第三章 电路定理

第三章电路定理第一页，共五十页，2022年，8月28日第一节叠加定理一．定理陈述及其解释性证明1．定理陈述：在线性电路中，任一支路的电流或电压是电路中各个独立源(激励)分别作用时在该支路中产生的电流或电压的代数和。

aR1R3+

US1

-

I1IS2-US3+Ua、I1与各个激励关系第二页，共五十页，2022年，8月28日叠加定理R1R3I1′＋US1－aUS1单独作用时(IS2不作用时开路，US3不作用时短路)：R1R3IS2I1″IS2单独作用时:US3单独作用时：R1R3-

US3+I1'''显然有第三页，共五十页，2022年，8月28日叠加原理证明２．解释性证明：

线性电路独立变量方程是线性代数方程，其方程右端项与各电源成正比，由克莱姆法则知独立变量与各电源成正比，再由支路VAR可知各支路u、i亦与各电源成正比。二．叠加定理注意点

1、叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征。

2、若uS不作用，则短接之，若iS不作用，则开路之；而受控源不是激励，即作图分解时受控源始终保留在电路中，此外，定理中“各个独立源”可换为“各组独立源”(分组叠加)。Ua=K1US1+K2IS2+K3US3

3、对非线性电路不适用。4、要注意电压或电流的参考方向（代数和）。第四页，共五十页，2022年，8月28日6、只适用于线性电路中求解电压与电流响应，而不能用来计算功率。这是由于只有线性电路中的电压或电流才是激励的一次函数，而功率与激励不再是一次函数关系。求“代数和”时要注意各电压或电流的参考方向。

7、当线性电路只有一个激励时，则激励扩大k倍，任意支路的响应也扩大k倍。这称为线性电路的齐次性。实际上：线性性质包括叠加性(可加性)和齐次性(比例性，均匀性)。5、叠加时，电路的连接以及电路中所有的元件（除不作用的独立源）都不允许更动。第五页，共五十页，2022年，8月28日

求图(a)中的uab

、i1。(b)6Ω3Ω1Ω3Ai1′ab

解：采用“分组叠加”方法①3A电流源单独作用时（图(b)）②其它独立源共同作用时（图(c)）(a)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2A3Ai1ab例1(c)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2Ai1″ab第六页，共五十页，2022年，8月28日图示电路中NS为有源线性三端口网络，已知：IS1=8A、US2=10V时，UX=10V；IS1=–8A、US2=–6V时，UX=–22V；IS1=US2=0时，UX=2V；试求：IS1=2A、US2=4V时，UX=？

＋UX

－IS1

＋US2

－NS解：用“待定系数法”求解：设UX=K1IS1+K2US2+K3

其中K3为NS内部所有独立源对UX

所产生的贡献。若为无源线性网络，则不考虑内部电源的作用.例2第七页，共五十页，2022年，8月28日第二节替代定理(置换定理)一．定理陈述：在给定的线性或非线性电路中，若已知第k条支路的电压uk和电流ik

，且该支路不含有受控源或受控源的控制量，则该支路可以用下列任何一种元件来替代：⑴uS=uk的电压源；⑵iS

=ik的电流源；⑶若pk吸＞0，则可替代为Rk=|uk／ik

|的电阻。若替代前后电路均具有唯一解，则替代后电路中各支路的电压与电流均保持为原值。2）替代前后电路均具有唯一解，因此替代后①uk

不变；②其它各支路的电压、电流不变。1）设第k条支路用iS

=ik

来替代，则替代前后①ik不变；②其它支路VAR未变；③KCL、KVL未变；二．定理证明第八页，共五十页，2022年，8月28日

这相当于数学上将具有唯一解的一组方程中的某一未知量用其解答代替，不会引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改变。

三．定理应用说明：1、实际上，某一支路的电压和电流不一定全要知道，才能用替代定理，而是知道其中之一，就可用相应的元件去替代。如：已知uk，则可用电压为uk的独立源来置换该支路的元件。2、电压源的极性和电流源的方向必须和原网络中的被替代量一致。第九页，共五十页，2022年，8月28日替代定理应用大网络的“撕裂”：

i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C

①替代定理推广用于二端网络时，要求该二端网络内部某部分电压或电流不能是外部受控源的控制量。②某些线性电路问题的解决(如定理的证明);③具有唯一解非线性电路问题的简化分析。i+u-Ni+u-N④是测试或试验中采用假负载的理论依据。第十页，共五十页，2022年，8月28日作业：3-1，Δ3-3，3-5第十一页，共五十页，2022年，8月28日

课前练习题图示电路,求电压U。解法1:叠加定理U''=-6V6Ω6Ω＋18V

－3A3Ω+U-3ΩU'=12V

6Ω6Ω3A3Ω+U''-3Ω6Ω6Ω＋18V

－3Ω+U'-3Ω6Ω6Ω3A3Ω+U''-3Ω解法2:节点法U=U'+U''=6V第十二页，共五十页，2022年，8月28日一端口网络——两个端钮电流相等的二端网络无源一端口网络（无源二端网络）第三节戴维南定理与诺顿定理3Ω6Ω4Ω2A+24V-ab(a)-8V+3Ω6Ω4Ω4Aab(b)abR6Ω+16V-ab(c)？含源一端口网络（有源二端网络）ab含源ab无源第十三页，共五十页，2022年，8月28日Ri

──NS

的“除源电阻”是指将NS内所有的独立源令为零(将uS短路，将iS开路)时的入端电阻(除源后的一端口用N0表示)。NSi+u-外电路(a)uOC──NS

端口的开路电压

1．定理陈述：任何一个含独立源、线性电阻、线性受控源的一端口网络NS

，对于外电路来说都可以等效成为有伴电压源(uOC

与Ri

的串联组合)，其中：一．戴维南定理i+u-外电路(b)Ri+uoc–第十四页，共五十页，2022年，8月28日2.定理证明：开路NS

+u'=uOC

-NOi+u"-

iNSi+u-

i替代定理

u=u'+u''=uOC

-

Ri

i

定理证毕

两个网络若在端口处的VCR相同，则两者对外电路而言是等效的。(b)i+u-外电路Ri+uoc–NSi+u-外电路(a)Rii

+u"=－Rii-

i第十五页，共五十页，2022年，8月28日二．诺顿定理

任何一个含独立源、线性电阻、线性受控源的一端口网络NS，对于外电路来说都可以等效成为有伴电流源(iSC与Gi的并联组合)，其中：iSC

──NS端口的短路电流；iSC

方向由u的“+极”沿外电路至“-

极”！

Gi

=1／Ri──NS的“除源电导”

先将NS等效为戴维南等效电路，再用有伴电源等效变换即证。由等效关系可知：iSC=i|u=0=uOC／Ri

NSi+u-外电路(a)iiSC外电路(b)+u–Gi1．定理2．证明第十六页，共五十页，2022年，8月28日三．戴维南等效电路或诺顿等效电路的求法方法一(若除源后N0为简单纯电阻电路)：①求uOC

、iSC二者之一，其中：uOC

─

令端口i=0(开路)

iSC

──令端口u=0(短路)②对除源网络N0(简单纯电阻电路)用串、并联的方法求出Ri

．方法二：同时求出uOC

、i

SC

则：Ri=uOC

／iSC但当uOC

=0时，iSC

也为零，此时就不能用上式求Ri

第十七页，共五十页，2022年，8月28日方法三(一步法或激励－响应法)：直接对NS求解端口的VAR，若求得为u’

=A+Bi’

则由戴维南等效电路知：uOC=A，Ri=B（当求uOC或iSC的电路仍然较复杂时用此法的计算量最少）

方法四：实验测量法（限于直流电路）+U

R-

+UOC

-

RiI①测开路电压UOC

；②允许短路时测ISC

，则Ri

=UOC／ISC;否则用R作为外电路并测其U、I，此时NSi'+u'-

+uS

-

第十八页，共五十页，2022年，8月28日

试分别求当负载电阻RL为7Ω和11Ω时电流I之值

。解：特点─求解量均在RL支路(a图)。最好选用戴维南定理（或诺顿定理）求解：①求UOC

用回路法(b图)②对除源后的简单电阻电路用串并联的方法求Ri3Ω20Ω4Ω8ΩRL-16V+1AIab(a)32I1-20×1=16得I1=9／8AUOC=–8I1+16–3×1=4V3Ω20Ω4Ω8ΩabRi(c)ab(b)3Ω20Ω4Ω8Ω-16V+1A1AI1+UOC

-例1第十九页，共五十页，2022年，8月28日③由戴维南等效电路求I

IRL＋4V－

9Ω此解法简单！第二十页，共五十页，2022年，8月28日求图(a)电路的最简等效电路。

②除源（受控源不得除去）求Ri（图b）消去非端口变量I1得：Ri=15Ω+20V-15Ωa+U-bI解法一：求UOC、Ri①I=0

求UOC

（图a）5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-b(a)I1I15Ω10Ω5Ω1Ω2I1I1Ia+U-b(b)例2第二十一页，共五十页，2022年，8月28日解法二：同时求UOC与ISC①UOC的求法同解法一（UOC=20V）②求ISC

注意控制量I1在不同状态时的变化：短路时I1=2／3A开路时I1=2A5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1I(c)ISC5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-I1I-10I1+ISCI0ISC

16I0-10ISC=12+10I1

-10I0+15ISC=0I1=I0-ISC网孔法+20V-15Ωa+U-bI第二十二页，共五十页，2022年，8月28日解法四：先等效变换化简再求解（略）.I1=(-5I+U)／10=0.1U-0.5I

I2=I1+I

=0.1U+0.5I

I3=2I1–I2=0.1U-1.5I

U=5I＋5I2–I3+12解法三：一步法（直接求端口VAR）5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-b(a)I2I3+20V-15Ωa+U-bIU=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+12U=20+15I

第二十三页，共五十页，2022年，8月28日注意点：

1、对端钮处等效，即对外电路等效。

2、含源一端口网络一定是线性网络。

3、开路电压uOC与端电压u不同，要注意等效电压源uOC的参考极性。

4、外电路为任意（线性、非线性、有源、无源、支路或部分网络均可）。

5、若含源一端口网络NS内具有受控源时，这些受控源只能受NS内部（包括端口）有关电压或电流控制，而NS内部的电压或电流也不能作为外电路中受控源的控制量。即NS与外电路之间一般应没有耦合关系。第二十四页，共五十页，2022年，8月28日第四节最大功率传输定理一．最大功率传输定理Ia+U－

RLbNS问题：如图RL=?时，NS传给RL的PRL=Pmax=?得RL=Ri，此时RL可获得Pmax匹配求解：戴维南等效电路如图则有：最大功率传输定理

I

a+U-

RLb+UOC-Ri第二十五页，共五十页，2022年，8月28日若用诺顿等效电路通常UOC

发出的功率并不等于NS

中原来电源所发出的功率，匹配时的效率并不高，对UOC来讲，η只有50％。因此，对于强电而言，不能工作在匹配状态；但对弱信号的传输，往往就需要实现最大功率传输。RiRLISC第二十六页，共五十页，2022年，8月28日求RL=?时,PRL吸=Pmax=?解：先进行戴维南等效例RL

20Ω20Ω10Ω

2A11'+

15V

-

+

5V

-

iRi+

UOC

-

RL11'

i第二十七页，共五十页，2022年，8月28日作业：3-7(a)、(c)、(d)，Δ3-8，Δ3-9，3-9第二十八页，共五十页，2022年，8月28日（2）

解：（1）练习题

图所示电路。求:（1）RL为何值时它可获得最大功率，并求此最大功率Pmax;（2）若RL=2Ω,再求RL消耗的功率。RL6Ω3Ω4Ω

2Aab+

12V

-

第二十九页，共五十页，2022年，8月28日第五节特勒根定理

对于一个具有n个节点和b条支路的电路，若其第k条支路的电压uk

、电流ik取为关联方向（k=1,2,…，b），则恒有：考虑n=4、b=6的电路如图，各支路只用线段表示，线段的方向表示电压（或电流）的参考方向，并令0为参考节点，则：4①2②3③1560证明：一、特勒根定理１第三十页，共五十页，2022年，8月28日原式=un1i1+(un1-un2)

i2+(un2-un3)

i3+(un1-un3)

i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2+i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3–i4+i6)=un1·0+un2·0+un3·0=0对任何具有n个节点和b条支路的集总电路，均可证明上式成立！

物理意义：功率守恒4①2②3③1560第三十一页，共五十页，2022年，8月28日对于两个具有n个节点和b条支路的电路N和N^

，若它们的拓扑结构（图）相同，设N与N^

的对应支路编号一致，所取关联方向相同，如支路电流与电压分别记为(i1，i2，…，ib)、(u1，u2，…，ub)和(i^1，i^2，…，i^b)、(u^1，u^2，…，u^b)，则恒有：

特勒根定理２同样适用于任何集总参数电路，物理意义为似功率守恒定理证明在书上P77～78页，请自学！二．特勒根定理有时两个电路结构并不完全相同，可用开路或短路来替代或填补某些支路。第三十二页，共五十页，2022年，8月28日第六节互易定理若线性电路只有一个激励，则该激励与电路中某个响应的位置互换后，其激励与响应的关系保持不变（共有三种形式）：+uS-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'2+uS

-

122'2+u1=0-

+u2

-

i1i2NR“互易”─设共有b条支路，则由特勒根定理2证明一、互易定理的第一种形式设NR为同一仅含线性电阻的网络：则

=

i2

即恒压源与短路电流响应可互易第三十三页，共五十页，2022年，8月28日又因+uS-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'2+uS

-

122'2+u1=0-

+u2

-

i1i2NR第三十四页，共五十页，2022年，8月28日

i1

i2+u2

-

NR+u1-

122'1'iS

i1

i2+u2-

NR+u1

-

122'1'iS此时将，代入式（*）设下列两图中NR为同一仅含线性电阻的网络，则

(恒流源与开路电压响应可互易)二．互易定理的第二种形式证明：第三十五页，共五十页，2022年，8月28日设下列两图中NR为同一仅含线性电阻的网络，若

uS=iS(量值上)，则(量值上)。

i1

i2+u2=0

-

+u1-

122'2iS

NR2'2

i1=0

i2+u2-

NR+u1-

12＋uS－此时将；代入式（*）

三．互易定理的第三种形式证明：第三十六页，共五十页，2022年，8月28日四、互易定理应用时的几点说明①式（*）是互易定理三种形式的统一表达式，用各种互易定理解题时，可统一使用它，但根据其证明中使用了特勒根定理，就要求这些端口变量取关联参考方向（对NR以外的端口支路而言）。此外，若NR的激励端口与响应端口的总和超过２，则该式可作相应的推广。②网络互易条件是两网络为同一纯电阻网络NR

，这只是网络互易的充分条件。若网络中还含有受控源，则有时互易！③响应与激励位置互换后，NR内部支路的电压、电流一般会改变。第三十七页，共五十页，2022年，8月28日＋10V－121'2'i1i2=0NR2A＋5V－＋u2－2A5Ω＋u1－

i1

i2121'2'NR例．如图，求

。解法一：直接用(*)式来解

解法二：

15Ω1’+UOC-Ri=5Ω第三十八页，共五十页，2022年，8月28日第七节对偶原理

在电路分析中，发现有些关系式、物理量及电路是成对出现的，它们之间存在着一种明显的类比关系。例如：

欧姆定律的两种形式关联参考方向：u=Ri，i=Gu通过对应元素（对偶元素）互换后又能彼此转换，这种类比的性质就称对偶性，即对偶原理。第三十九页，共五十页，2022年，8月28日对偶变量对偶关系式对偶元素分压公式—

分流公式对偶关系串联—并联i=GuψL=LiL

u=RiqC

=CuC

对偶方法节点法—网孔法节点自电导网孔自电阻有伴电压源有伴电流源戴维南定理—诺顿定理R—GL—CuS—

iS节点—网孔串联—

并联开路

—短路串联—并联……u—iq—

ψuOC

—i

SC

……第四十页，共五十页，2022年，8月28日

R1

R3+uS1-il1

R2il2+uS3-①②G2G1G3iS1iS3互为对偶的电路例如：必须注意，“对偶”和“等效”是两个不同的概念，不可混淆。根据对偶原理，如果导出了电路某一个关系式或结论，就等于解决了与之对偶的另一个关系式或结论。

由此及彼，举一反三。第四十一页，共五十页，2022年，8月28日例1、图示电路。求两电源的功率，并分别说明电源在电路中的作用？

解：

习题课一直流电路2Ω1Ω5A+4V-4Ω4Ω①+us-iS2Ω1Ω5A+4V-4Ω4Ω第四十二页，共五十页，2022年，8月28日例2、图所示含运算放大器电路，求输出电流IO

。解：注意：+-2V+

+

¥

-10kΩ4kΩIO4kΩ5kΩ第四十三页，共五十页，