第一 矢量分析与场论

1.1矢量及其代数运算1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。通常，矢量可以表示成

其中，

是矢量的大小;

代表矢量的方向，其大小等于1。一个大小为零的矢量称为空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）。在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定从原点指向点P的矢量称为位置矢量(PositionVector)当前1页，总共31页。1.1.2矢量的代数运算1、矢量的加法和减法矢量相加遵循平行四边形法则，矢量加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量当前2页，总共31页。2、矢量的乘积（标量积和矢量积）1）标量积任意两个矢量

与

的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：任意两矢量的标量积标量积服从交换律和分配律，即

当前3页，总共31页。

2）矢量积任意两个矢量与的矢量积（VectorProduct）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量

与

组成的平面右手螺旋矢量积服从分配律但不满足交换率，即

当前4页，总共31页。1.2圆柱坐标系和球坐标系1.2.1圆柱坐标系图2.2圆柱坐标系三个相互垂直的坐标面图2.1圆柱坐标系一点的投影(圆柱面)(平面)当前5页，总共31页。单位矢量的变换当前6页，总共31页。解：对点P的矢量，变换后为当前7页，总共31页。1.2.2球坐标系(球面)(圆锥面)(平面)当前8页，总共31页。单位矢量的变换当前9页，总共31页。当前10页，总共31页。当前11页，总共31页。单位矢量的变换矢量的变换当前12页，总共31页。1.3矢量场场：一种量的空间分布如果空间中的每一点，都对应着某个物理量的特定值，则称此空间中建立起这个物理量的场若该物理量为矢性函数时，称之为矢量场。基本要素：矢量线矢量场的通量和散度矢量场的环量和旋度当前13页，总共31页。1.3.1矢量场的矢量线定义：矢量线（vectorline）是这样一些曲线，在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。像静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线的例子。矢量线图当前14页，总共31页。1.3.2矢量场的通量及散度在矢量场中取一个面元及与该面元垂直的单位矢量（外法向矢量，如图所示），则面元矢量表示为：与面元的标量积称为矢量场穿过的通量记作:1、矢量场的通量(Flux)当前15页，总共31页。2、矢量场的散度1）散度的定义设有矢量场，在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面，设所限定的体积为ΔV，当体积ΔV以任意方式缩向P点时，取下列极限:如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度（divergence），记作:当前16页，总共31页。

2）哈米尔顿（Hamilton）算子当前17页，总共31页。

3）高斯散度定理（DivergenceTheorem）散度定理建立了矢量场的散度体积分与它的法向分量面积分的关系，它说明一个连续可微矢量场对封闭表面的外向通量等于遍及该表面所包围区域的散度体积分。散度定理是很强有力的，它广泛地应用于电磁场理论中将一个封闭面积分变换成等价的体积分，或者反之亦然。当前18页，总共31页。1.3.3矢量场的环量及旋度1、环量的定义设有矢量场，为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场

环绕闭合路径的线

积分为该矢量的环量，记作2、矢量场的旋度

1）旋度的定义设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元，其周界为，它的正向与面元的法向矢量成右手螺旋关系。当曲面在P点处保持以为法矢不变的条件下，以任意方式缩向P点，取极限称固定矢量为矢量的旋度记作：当前19页，总共31页。矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为

为方便起见，也引入算子，则旋度在直角坐标系中为：

旋度的一个重要性质就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即当前20页，总共31页。2)斯托克斯定理（StokesTheorem）斯托克斯定理说明了矢量场的旋度法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。散度定理是很强有力的，它广泛地应用于电磁场理论中将一个封闭线积分变换成等价的面积分，或者反之亦然。当前21页，总共31页。1.4标量场（scalarfield）定义：空间某一个区域定义一个标量函数，其值随空间坐标的变化而变化，有时候还随时间而变化，则称该区域存在一个标量场。基本要素：等值面方向导数梯度当前22页，总共31页。1.4.1标量场的等值面标量场中量值相等的点构成的面通常称为等值面。当前23页，总共31页。1.4.2方向导数1.方向导数的定义考虑标量场中的两个等值面:定义标量函数u=u(x,y,z)沿给定方向的变化率为:若该极限存在,就称它为标量场在P0点沿方向的方向性导数标量场u=u(x,y,z)在点的梯度是一个矢量，它的大小为最大方向性导数，其方向为最大方向性导数所在的方向梯度的定义其中是等值面的法线方向，并且以等值面增加的方向为正当前24页，总共31页。另外，还经常用到标量拉普拉斯算子(LaplaceOperator)，即

▽2=▽·▽在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为当前25页，总共31页。梯度的一个重要性质就是任意标量梯度的旋度恒等于零，即梯无旋当前26页，总共31页。3.梯度的积分

设标量场u，根据梯度的性质：标量场的梯度F是一个无旋场，则由斯托克斯定理知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零，即当前27页，总共31页。1.5亥姆霍兹定理(Helmholtztheorem)是对矢量场共同性质的总结标量场：方向导数梯度矢量场：通量散度环量旋度发散源的分布状况旋涡源的分布状况当前28页，总共31页。1.无散无旋场2.有散无旋场3.无散有旋场4.有散有旋场根据场量有无散度和旋度，可以对场进行唯一的分类。当前29页，总共31页。本章小结主要内容及关键公式：见教材要掌握的重点：1.坐标系下的矢量运算（加、减、点乘、叉乘）2.梯度、散度、旋度的物理意义及其计算方法3.理解场的概念与分类。当前30页，总共31页。1、球面S上任意点的位置矢量为

试计算：2、已知一个二维的速度矢量场