第一节多元函数

第一节多元函数第一页，共四十页，2022年，8月28日一、平面点集第一节多元函数

坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作

E{(x

y)|(x

y)具有性质P}

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C{(x

y)|x2y2<r2}或C{P||OP|r}

其中P表示坐标为(x

y)的点|OP|表示点P到原点O的距离第二页，共四十页，2022年，8月28日1.邻域(圆邻域)第三页，共四十页，2022年，8月28日第四页，共四十页，2022年，8月28日在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含.平面上的方邻域为第五页，共四十页，2022年，8月28日E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0.内点、外点、边界点、聚点、孤立点：内点外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点

第六页，共四十页，2022年，8月28日边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边界点聚点如果点P的任一去心邻域内都含有属于E的点则称P点为E的聚点聚点本身可能属于E，也可能不属于E.孤立点如果点P属于E，但不是E的聚点，即存在点P的一个领域U(P),使则称P是E的孤立点.第七页，共四十页，2022年，8月28日D

开集、闭集、连通集、区域、有界区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E的所有聚点都属于E

,则称E为闭集；若集E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称E是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。第八页，共四十页，2022年，8月28日

对区域E,若存在正数K,使一切点PE与某定点A的距离APK,则称E为有界域,

界域.否则称为无第九页，共四十页，2022年，8月28日例如，在平面上开区域闭区域第十页，共四十页，2022年，8月28日二、多元函数的概念

引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强球心在原点、半径为a的上半球面方程为第十一页，共四十页，2022年，8月28日1.二元函数的定义第十二页，共四十页，2022年，8月28日例1求的定义域．解所求定义域为第十三页，共四十页，2022年，8月28日（2）二元函数的图形（如下页图）第十四页，共四十页，2022年，8月28日二元函数的图形通常是一张曲面.第十五页，共四十页，2022年，8月28日例如,图形如右图.例如,单值分支:第十六页，共四十页，2022年，8月28日n元有序实数组的全体称为n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第记作即一个点,（3）n维空间

n维空间,

k个坐标

.第十七页，共四十页，2022年，8月28日

n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为

n维空间中两点间距离公式：第十八页，共四十页，2022年，8月28日4.n元函数的定义

例如三元函数

定义域为单位闭球第十九页，共四十页，2022年，8月28日三、多元函数的极限第二十页，共四十页，2022年，8月28日说明：（2）定义中的方式是任意的；（3）二元函数的极限也叫二重极限（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（1）函数f在点P0可以有定义，也可以无定义；第二十一页，共四十页，2022年，8月28日例2求证证当时，原结论成立．要证第二十二页，共四十页，2022年，8月28日注

(1)二重极限存在,是指P以任何方式趋于P0时,函数都无限接近于A.

(2)由此我们可以得到确定极限不存在的方法：第二十三页，共四十页，2022年，8月28日解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例3.

讨论函数第二十四页，共四十页，2022年，8月28日例4：证明：当时极限不存在.证明：取沿直线趋于原点的路径所以极限不存在.第二十五页，共四十页，2022年，8月28日例5证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．第二十六页，共四十页，2022年，8月28日例6求极限解其中第二十七页，共四十页，2022年，8月28日与二元函数的极限类似，可以定义n元函数的极限第二十八页，共四十页，2022年，8月28日四、多元函数的连续性第二十九页，共四十页，2022年，8月28日第三十页，共四十页，2022年，8月28日例7讨论函数在(0,0)处的连续性．解取第三十一页，共四十页，2022年，8月28日故函数在(0,0)处连续.当时第三十二页，共四十页，2022年，8月28日例8讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第三十三页，共四十页，2022年，8月28日闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上必能取得它的最大值和最小值．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上比能取得介于这两值之间的任何值．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第三十四页，共四十页，2022年，8月28日

多元连续函数的和，差，积均连续.分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合函数也是连续的．（3）运算性质多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．第三十五页，共四十页，2022年，8月28日第三十六页，共四十页，2022年，8月28日例9解第三十七页，共四十页，2022年，8月28日1.点集

邻域:

区域

2.多元函数概念n元