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文档简介
§5.3留数在定积分计算中的应用一、形如的积分二、形如的积分三、形如的积分一、形如的积分方法：令则要求是
u,
v
的有理函数，即是以
u,
v
为变量的二元多项式函数或者分式函数。其中，是在内的孤立奇点。则令则例计算解
函数有两个孤立奇点：在内，二阶极点，一阶极点
所以令则解由于为偶函数，记
有两个一阶极点：在内，
(实数)其中，P
(x)
,Q(x)为多项式；(2)分母
Q(x)的次数比分子P
(x)的次数至少高二次；(3)分母Q(x)无实零点。其中，是在上半平面内的孤立奇点。要求(1)方法二、形如的积分证明略
(1)令解(2)(3)在上半平面内，i与3i为一阶极点。P122例5.25在上半平面内，a
i与bi为一阶极点。(1)令解(2)(3)(1)记解在上半平面内，为两个一阶极点。令(2)(3)三、形如的积分(2)分母
Q(x)的次数比分子P
(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。其中，是在上半平面内的孤立奇点。其中，P
(x)
,Q(x)为多项式；要求(1)方法
特别：
在上半平面内，1+3
i为一阶极点。(1)令解(2)(3)(2)可得：在上半平面内，
i为一阶极点，(1)令解(2)同理(3)附：关于第二、三型积分中有实孤立奇点的情况若在上半平面有孤立奇点结论
在实轴上有
孤立奇点
则其中，为第二、三型积分中的被积函数。P126
(1)令解(2)在实轴上，为一阶极点，P127例5.27附：关于第二、三型积分中有实孤立奇点的情况休息一下……附：求函数在点的留数。(返回)附：关于
型积分的公式推导(1)如图，取积分路径为(思路)推导其中的半径为(2)根据留数定理有P122
附：关于
型积分的公式推导(思路)推导(3)不妨设(当足够大)附：关于
型积分的公式推导(思路)推导
(4)(5)由(返回)附：关于
型积分的公式推导(1)如图，取积分路径为(思路)推导其中的半径为(2)根据留数定理有P123
(3)不妨设(当足够大)(思路)推导附：关于
型积分的公式推导(4)(思路)推导
附：关于
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