第三章随机分析

第三章随机分析2023/3/291第一页，共三十三页，2022年，8月28日1、均方极限的定义证明:由柯西—许瓦兹不等式：3.1均方极限第二页，共三十三页，2022年，8月28日3.1均方极限第三页，共三十三页，2022年，8月28日

2、均方极限的性质（1）均方极限的唯一性若则（2）均方极限的运算性质为常数，则若3.1均方极限第四页，共三十三页，2022年，8月28日3、均方收敛判定准则(1)柯西准则

设均方收敛的充要条件是：(2)均方收敛准则设则均方收敛的充要条件是：为常数。3.1均方极限第五页，共三十三页，2022年，8月28日例1、设是相互独立的随机变量序列,其分布律为讨论均方连续性.解:由于故不均方收敛.上述随机变量序列的均方极限及其性质,可以推广到二阶矩过程上.3.1均方极限第六页，共三十三页，2022年，8月28日设是二阶矩过程,若则称当时,均方收敛于X,记作3.1均方极限第七页，共三十三页，2022年，8月28日1、均方连续的定义设是二阶矩过程,若则称在均方连续.若则称在T上均方连续,或称是均方连续的.在t处均方连续,2、均方连续准则设是二阶矩过程,是其相关函数,则在处均方连续的充要条件是在连续.3.2均方连续第八页，共三十三页，2022年，8月28日证明：充分性，设连续则在由连续性，得即必要性，由均方极限的性质有3.2均方连续第九页，共三十三页，2022年，8月28日即由均方连续准则可知：若二阶矩过程的相关函数对任意的在(t,t)处连续,则它在上连续.例2、设其中W(t)为维钠过X(t)的均方连续性.过程,试讨论X(t)解：3.2均方连续第十页，共三十三页，2022年，8月28日显然均方连续函数.是连续函数,所以3.2均方连续第十一页，共三十三页，2022年，8月28日1、均方导数的定义设是二阶矩过程,如果均方极限存在，则称此极限为在点的均方导数,记作称点均方可导。在若对于均方可导，则称是均方可导的.此时3.3均方导数第十二页，共三十三页，2022年，8月28日的均方导数是一个新的二阶矩过程,记作称为导数过程.类似地可定义二阶以至高阶导数过程.2、均方可导准则(1)广义二阶导数的定义设二元函数若下列极限存在,则称此极限为函数广义二阶导数.点的3.3均方导数第十三页，共三十三页，2022年，8月28日(2)均方可导准则

二阶矩过程在的充要条件为其可导.广义二阶广义二阶导数存在的充分条件为关于s,t的二阶混合的二阶广义导数等于它得二阶混合偏导数.偏导数连续,且证明:均方极限存在的充要条件为3.3均方导数第十四页，共三十三页，2022年，8月28日存在,而上式可表示为正是在处的二阶广义导数.由均方可导准则可知:二阶矩过程对任意广义二阶可导.均方可导的条件为其相关函数3.3均方导数第十五页，共三十三页，2022年，8月28日3、均方导数的性质(1)设在t处均方可导,则必在该处连续,其逆不真.

(2)若则(3)(4)则(5)若为常随机变量)上述性质利用均方导数与均方极限的定义可直接证得.

4、均方导数过程与原过程数字特征间的关系3.3均方导数第十六页，共三十三页，2022年，8月28日若二阶矩过程相关函数对任意的在(t,t)处广义二阶可导,则在都存在,且(1)(2)(3)(4)其中3.3均方导数第十七页，共三十三页，2022年，8月28日例3、设的均值函数为相关函数为求其导数过程的均值函数与相关函数.解:3.3均方导数第十八页，共三十三页，2022年，8月28日1、均方积分的定义设二阶矩过程为定义在确定性函数,将分成n个部分区间,一组分点是令作和式记若对于任意的及任一组分点,均方极限存在,且与对区间的分法与的取法无关,则称3.4均方积分第十九页，共三十三页，2022年，8月28日在上黎曼均方可积,均方极限值为在区间上的黎曼均方积分,记作称为在上的均方积分过程。类似地广义均方积分为:若f(t,u)仅为t的函数或为常数,则Y(u)为一二阶矩随机变量.3.4均方积分第二十页，共三十三页，2022年，8月28日2、均方可积准则证明:由均方可积的定义知,均方可积,即均方极限存在,由均方收敛准则知设是二阶矩过程,是函数,则均方分存在的普通可积的充分条件是下列二重积3.4均方积分第二十一页，共三十三页，2022年，8月28日上式即为二重积分若上述二重积分存在,则保证均方可积,充分性得证.例4、设{N(t),t>0}是强度为其均方可积性。的波松过程，讨论3.4均方积分第二十二页，共三十三页，2022年，8月28日解:uu0s>ts<tts第一项积分显然存在,第二项积分为3、均方积分的性质(1)若是均方连续的二阶矩过程,则在是均方可积的;3.4均方积分第二十三页，共三十三页，2022年，8月28日(3)若二阶矩过程在都均方可积,则对于任意常数在均方可积,且(2)若二阶矩过程在则其均方积分在概率1下是唯一的.是均方可积的,在(4)若二阶矩过程上均方可积,在也均方可积,且3.4均方积分第二十四页，共三十三页，2022年，8月28日

4、积分过程与原过程数字特征间的关系设存在,则积分过程数字特征为:(1)均值函数(2)相关函数(3)协方差相关函数3.4均方积分第二十五页，共三十三页，2022年，8月28日5、均方不定积分若二阶矩过程上均方连续,令在则称为在上的不定积分.设二阶矩过程在连续,则其不定积分上均方可导,且3.4均方积分第二十六页，共三十三页，2022年，8月28日类似于牛莱公式有:例5、设是参数为的维纳过程,求下列过程均值函数与相关函数.

解:导数过程设二阶矩过程均方可导,在连续,则3.4均方积分第二十七页，共三十三页，2022年，8月28日当同理,当3.4均方积分第二十八页，共三十三页，2022年，8月28日是具有n阶均方导数的随机过程,为n阶线性随机微分方程,其中是复函数.1、一阶线性随机微分方程的解设普通复函数,均方连续的二阶矩过程,则一阶线性随机微分方程3.5均方随机微分方程第二十九页，共三十三页，2022年，8月28日的解为2、一阶线性随机微分方程解的数学期望函数对(1)两端取数学期望得解微分方程(2),其解为方程(1)的解的均值函数.3、一阶线性随机微分方程解的相关函数并取数学期望得为求,将(1)两端乘以3.5均方随机微分方程第三十页，共三十三页，2022年，8月28日即(3)式中未知,为此将(1)两端取共轭并乘以期望,得并取数学3.5均方随机微分方程第三十一页，共三十三页，2022年，8月28日即当