第七节 二阶常系数线性微分方程

第七节二阶常系数线性微分方程第一页，共四十页，2022年，8月28日一、二阶常系数齐次线性微分方程

1、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式第二页，共四十页，2022年，8月28日2、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根第三页，共四十页，2022年，8月28日(1)特征方程有两个不相等的实根两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为特征根为第四页，共四十页，2022年，8月28日(2)特征方程有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第五页，共四十页，2022年，8月28日(3)特征方程有一对共轭复根特征根为这时原方程有两个复数解:可得得齐次方程的通解为第六页，共四十页，2022年，8月28日二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程:(2)求出特征根:(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.第七页，共四十页，2022年，8月28日定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1第八页，共四十页，2022年，8月28日解特征方程为解得故所求通解为例2第九页，共四十页，2022年，8月28日解特征方程为解得故所求通解为例3第十页，共四十页，2022年，8月28日例4

求解初值问题解特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第十一页，共四十页，2022年，8月28日特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：

阶常系数齐次线性方程解法第十二页，共四十页，2022年，8月28日解特征方程为解得故所求通解为例1第十三页，共四十页，2022年，8月28日例2

解特征方程：特征根:原方程通解:第十四页，共四十页，2022年，8月28日思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第十五页，共四十页，2022年，8月28日二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程的结构知:非齐次线性微分方程的通解=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解第十六页，共四十页，2022年，8月28日二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构f(x)常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.第十七页，共四十页，2022年，8月28日1、f(x)=Pm(x)ex型设方程特解为其中Q(x)为待定多项式,代入原方程,得

第十八页，共四十页，2022年，8月28日从而得到特解形式为(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即即第十九页，共四十页，2022年，8月28日综上可得：(Page291)可设特解形式为不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.第二十页，共四十页，2022年，8月28日解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得原方程通解为例1对应齐次方程为第二十一页，共四十页，2022年，8月28日解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得原方程通解为例2对应齐次方程为第二十二页，共四十页，2022年，8月28日例3解特征方程为特征根为故对应齐次方程的通解为对应齐次方程为代入原方程,得原方程通解为第二十三页，共四十页，2022年，8月28日由解得所以原方程满足初始条件的特解为第二十四页，共四十页，2022年，8月28日2、f(x)=ex[Pl(x)cosx+Pn(x)sinx]型利用欧拉公式求如下两方程的特解：第二十五页，共四十页，2022年，8月28日Page293注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.第二十六页，共四十页，2022年，8月28日的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的根,可设非齐次方程特解为例1第二十七页，共四十页，2022年，8月28日解对应齐次方程为例2特征方程为对应齐次方程通解为特征根为第二十八页，共四十页，2022年，8月28日第二十九页，共四十页，2022年，8月28日提示对应齐次方程通解为所求非齐次方程特解为原方程通解为例3第三十页，共四十页，2022年，8月28日例4解对应齐次方程的特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为设原方程的特解为第三十一页，共四十页，2022年，8月28日故原方程的通解为第三十二页，共四十页，2022年，8月28日例5第三十三页，共四十页，2022年，8月28日3、小结二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法)第三十四页，共四十页，2022年，8月28日第三十五页，共四十页，2022年，8月28日练习写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解第三十六页，共四十页，2022年，8月28日三、二阶常系数线性微分方程应用举例第三十七页，共四十页，2022年，8月28日1、建立微分方程的基本条件1)要熟悉能用导数表示的各种常见变化率.第三十八页，共四十页，2022年，8月28日2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理.第三十九页，共四十页，2022年，8月28日2、建立微分方程及求解的注意点如果问题要求“运动规律”、“变化规律”等，则需要用微分方程来解决问题.