第三章恒定电场

第三章恒定电场第一页，共四十三页，2022年，8月28日基本物理量J欧姆定律J的散度E

的旋度基本方程电位边界条件边值问题一般解法特殊解（静电比拟）电导与接地电阻恒定电场的知识结构框图第二页，共四十三页，2022年，8月28日3.1.1恒定电场3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场1)与静电场的不同恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中各处电流密度的分布是不随时间而改变的。2)横定电场产生的原理电解溶液中存在着一种局外电场，将正电荷从负极板推向正极板。两极板间还存在库仑电场，是有两极板上的电荷激发的。当局外电场大于库仑电场，局外电场将从负极板推移正电荷至正极板。若局外电场等于库仑电场，则保持平衡。图3-1a蓄电池内的电场第三页，共四十三页，2022年，8月28日图3-1蓄电池内的电场导电媒质中的恒定电场1.局外电场强度2.库仑电场3.恒定电流场：是恒定电场作用在导电媒质中所引起的电荷流动的物理过程。4.电源的电动势(3-1)（3-2）第四页，共四十三页，2022年，8月28日1.体电流密度3.2.2恒定电场的基本物理量——电流密度电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。电流 3.2.1电流强度－概念回顾I是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。电荷在某一体积内流动所形成的电流。3.2导电媒质中的电流第五页，共四十三页，2022年，8月28日

•

同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；•

交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用电流线密度表示。•

媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流线密度表示,如图示；工程意义：2.面电流密度电荷在一个几何曲面上流动所形成的电流。电流第六页，共四十三页，2022年，8月28日J与E之关系电流管压降取一电流管电阻定义恒定电流场与恒定电场相互依存。电流密度与电场E方向一致。电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即U=RI3.2.3欧姆定律的微分形式第七页，共四十三页，2022年，8月28日导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可以证明其功率的体密度为（W/m）3

——焦耳定律的微分形式电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即（W）——焦耳定律的积分形式3.3电源电势要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。恒定电流的形成3.2.4焦尔定律的微分形式第八页，共四十三页，2022年，8月28日圆柱形电容器内导体的半径为R1，外导体的半径为R2，其间电介质并非理想的绝缘介质，其电容率为ε，电导率为γ，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0。求单位长度上流过介质的电流及功率消耗。例3.1解：设内导体上单位长度的电荷为τ介质内电流密度介质单位长度的电流介质单位长度消耗的功率第九页，共四十三页，2022年，8月28日在恒定电场中散度定理电流连续性原理：恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。电荷守恒定律•恒定电场是无源无旋场。2.E的旋度恒定电场是无旋场。斯托克斯定理3.恒定电场（电源外）的基本方程1.J的散度3.3恒定电场的积分形式定理取积分路径不经过电源第十页，共四十三页，2022年，8月28日3.4分界面的衔接条件上式说明分界面上电场强度的切向分量是连续的，电流密度法向分量是连续的折射定律电流线的折射第十一页，共四十三页，2022年，8月28日a)两种媒质电导率相差很大由折射定理得，则它表明，只要，电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。b)具有漏电流的两非理想介质交界面同时考虑介质的导电性和介质特性上式说明，媒质分界面上一般存在自由电荷，该电荷是建立恒定电流场过程中积累在分界面处的。第十二页，共四十三页，2022年，8月28日c）媒质1是导体，媒质2是理想介质情况。表明1导体表面是一条电流线。表明2导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的）面电荷分布。表明3电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。若（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。导体周围介质中的电场载流导体表面的电场第十三页，共四十三页，2022年，8月28日+τ同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两种非理想电介质，介质分界面的半径为R2，它们的电容率分别为ε1和ε2，电导率分别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。设内外导体间加电压U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷密度。例3-2解：设介质内半径为R的单位长度的柱面上，流过的电流为I0J1第十四页，共四十三页，2022年，8月28日分界面衔接条件很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。无旋无源的场又称之为调和场。拉普拉斯方程得常数由基本方程出发3.5恒定电场的边值问题恒定电场中是否存在泊松方程？要考虑局外电场存在的情况。第十五页，共四十三页，2022年，8月28日图3-8例3-3图例3-3

厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位如图3-8所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm，R2＝60mm，求电极之间的电阻。解通过电位函数满足拉普拉斯方程来求解。若选用圆柱坐标系，可以看出仅与坐标有关，而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普拉斯方程不含对r、z的偏导数项，简化为：由边界条件时,时，可确定出待定常数为:直接积分得:第十六页，共四十三页，2022年，8月28日通过薄钢片截面的电流:电流密度为:所以得到电位函数:电场强度为:式中为方向单位矢量。第十七页，共四十三页，2022年，8月28日因此电极之间的电阻:最后，代入已知数据求得数字解答:课后作业：P93：3-103-11

第十八页，共四十三页，2022年，8月28日3.6导电媒质中恒定电场与静电场的比拟3.6.1静电比拟

实例：一面积为S的平板电容器，如果两板间电压为U，就能够求得其中的电场强度E，电位函数，电位移矢量D以及极板电荷q的表达式。图3-9平板电容器电介质中的电场第十九页，共四十三页，2022年，8月28日

若设想电容器的极板为良导体，而将上述电容器中的电介质，换以电导率γ很小的导电媒质，此时电流密度线可视为与板面垂直，在两极板间仍然施以电场U，则可求得极板间恒定电场的场量E、、J与I。图3-9平板电容器电介质中的电场第二十页，共四十三页，2022年，8月28日3.6导电媒质中恒定电场与静电场的比拟3.6.2静电与恒定电场的对应关系表2两种场对应物理量表1两种场所满足的基本方程和重要关系式

导电媒质中恒定电场（电源外）静电场

两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。静电场导电媒质中恒定电场（电源外）EEDJIq第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日•

两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;•

相应电极的电压相同;3.6.2静电比拟的条件•

若两种场中媒质分片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条件时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相似关系仍成立。静电场便于计算——用静电比拟方法计算恒定电场若为土壤为空气则。3.6.3静电比拟的应用静电场第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日上两式中，S为围绕任一输电线所作的任意闭合高斯曲面(圆柱侧面)，l为两线间任意积分路径。图3-12两平行输电线间的漏电导(3-50)(3-49)又两平行输电线间电容C=q/U，故亦有运用比拟法求两导体间的漏电导（或电阻）

图3-12为两平行输电线。求其间漏电导时，可设线间电压为U，线间单位长度的漏电流为I，其漏电导为第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日由于两场相似，则有

(3-51)(3-52)故两平行输电线间的漏电导为

式（3-51）具有普遍意义，它可用来求解导体的电阻以及接地体的接地电阻。另外，在场的实际测量中由于静电场的测量比较困难，而恒定电场的测量则较为容易，因而亦常常运用其相似性，以恒定场来模拟静电场。第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日

例求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2，长度为,中间媒质的电导率为，介电常数为。解法一

直接用电流场的计算方法设电导绝缘电阻解法二

静电比拟法由静电场解得则根据关系式得：同轴电缆电导绝缘电阻同轴电缆横截面第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日当需要考虑绝缘介质的漏电时，这一电容器可用等值电路表示，如图3-13所示。从而得到单位长度上的绝缘电阻利用式（3-51）得：解

由于圆柱形电容器单位长度上的电容为例3-4用静电比拟法重新计算例3-1圆柱形电容器的绝缘电阻。图3-13例3-4图第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日§3.7接地电阻的计算

接地电阻的计算方法——理论基础是镜像法，考虑大地的影响，采用静电比拟公式进行计算。“接地”的概念——电气设备和地之间的导体连接。接地装置由连接导线和埋入地中的接地体（或称接地电极）组成。通常，接地电阻值愈小愈好。第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日一.接地电阻１.安全接地与工作接地的概念和区别

安全接地：为了保护人身及设备安全的接地措施，又称保护接地。工作接地：为了保证系统的正常运行而采取的接地措施。2.接地电阻的组成第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日一.接地电阻接地体电阻土壤电阻土壤接触电阻第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日一.接地电阻１.安全接地与工作接地的概念和区别

安全接地：为了保护人身及设备安全的接地措施，又称保护接地。工作接地：为了保证系统的正常运行而采取的接地措施。2.接地电阻的组成

接地电阻接地器电阻接地器与土壤之间的接触电阻土壤电阻（接地电阻以此电阻为主）第三十页，共四十三页，2022年，8月28日1.深埋球形接地器

解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似。二.接地电阻计算

深埋球形接地器解法一：

直接用电流场的计算方法解法二：

直接采用静电比拟法IE第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日2.直立管形接地器解：考虑地面的影响，可用镜像法求解。实际电导：即：

由静电比拟法得

直立管形接地器静电场的求解公式

得孤立导体的电容

第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日实际电导：

接地器接地电阻：

3.浅埋半球形接地器解：考虑地面的影响用镜像法处理。由静电比拟方法可得：

半球形接地体第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日半球型接地极附近地面的电位分布第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日三.跨步电压跨步电压：当电流从接地体流入地中时，特别在发生事故的情况下，经接地体流入地中的电流很大，此电流将沿地面流动而造成地面各点具有较高的电位，此时人若走在电极附近区域，则其两脚将承受一地面电压UBC，由于此电压为人跨步时两脚所承受之电压，故称为跨步电压。注：当跨步电压超过某一安全电压值时，将出现人身伤亡事故！危险！

当单足站立时会怎么样？第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日为保护人畜安全起见（安全电压U0取36V)在电力系统的接地体附近，要注意危险区。相应为危险区半径。以浅埋半球接地器为例则x处的电位为：设人的步长为b，跨步电压为：四.例题第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日半圆柱体的接地电阻图3-19例3-5图其对应电阻：长为L直径2R0的孤立圆柱体的电容为

例3-5如图接地体为一半圆柱体。L=3m，R0=5cm，

计算其接地电阻值。解

运用镜象法，将上半空间的空气换为土壤并补齐另一半圆柱体，则电流密度线仍与地表面重合，它保持了下半场域的边界条件不变，问题转化为求解无限大均匀导电媒质中的电场，利用静电比拟法。第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日解角形场域的边界条件为电流密度线沿地表面及陡壁表面，如图设置镜象，可满足边界条