立体几何训练题(精)

1/161/16第#页，总16页・.・二面角B-PC-A的平面角的正切值为3点评： 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析： （1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1〃DF，由此能证明BC1〃平面A1CD.（2） 利用线面垂直的判定定理证明A1C丄平面AB1C1，即可证明A1C±AB1；（3） 证明NBDE为二面角E-CD-B的平面角，点E为BB］的中点，确定DE丄AQ，再求三棱锥C-AQE的体积.解答： （1）证明：连结AC1，交A1C于点F,则F为AR中点，又D是AB中点，连结DF,^QBC/DF,因为DFu平面ACD，BC芒平面ACD，所以BC/平面ACD.-（3分）（2） 证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为AAjAC，所以AC±AC-（4分）因为CA丄CB,B£〃BC,所以BC丄平面ACCA,所以BC±AC-（6分）因为BRCACjq,所以AC丄平面ABC所以A1C±AB1-（8分）（3） 在直三棱柱ABC-ABC中，AA］丄CD,因为AC=CB,D为AB的中点，所以CD丄AB,CD丄平面ABBA.所以CD丄DE,CD丄DB,所以ZBDE为二面角E-CD-B的平面角.在RtADEB中,tan/BDE二由AA=AC=CB=2,CA±CB,1所以AB=DB^/2.所以挡为，得BE=1.所以点E为BB的中点.•••（11分）DB2 1又因为CD或，二振，既冷，AE=3,故二A]E‘，故有DE±AD所以VC-A1DE=|X$JjDeXM二号工+乂协乂梔X梔二「••（14分）・点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C-ADE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题.20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题.专题： 计算题；证明题；压轴题.分析：（1）连BD,设AC交于BD于0,由题意知S0丄平面ABCD.以0为坐标原点，,反，莅分别为_x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系0-xyz,设底面边长为a,求出高SO,从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量反与旬，计算它们的数量积，从而证明出0CXSD,则AC丄SD；（2） 根据题意先求出平面PAC的一个法向量瓦和平面DAC的一个法向量苗，设所求二面角为9,贝IJ海"里 从而求出二面角的大小；|0S||ES|2（3） 在棱SC上存在一点E使BE〃平面PAC,根据（II）知虱是平面PAC的一个法向量，设反二tEl求出瓦，根据布•丘二。可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，况丄DS,而BE不在平面PAC内，故BE〃平面PAC

解答：证明：（1）连BD,设AC交于BD于0,由题意知S0丄平面ABCD.以。为坐标原点，QB,QC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系0-xyz如图.设底面边长为a,则高S0=^y于是s（qs專）?D（-#0?0）,c（s冬「o），oc=（s号*o）,SD=（-豈0?-專）'反质二。故OC±SD从而AC±SD（2）由题设知，平面PAC的一个法向量而二啓%S手成，平面DAC的一个法向量而二（0,0,誓靛.设所求二面角为0,则cose所求二面角的大小为30°.（3）在棱SC上存在一点E使BE〃平面PAC.由（II）知DS是平面PAC的一个法向量,啓％0f专私啓％0f专私岳（S-專专a）设&二応，且苗二则BE=BC+CE=BC+tCS=(一琴』岑己(1-t),at)t. 1而BE•DS=0<^t=TJ即当SE：EC=2：1时,BE丄