有相同的特征多项式.又因为特征值是特征多项式的根,于是第五章特征值与特征向量 2012年12月2 32/第五章特征值与特征向量2)1.5可知,tr(Atr(B).P是可逆矩阵,r(Br(P−1AP)≤r(A),Pr(Ar(PBP−1)≤r(Ar(B)成立f(x)=amxmam−1xm−1···a1xa0,f(B)=amBm+am−1Bm−1+···+a1B+=am(P−1AP)m+am−1(P−1AP)m−1+···+a1(P−1AP)+=amP−1AmP+am−1P−1Am−1P+···+a1P−1AP+=P−1(amAm+am−1Am−1+···+a1A+=BP1AP两边同时施加转置运算,B′=(P−1AP)′P′A′(P−1)′,A′∼B′成立.若A可逆,则B∗=(P−1AP)∗=|P−1AP|(P−1AP)−1=|A|P−1A−1P=P−1A∗P,A∗∼B∗成立第五章特征值与特征向量 2012年12月2 33/第五章特征值与特征向量(

−

,,a1a2···anΛ的主对角元素.nA与一个对角矩阵相似,A可对角化的充要条件是:A第五章特征值与特征向量 2012年12月2 34/第五章特征值与特征向量充分性:Anα1α2···αn,λ1,λ2,···,λn(λi不必各不相同于是有Aαi= (i=1,2,···,α1α2···αnP=(α1α2···αn).α1,α2,···,αn线性无关,知r(P)=n, 0,所以P可逆.AP=A(α1,α2,···,αn)=(λ1α1,λ2α2,···,λnαn)=Pdiag(α1,α2,···,P−1AP=diag(λ1,λ2,···,A与对角矩阵相似,A可对角化第五章特征值与特征向量 2012年12月2 35/第五章特征值与特征向量必要性:A可对角化,P,P−1AP=diag(λ1,λ2,···,AP=P(λ1,λ2···λn).Pα1α2···αn,A(λ1,λ2,···,λn)=(α1,α2,···,αn)diag(λ1,λ2,···,Aαi= (i=1,2,···,P可逆,α1α2···αn都不为零向量,且线性无关.由定义知α1α2···αnλ1λ2···λn的特征向量第五章特征值与特征向量 2012年12月2 36/第五章特征值与特征向量nA有n个不同的特征值,A可对角化第五章特征值与特征向量 2012年12月2 37/第五章特征值与特征向量nA有n个不同的特征值,A可对角化1.3知,Ann量且线性无关.A可对角化第五章特征值与特征向量 2012年12月2 37/第五章特征值与特征向量nA有n个不同的特征值,A可对角化证明1.3知,Ann量且线性无关.A可对角化nA特征多项式无重根,A可对角化第五章特征值与特征向量 2012年12月2 37/第五章特征值与特征向量nA有n个不同的特征值,A可对角化1.3知,Ann量且线性无关.A可对角化nA特征多项式无重根,A可对角化nn个根,n阶复系数AAn个不同的特征值.由上一定理可知,A可对角化.第五章特征值与特征向量 2012年12月2 37/第五章特征值与特征向量,反例很容易找到E=diag(11···1)就是一个现成的例子n重根,λ=1,En有了上一节特征值、特征向量的求法及上面的定理作保障,就可.如果向量组中向量的个数等于n,A可对角化;n个无关的特征向量作为列向量P,P就是一A的可逆矩阵,P−1AP=diag(a1a2···an).第五章特征值与特征向量 2012年12月2 38/第五章特征值与特征向量−341.1为例,A

1

50 (k1̸= 1

42

(k2̸=0).第五章特征值与特征向量第五章特征值与特征向量, 2012年12月2 39/AA能否对角化?在可对角化的情况下,P−1AP为对角矩阵的可逆矩P.122A212.221第五章特征值与特征向量 2012年12月2 40/第五章特征值与特征向量122A212.221A能否对角化?在可对角化的情况下,P−1AP为对角矩阵的可逆矩P.解A的特征方程为：|λE−A|=(A能否对角化?在可对角化的情况下,P−1AP为对角矩阵的可逆矩P.λ=5λ=1(λE−A)X=0中1 (k1̸= 1第五章特征值与特征向量 2012年12月2 40/第五章特征值与特征向量 k2

k30,,

(k2,k3̸=P

, ,1−1122101P−1AP=212110 −1/35

1−1 第五章特征值与特征向量 2012年12月2 41/第五章特征值与特征向量 A − −130.在复数范围内P−1AP第五章特征值与特征向量 2012年12月2 42/第五章特征值与特征向量 A −2−130.在复数范围内P−1AP解A的特征方程为：|λE−A|=λ(λ2+19)=0.A0,√19i,−√19i.√ 将λ=0和λ= 19i分别带入齐次线性方程组(λE−A)X中,0求得3 (k1̸ 4第五章特征值与特征向量 2012年12月2 42/第五章特征值与特征向量√19i2√2 19i3,√,

(k2̸=0).√ 19i−

19i√, −219i,3−√19i−

(k3̸=0)√ √ P

2219i+ 219i ,3 √19i− P−1AP=diag(0,19i,

第五章特征值与特征向量第五章特征值与特征向量 2012年12月2 43/§5.3实对称矩第五章特征值与特征向量 2012年12月2 44/第五章特征值与特征向量, 面的方程简化问题,而且在很多领域的定量分析模型的分第五章特征值与特征向量

2012年12月2 45/Rn中向量的内,.αβα·β=|α|·|β|cos⟨α,⟨αβαβα·βαβ.若在空间中建立了直角坐标系αβ(x1y1z1),(x2y2α·β=x1x2+y1y2+在平面的情形，αβ(x1y1),(x2y2).α·β=x1x2+第五章特征值与特征向量 2012年12月2 46/第五章特征值与特征向量αx1x2···xn),βy1y2···yn∈Rn,(α,β)=αβ′=x1(αβ)为αβ的内积

i

注意若统一用列向量Rn中的向量, α ,β 内积仍定义为(α,β)=xy+xy+···+xy ∑

xiy,但若用1 2

n i=1 的乘积来表示,(αβ第五章特征值与特征向量

2012年12月2 47/αα1α2βVk,内积满足下列运算规律(α,β)=(β,(kα,β)=k(α,(α1+α2,β)=(α1,β)+(α2,(αα)≥0,α=0(α,α)=α=(a1a2···an)∈Rn|α|=α,α)称为α的长度,|α| (α,α) a2+a2+···+a√ √ n第五章特征值与特征向量 2012年12月2 48/第五章特征值与特征向量|α|0α=0|α|=|kα|= k∈R,α∈αβ∈V|(α,β)|≤|α|·(4αβ∈V|α|+|β|≥|α+ 第五章特征值与特征向量 2012年12月2 49/第五章特征值与特征向量|α|0,α=0|α|=|kα|= k∈R,α∈αβ∈V|(α,β)|≤|α|·(4αβ∈V|α|+|β|≥|α+ 证明1)2)是明显的.3).αβ∈V.β=0时结论显然成立.β̸=0t为一个实数.α+tβ和它自身的内积(α+tβ,α+tβ)=(α,α)+2t(α,β)+t2(β,.第五章特征值与特征向量 2012年12月2 49/第五章特征值与特征向量(2(α,β))2−4(α,α)(β,β)≤(α,β)2≤(α,α)(β,|(αβ)|≤|α|·4)αβ∈V2|α+β|=(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,而(α,α)=|α|2,(β,β)=|β|2,(α,β)≤|α|·2|α+第五章特征值与特征向量第五章特征值与特征向量

|α2+2|α|·|β|+|=(|α|+| 2012年12月2 50/α̸=0时

||α|α|=|α||α|=1 β=1α是单位向量,αβ=1α称为α单位化.由内积和长度,我们可定义两个向量的 αβVαβcosθ=(α,|α|· 0≤θ因为我们已证明|(αβ)||α|·|β|,(α,−1≤|α|·|β|≤..第五章特征值与特征向量 2012年12月2 51/第五章特征值与特征向量2αβ∈V⟨αβ⟩2

παβ为. αβ∈Vα,β正交当且仅当(αβ第五章特征值与特征向量

2012年12月2 52/正交向量,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 53/第五章特征值与特征向量正交向量,证明设有实数k1k2···kmk1α1+k2α2+···+kmαm=成立,αi(i=12···m)k1(αi,α1)+k2(αi,α2)+···+ki(α1,αi)+···+km(αi,αm)=α1α2···αm两两正交,(αi,αj)=0,i̸=j,ki(αi,αi)=0,αi̸=0,ki=0(i=12m).α1α2···第五章特征值与特征向量 2012年12月2 53/第五章特征值与特征向量nRn中,ε1,ε2,···,εn为一组基.如果各基向量两两正ε1ε2···εn称为一组正交基ε1ε2···εnεi均为单位向量,ε1,ε2···εn称为标准正交基.{

(εi,εj)

i= i̸=jk就是一组标准正交基.比如,在 中,i,jk就是一组标准正交基.

Rn中ε1=(100···0),ε2=(010···0)···εn=(00···01)第五章特征值与特征向量

2012年12月2 54/α1α2···αnV=Rn的任一组标准正交基,α∈α=k1α1+k2α2+···+kmαn,证明:ki=(αi,α),i=12···证明用αi(i=12···n)α作内积,(αi,αj)=0(i̸=(αi,αi)=1,(αi,α)=(αi,k1α1+k2α2+···+=(αi,kαi)=ki(αi,=,,α=(α1,α)α1+(α2,α)α2+···+(αn,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 55/第五章特征值与特征向量α1α2···αnV的一组标准正交基，αβV(x1x2···xn)(y1y2···yn)(1)(α,β)=x1y1+x2y2+···+(2)|α|2=(α,α)=x2+x2+···+x n.α1α2···αnn维内积空间的一组基α1α2···αn等价的正交基β1β2···1)α1α2···αn正交化2)β1β2···βn单位化（或标准化,β1 β2 βn||

|β2|,···,

|βn第五章特征值与特征向量 2012年12月2 56/第五章特征值与特征向量,α1α2···αnnV的一组基, ==α2−(β1,α2)(β1,. = (β,αn(β,α ,αn–(β1,β1 (β2,β−···2 (βn−1,β第五章特征值与特征向量 2012年12月2 57/第五章特征值与特征向量,α1α2···αnnV的一组基, = =α2−(β1,α2)(β1,. =αn(β,α (β1,β(β,α (β2,β−··· ,αβ ,)β1β2···βn为两两正交的向量组即可.数学归纳法来证明这一点.n=2时(β1,β2)=(β1,α2

(β1,

β1)=(β1,α2)

(β1,β

第五章特征值与特征向量 2012年12月2 57/第五章特征值与特征向量n=k时,结论成立.n=k+1的情形.βk+1=αk+1

(βs,(βs,

β1β2···βk两两正交,i=12···k(βi,βk+1)=(βi,αk+1)−

(βs,(βs,

(βi,βs)=(βi,αk+1)−(βi,αk+1)βk+1β1β2···βk都正交,β1β2···βkβk+1两两正交n=k+1时结论成立.故由数学归纳法原理知,β1β2···βn为两两正交的β1β2···βnα1,α2,···αnnV的基,显然它是等价的,从而可以互相线性表出.3.2中的式子第五章特征值与特征向量 2012年12月2 58/第五章特征值与特征向量 (1,1, (3,3,), (4,0,0,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 59/第五章特征值与特征向量解4首先将其正交化.β1=α1=(1114β2=α

(β1,

β1=α2−β8=1(1,1,−1,β=α

(α3,β1)

β=α

(β1,

1—(β2,β2) 4 4β4=α4

β2

(α4,α3)(β1, (β2, (β3,α4

16β3=(1,−1,−1,第五章特征值与特征向量 第五章特征值与特征向量=(1,1,1,=(1,1,−1,== 2012年12月2 60/其次,β1β2β3β4η1η2η3

1(1,1,1,221(1,1,−1,2221(−1,1,−1,21η4 ,121A 1212

, , 它的列是两两正交的A′A=AA′=E,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 61/第五章特征值与特征向量nA

A′A=nA有下列性质A是可逆的,A−1=A−1,A′也是正交矩阵|A|=±1;第五章特征值与特征向量 2012年12月2 62/第五章特征值与特征向量An阶实方阵,Aα1α2···αn),A是正交矩阵的充分必要条件是列向量α1,α2,···,αn构成Rn的一组标准正交基.第五章特征值与特征向量 2012年12月2 63/第五章特征值与特征向量An阶实方阵,A=(α1α2···αn),A是正交矩阵的要条件α1α2···αnRn的一组标准正交基证明由于α′α1

α′

α′ ··

1α′111 α′ α′ ·· α′11.A′A.

(α1,α2,···,αn) ·· ·· ·· ·· α′ α′ ·· n nαi为列向量,αi′αj=(αiαj).{iA′A=E⇐⇒(αi,αj)=α′αji

i= i̸=Aα1α2···αnRn第五章特征值与特征向量 2012年12月2 63/第五章特征值与特征向量Aaij)nn阶实对称阵,λA的任意一个特征值αx1x2···xn)′λ的任一特征向量,Aαλα.两边取Aα=λα,但A是实矩阵,AA,Aα=λα,用α′左乘上式α′Aα=λα′α因A=A′,α′Aα和α′α是数,于是又有 =(α′Aα)′=α′Aα==λα′α=λ(α′α)′=λα′α=λα′α,(λ−λ)α′α=α是非零向量,α′α=i

̸0.λλ.λ是一个实数第五章特征值与特征向量 2012年12月2 64/第五章特征值与特征向量由上面的定理,A的特征值均为实数,所以齐次线性方(A−λiE)X0为实系数方程组,|A−λiE|0,齐次线性(A−λiE)X0必有实的基础解系,从而对应的特征向量可,第五章特征值与特征向量 2012年12月2 65/第五章特征值与特征向量第五章特征值与特征向量 2012年12月2 66/第五章特征值与特征向量证明α1α2Aλ1λ2实)向量,即Aαi= (αi̸=0 i=1,

(Aα1,α2)=(λ1α1,λ2)=λ1(α1,(Aα1,α2)=(Aα1)Tα2αATαT=2αATα2=(α1,Aα =(α1,λ2α2)=λ2(α1,于是,λ1(α1λ2)=λ2(α1α2).λ1λ2是两个不同的特征值,(α1α2)=0,α1α2是正交的第五章特征值与特征向量 2012年12月2 66/第五章特征值与特征向量An阶实对称矩阵TT−1AT第五章特征值与特征向量 2012年12月2 67/第五章特征值与特征向量证明An作数学归纳.n=1时,结论显然成立.n−1阶的实对称矩阵上述结