第三章 多元正态分布

第三章多元正态分布第一页，共二十页，2022年，8月28日1、离散型随机变量的概率分布若随机变量X在有限或可列个值上取值，记且则称X为离散型随机变量，并称为离散型随机变量X的概率分布。它具有两个性质：2、连续型随机变量的概率分布对于随机变量X的分布函数，若存在一个非负函数f（x），使得对一切实数x有：则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的分布密度函数。它具有两个性质：第二页，共二十页，2022年，8月28日二、随机变量的数字特征（一）离散型随机变量的数字特征若X为离散型随机变量，其概率分布为则X的数学期望（或称均值）和方差分别定义为：（二）连续型随机变量的数字特征若X为连续型随机变量，其密度函数为f（x），则X的数学期望（或称均值）和方差分别定义为：第三页，共二十页，2022年，8月28日数学期望有如下的数学性质：1.设C是常数，则E（C）=C2.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）3.设X、Y是任意两个随机变量，则E（X+Y）=E（X）+E（Y）4.设X、Y是两个相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）方差有如下数学性质：1.设C是常数，则D（C）=02.设X是随机变量，C是常数，则D（CX）=C2D（X）3、设X、Y是两个相互独立的随机变量，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）三、一些重要的一元分布1.正态分布连续型随机变量X的概率密度函数为：则称X服从正态分布。第四页，共二十页，2022年，8月28日2.卡方分布设X~N（0，1），为抽自总体的一个样本，其平方和服从自由度为n的分布，记为：3.t分布设x~N（0，1），且x与y相互独立，则随机变量的分布称为t分布。记为4.F分布设随机变量且x与y相互独立，则随机变量服从自由度为（n，m）的F分布，记为第五页，共二十页，2022年，8月28日一、随机向量及概率分布（一）随机向量将p个随机变量的整体称为p维随机向量，记为：第二节多元统计分析中的基本概念在多元统计分析中，仍将所研究对象的全体称为总体。如果构成总体中的个体是由p个需要观测指标的个体，称这样的总体为p维总体，或p元总体。由于从p维总体中随机抽到一个个体，其p个指标观测值是不能事先精确知道，它依赖于被抽到的个体，因此，p维总体可用p维随机向量来表示，这里的维或元表示共有几个分量。例如，要研究某类企业的三项经济效益指标，则所有这类企业的三项经济效益指标就构成了一个三元总体。第六页，共二十页，2022年，8月28日对随机向量有连续型和离散型两类。（二）概率分布设是维随机向量，它的多元分布函数定义为：记为其中：1、离散型随机向量的概率分布定义：若是p维随机向量，若存在有限或可列个p维随机向量记且则称X为离散型随机向量，并称为离散型随机变量X的概率分布。它具有两个性质：第七页，共二十页，2022年，8月28日2、连续型随机向量的概率分布定义：设若存在一个非负函数使得对一切有：则称X为连续型随机向量，称为分布密度函数。它具有两个性质：二、随机向量的数字特征设若存在且有限，则称为X的均值向量或数学期望均值向量有以下性质：1.E（AX）=AE（X）2.E（AXB）=AE（X）B3.E（AX+BY）=AE（X）+BE（Y）其中：X、Y为随机变量，A、B为适合运算的常数矩阵。1.随机向量的数学期望第八页，共二十页，2022年，8月28日设称为X的方差阵或协差阵.2.随机向量的协方差矩阵3.随机向量X和Y的协差阵当X=Y时，即D(X)第九页，共二十页，2022年，8月28日4.随机向量的相关系数矩阵若的协差阵存在，且每个分量的方差都大于0，则随机向量的相关阵为5.协方差阵和相关系数矩阵的关系设标准离差阵为则：协差阵有如下数学性质：即X的协差阵为非负定阵。对于常数向量a，有D（X+a）=D（X）设A为常数矩阵，则其中，a，A，B为大小适合运算的常数向量和矩阵。第十页，共二十页，2022年，8月28日第三节多元正态分布的定义及基本性质一、多元正态分布的定义定义1：若p维随机向量的密度函数为：其中：是p维均值向量，是p阶正定阵，则称X服从p元正态分布，记为：当p等于1时，即为一元正态分布。当时，也有正态分布的定义。二、多元正态变量的基本性质1、若是对角阵，则相互独立。第十一页，共二十页，2022年，8月28日2、A为s×p阶常数阵，d为s维常数向量，则：即正态随机向量的线性函数还是正态的。3、,将做如下剖析：则多元分析中的许多方法，大都假定数据来自多元正态总体。但要判断已有的一批数据是否来自多元正态总体，是很困难的。可是反过来要肯定数据不是来自多元正态总体，比较容易。即如果则它的每个分量必服从一元正态分布，因此把每个分量的n个样品值作成直方图，如果断定不是正态分布，就可以断定随机向量不服从正态分布。第十二页，共二十页，2022年，8月28日一、多元样本的概念第四节多元正态分布的参数估计多元分析研究的总体是多元总体，从多元总体中随机抽取n个个体：若相互独立，且与总体同分布，则称为该总体的一个随机样本。每个称为一个样品，为第a个样品对第j个指标的观测值，显然每个样品都是一个随机向量，将n个样品对p个指标都进行观测，得到如下一个随机矩阵（观测矩阵、样本资料阵）：值得注意的是：1、多元样本中的每个样品，对p个指标的观测值往往是有相关关系的，但不同样品之间的观测值一定是相互独立的。2、多元分析所处理的多元样本观测数据一般都属于横截面数据，即在同一时间不同空间上的数据。第十三页，共二十页，2022年，8月28日二、多元样本的数字特征定义：设为来自p元总体的样本，其中：则：样本均值向量定义为：因为：第十四页，共二十页，2022年，8月28日样本离差阵的定义为：因为：第十五页，共二十页，2022年，8月28日样本协差阵定义为：样本相关阵定义为：其中：三、的最大似然估计及基本性质设来自于正态总体的样本（样本容量为n），每个样品为：样本资料阵为：第十六页，共二十页，2022年，8月28日则用极大似然估计法可求出的估计量：的估计量同样具有以下的优良性质：

第五节

的抽样分布

一、样本均值向量

的分布

（一）正态总体设是从总体中抽到的一个样本，则样本均值的分布服从正态分布，即第十七页，共二十页，2022年，8月28日（二）非正态总体中心极限定理：

是来自总体的一个样本，该总体有均值和有限协方差阵则当样本容量n很大且n相对于p也很大时，样本平均数的分布近似于正态分布，二、样本离差阵

的分布

Wishart分布定义:设分别来自于协方差阵相等的p维正态总体则维随机矩阵的分布遵从非中心Wishart分布，记为其中时称为中心Wishart分布，记为第十八页，共二十页，2022年，8月28日Wishart分布的基本性质：1．设