2021年中考全真模拟考试《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩________

一.选择题（共12小题）

1.下列实数中，比1大的数是（）

11

A.-2B.---C.-D.2

22

2.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

3.已知△相似比为3：1,且△ABC的周长为18,则△£»£：产的周长为（）

A.2B.3C.6D.54

4.如图，AO是口。的直径，若N8=40°，则ND4c的度数为（）

C.50°D.60°

5.下列命题为真命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余B.任意多边形的内角和为360°

C.任意三角形的外角中最多有一个钝角D.一个三角形中最多有一个锐角

6.估计3（百+2）-血><屈的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

7.我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文

钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个；”其大意为：用999文钱,

可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各

多少个？设买甜果、苦果的数量分别为X个、＞个，则可列方程组为（）

x+y-999x+y=999

A..114B.,972

—x+-y=1000—x+-y=1000

〔97,114-

尤+y=1000x+y=1000

D.|97

C.114

—x+-y=999—x+-y=999

97-1114-

4

8.根据如图所示的程序计算函数）'的值，若输入X的值为不，则输出）'的值为（）

1

-

2

/输入7

175

A.—D.

33

9.如图，菱形0A6C在第一象限内，ZAOC=60°,反比例函数y=幺。＞0）的图象经过点A,交BC边于

X

点。，若A4。。的面积为2百，则我的值为（）

3若C.273D.4

10.如图，某建筑物CE上挂着“巴山渝水，魅力重庆”宣传条幅，王同学利用测倾器在斜坡的底部A

处测得条幅底部。的仰角为60°,沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°.已知斜坡AB的坡

度i=l:2.4,A8=13米，AE=12米（点A、B、C、D、E在同平面内，CDLAE,测倾器的高度忽略不

计），则条幅的长度约为（参考数据：sin50°»0.77,cos50°»0.64,tan50°»1.19,J3«1.73）

c

A.12.5米B.12.8米C.13.1米D.13.4米

_2[2y-a>y-\

11.若数a使关于x的分式方程」--七一=3有正数解，且使关于》的不等式组，1有解，则

x-11-x5丁+4,4

所有符合条件的整数a的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

12.如图，在等腰三角形纸片ABC中，NA6C=120°,BC=6,点。、E分别在边AC、BC上,连接OE,

将△COE沿DE翻折使得点。恰好落在点3处，则AE的长为（）

A.也B.yC.3币D.6币

二.填空题（共6小题）

13.计算：（=一万）°+|—5|=

14.重庆市组织开展依法打击陆生野生动物违法犯罪活动专项行动.截至2月27日，全市林业系统共出动执

法检查人员12583人次，查办案件69件（其中刑事案件24件），涉案野生动物37369只.将数据37369用

科学记数法表示为

15.现有5张除正面数字外完全相同的卡片，正面数字分别为1,2,3,4,5,将卡片背面朝上洗匀，从中

随机抽出一张记下数字后放回，洗匀后再次随机抽出一张，则抽出的两张卡片上所写数字相同的概率

16.如图，正方形A8CO的边长为4,分别以AROC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为

17.疫情之下，中华儿女共抗时艰.重庆和湖北同饮长江水，为更好地驰援武汉，打赢防疫攻坚战，我市某

公益组织收集社会捐献物资.甲、乙两人先后从A地沿相同路线出发徒步前往3地进行物资捐献，甲出发

1分钟后乙再出发，一段时间后乙追上甲，这时甲发现有东西落在A地，于是原路原速返回A地去取（甲

取东西的时间忽略不计），而乙继续前行，甲乙两人到达B地后原地帮忙.已知在整个过程中，甲乙均保持

各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程》（米）与甲出发的时间X（分钟）之间的函数关系如图所

示，则当乙到达3地时，甲距A地的路程是米.

18.如图，在矩形A8CO中，AB=5BC=1,将△AB。沿射线OB平移得到△WB'。，连接B'C,D'C,

则BC+D'C最小值是

三.解答题（共8小题）

19.计算：

(1)(a+b)(a-b)-(a-b)21

ha~~b~a+b

(2)-----------1-----2-------------------2-----

a-ba-lab+b"a-b

20.如图，AABC为。O内接三角形，NABC的角平分线交。。于点。，过点。作。E〃AC交BC的延长

线于点E.

（1）求证：DE为。。的切线；

(2)DE=AC,求N4CB的大小.

21.为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进

为理论+实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百

分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成4组：A.60„x<70,B.70„x<80,C.80„x<90,

D.9既上100）,下面给出部分信息：

教学方式改进前抽取的学生的成绩在。组中的数据为：80,83,85,87,89.

教学方式改进后抽取的学生成绩为：72,70,76,100,98,100,82,86,95,90,100,86,84,93,88.

教学方式改进前抽取的学生成绩频数分布直方图

教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表

统计量改进前改进后

平均数8888

中位数ab

众数98C

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述图表中风"c的值;

（2）根据以上数据，你认为该校九年级学生物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明

理由（一条理由即可）；

（3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优

秀的学生人数是多少？

22.定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的

和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续

计算，例如55263f5526+12=5538,5538f553+32=585,585—58+20=78,78+13=6,所以

55263是“一刀两断”数.3247f324+28=352,35+8=43,43+13=3……4,所以3247不是“一刀

两断”数.

（1）判断5928是否为“一刀两断”数：（填是或否），并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两

断”数；

（2）对于一个“一刀两断”数机=1000。+100人+10,+以掇山9,喷必9,喷电9,滕H9,a,b,3d均为

b2-

正整数），规定G（m）=-----c.若加的千位数字满是1领b4,千位数字与十位数字相同，且能被65整除,

a-d

求出所有满足条件的四位数相中，G（m）的最大值.

23.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一应用函数

解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结

合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：

在函数y=|2x+b|+"（左。0）中，当x=0时，y=l；当x=-l时，y=3.

（1）求这个函数的表达式;

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质;

（3）已知函数y=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|2%+切+依，

的解集.

24.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人体中发现的新型冠状病毒.市民

出于防疫的需求，持续抢购防护用品.某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售价15元.

(1)该药店第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100,且第一周这两种防护用品的总销售额为

9000元，求该药店第一周销售口罩多少袋？

(2)由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了,销量比第一周增加了

2a%,医用酒精的售价保持不变，销量比第一周增加了。％,结果口罩和医用酒精第二周的总销售额比第

一周增加了14%,求。的值.

25.如图，已知抛物线L：y=公2+a+c(a#o)与％轴交于两点，与》轴交于。点，且

A(-1,Q),OB=OC=3OA.

(1)求抛物线L的函数表达式；

(2)连接AC、BC,在抛物线乙上是否存在一点N,使若存在，求出点N的坐标；

若不存在，请说明理由.

26.如图①，在WAQ4B中，NAO8=90。,04=08,。为。8边上一点，过。点作OC_LAB交AB于点

C，连接AO,E为AO的中点，连接OE,CE.

【观察猜想】

(1)①OE,CE的数量关系是

②NOEC,NOAB的数量关系是

【类比探究】

(2)将图①中ABC。绕点3逆时针旋转45。，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给

出证明；若不成立，请说明理由；

拓展迁移】

(3)将ABC。绕点8旋转任意角度，若BD=J5,OB=3,请直接写出点O,C6在同一直线上时。E的

长.

答案与解析

一.选择题（共12小题）

1.下列实数中，比1大的数是（）

1

A.-2B.---D.2

2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据实数的大小比较，进行判断即可.

【详解】根据实数的大小比较，负数都小于0,正数都大于0,比1大的是2,

故选：D.

【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较是解题的关键.

2.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

【解析】

【分析】

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【详解】从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形.

故选：A.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

3.已知ABCS/XOEF,相似比为3：1,且AABC的周长为18,则△£>£：产的周长为（）

A.2B.3C.6D.54

【答案】C

【解析】

【分析】

因为△ABCS/\DEF,相似比为3：1,根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长.

【详解】解：:△ABCs相似比为3：1

.二△ABC的周长：△OEF的周长=3：1

「△ABC的周长为18

...△DE尸的周长为6.

故选：C.

【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解.

（1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

4.如图，AO是口。的直径，若NB=40°，则ND4c的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

连接CD,根据同弧所对圆周角相等，得出ND=NB,再利用直径所对的圆周角等于90。即可得出NDAC

的度数.

【详解】连接CD,由题意可得：ZD=ZB=40°,

AO是口。的直径，

ZACD=90°,ZDAC=90°-ZD=90°-40°=50°,

故选：C.

0

If

【点睛】本题考查了圆的基本性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90。，掌握圆的基本

性质是解题的关键.

5.下列命题为真命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余B.任意多边形的内角和为360°

C.任意三角形的外角中最多有一个钝角D.一个三角形中最多有一个锐角

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形的性质，对照选项逐一分析即可.

【详解】A.直角三角形的两个锐角互余，故此选项正确；

B.任意多边形的内角和（n-2）X18O0,故此选项错误；

C.在锐角三角形中，三个外角都是钝角，故此选项错误；

D.一个三角形中至少有两个锐角，故此选项错误，

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形角的性质，掌握三角形角的性质是解题的关键.

6.估计3（6+2）-的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【答案】B

【解析】

【分析】

化简二次根式，然后合并二次根式，利用无理数的大小估算判断即可.

【详解】原式=36+6—6=36，36=岳，

•:岳〈历〈底，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的化简计算，无理数的大小估算，掌握无理数的估算是解题的关键.

7.我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文

钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个；”其大意为：用999文钱,

可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各

多少个？设买甜果、苦果的数量分别为％个、y个，则可列方程组为（）

y-=999x+y-=999

A.<114B.■97…

—X+-^=1000—X+-y=1000

197-U14

y=1000x+y=1000

C.<114D.■97…

—X+—y=999—X+_y=999

197U14

【答案】C

【解析】

【分析】

根据甜果和苦果的总数量是1000个，总费用是999文钱，找到等量关系列出方程式即可.

【详解】根据题意，设买甜果、苦果的数量分别为％个、）'个，则可得:

x+y=1000

114

7+—丁=999

97'

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的列式问题，掌握找题目中的等量关系是解题的关键.

4

8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入％的值为则输出y的值为（）

1

是-

2

1713105

A.—B.—C.—D.-

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

4

根据程序框图，把x=w>l,代入代数式y=-x+5求解即可.

2

41

【详解】由题意知，x=y>l,代入y=—x+5,

1412117

・・y=-x-1-5=—卜5=—

2333

故选：A.

【点睛】本题考查了程序框图的判断求解，代数式的的求值，掌握程序框图的判断是解题的关犍.

9.如图，菱形0A8C在第一象限内，ZAOC=60°,反比例函数y=&(x>0)的图象经过点A,交5c边于

X

点。，若"。。的面积为26,则出的值为()

C.2GD.4

【答案】C

【解析】

【分析】

过A作AE^x轴于E,设OE=a,贝IJAE=6。，OA=2a,即菱形边长为2a,再根据aAOD的面积等于

菱形面积的一半建立方程可求出a2，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.

【详解】如图，过A作AE_Lx轴于E,

设OE=a,

在RtaAOE中，ZAOE=60°

厂OEc

・・AE=OE-tan60°=yj3a，。A=-----——二2a

cos600

：.A（a,y/3a）,菱形边长为2a

由图可矢口S菱形AOCB=2SAAOD

•••OC-AE=2X26，即2a-缶=46

，a2=2

k=a-\/3a=Ga?=2>/3

故选c.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标

是解决本题的关键.

10.如图，某建筑物CE上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅CO,王同学利用测倾器在斜坡的底部A

处测得条幅底部D的仰角为60。，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°.已知斜坡AB的坡

度i=l：2.4,A8=13米，AE=12米（点4B、C、D、E在同平面内，COLAE,测倾器的高度忽略不

计），则条幅C。的长度约为（参考数据：sin50°«0.77,cos50°«0.64,tan500»1.19,73«1.73）

A.12.5米B.12.8米C.13.1米D.13.4米

【答案】B

【解析】

【分析】

过点B作BFLAE于点F,BHLDE于点H,在RSAFB中，由坡度和勾股定理可以求出BF、AF的长度,

在RSBHC中，利用三角函数求出CH,再求出DH,最后用CH-DH求出CD即可.

【详解】如图所示：

过点B作BFLAE于点F,BHLDE于点H,

,/AB的坡度i=l:2.4,4B=13m,

餐L2.4,犷+4尸3

，8尸2+(2.48/产=132,BF为边长，

解得BF=5,则AF=12m,

：AE=12m,

；.EF=AF+AE=24(m),

,//BHE=NHEF=NBFE=90。，

四边形BFEH是矩形，

；.EH=BF=5m,BH=EF=24m,

在RSBHC中，ZCBH=50°,

.,.CH=BHtan50°»24x1.19=28.56(m),

在RSADE中，NDAE=60。，

.\DE=AEtan60°=12x73«20.76(m),

CD=CH-DH=28.56-(20.76-5)=12.8(m),

条幅CD的长度约为12.8m,

故选：B.

C

【点睛】本题考查了坡度的应用，勾股定理的应用，直角三角形中三角函数定义的应用，掌握直角三角形

中的三角函数的定义是解题的关键.

r\2y-a>y-1

11.若数a使关于x的分式方程-------二一=3有正数解，且使关于），的不等式组＜1,有解，则

x-1l-x-y+a,,4

所有符合条件的整数a的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分式方程的解为正数即可得出a>T且awl,根据不等式组有解，即可得：a<3,找出所有的整数a的

个数为2.

(1x—2

【详解】解方程』—=3,得：

x—1\—X

•••分式方程的解为正数,

a+l>0,即a>-l,

又1,

a>-l且aH1,

2y—a>y-1

•.•关于y的不等式组Ql有解，

2y+a,'4

a-l<y<8-2a,

即a-l<8-2a,

解得：a<3,

综上所述，a的取值范围是T<a<3,且aHl,

则符合题意的整数a的值有0、2,有2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌

握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键.

12.如图，在等腰三角形纸片ABC中，ZABC=12Q),BC=6,点。、E分别在边AC、6c上，连接OE,

将ACDE沿DE翻折使得点。恰好落在点8处，则AE的长为()

A."B.—C.3不D.677

【答案】C

【解析】

【分析】

过点E作EH1AB,交AB的延长线于点H,由等腰4ABC,点C与点B关于直线DE对称，可以推出

BE=CE=！BC,在RSBEH中，ZEBH=60°,利用三角函数求得EH、BH,然后由勾股定理求出AE即可.

2

【详解】过点E作EHLAB,交AB的延长线于点H,如图，

.,•ZH=90°,

「△ABC是等腰三角形，ZABC-120°,

/.AB=BC=6,

・・,点C与点B关于直线DE对称，

.11,

:.BE=CE二一BC=—x6=3,

22

在RtABEH中，ZEBH=180°-ZABC=180°-120°=60°,

13

.•.BH=BEcosZEBH=3cos60°=3x—,

22

EH=BEsinNEBH=3sin6(T=3xB=九1,

22

315

AH=AB+BH=6+,

22

在RtAAEH中,AE=ylAH2+EH2=J(y)2+(¥)?=3A/7，

故选：C.

【点睛】本题考查了对称的性质，三角函数的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握等腰三角

形的性质和三角函数的应用是解题的关键.

二.填空题（共6小题）

13.计算：（；一万）°+|-5|=

【答案】6

【解析】

【分析】

根据(1-4)°=1，1-51=5相加计算即可.

【详解】原式=1+5=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了非零数的零次幕等于1,绝对值的性质，注意任何非零数的零次幕都等于L

14.重庆市组织开展依法打击陆生野生动物违法犯罪活动专项行动.截至2月27日，全市林业系统共出动执

法检查人员12583人次，查办案件69件(其中刑事案件24件)，涉案野生动物37369只.将数据37369用

科学记数法表示为.

【答案】3.7369xlO4

【解析】

【分析】

根据大数的科学记数法的一般形式axl0",lWa<10,n为正整数表示出来即可.

【详解】根据大数的科学记数法的一般形式axl0",l〈a<10,n为正整数，用科学记数法表示

37369=3.7369x1(/，

故答案为：3.7369xlO4.

【点睛】本题考查了大数的科学记数法的表示形式，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键.

15.现有5张除正面数字外完全相同的卡片，正面数字分别为1,2,3,4,5,将卡片背面朝上洗匀，从中

随机抽出一张记下数字后放回，洗匀后再次随机抽出一张，则抽出的两张卡片上所写数字相同的概率

【答案】g

【解析】

【分析】

根据列举法，把两次抽取的所有结果都列出来，从中找出两张卡片上所写数字相同的结果，计算出概率即

可.

【详解】放回抽取，抽取的所有结果有(1,1),(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)(2,2)、(2,

3)、(2,4)、(2,5)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,

5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5),共有25种，其中两张卡片数字相同的结果为5种，所以

抽出的两张卡片上所写数字相同的概率为

255

故答案为：y.

【点睛】本题考查了列举法计算基本事件数以及求事件发生的概率问题，掌握列举法计算事件发生的概率

是解题的关键.

16.如图，正方形ABC。的边长为4,分别以AAOC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为一.

【答案】12-2万

【解析】

【分析】

【详解】解：如解图，设两半圆交点为。，两半圆的圆心分别为E、尸，连接E0,。尸，易证四边形石。尸。

为正方形，0=E=2,由解图可得，

I,

S阴影=正方谥B正那c半圆4一ES5宏「x2—'

故答案为：12-2n

17.疫情之下，中华儿女共抗时艰.重庆和湖北同饮长江水，为更好地驰援武汉，打赢防疫攻坚战，我市某

公益组织收集社会捐献物资.甲、乙两人先后从A地沿相同路线出发徒步前往8地进行物资捐献，甲出发

1分钟后乙再出发，一段时间后乙追上甲，这时甲发现有东西落在A地，于是原路原速返回4地去取（甲

取东西的时间忽略不计），而乙继续前行，甲乙两人到达B地后原地帮忙.已知在整个过程中，甲乙均保持

各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间》（分钟）之间的函数关系如图所

示，则当乙到达3地时，甲距A地的路程是米.

【答案】160

【解析】

【分析】

根据题意和函数图象中的数据可以求得甲、乙的速度，从而可以解答本题.

【详解】由题意得，甲的速度为：804-1=80(米/分钟)，

乙的速度为:(80X5-16)/(5-1)=96(米/分钟),

甲乙到达C地的时间为第t分钟，则80t=96(t-1),得t=6,

乙从C地到B地用的时间为：(864-80x6)+96=4(分钟)，

，乙到达B地时，甲与A地相距的路程是:80X(64)=160(米),

故答案：160米.

【点睛】本题考查了一次函数图象和追及问题的应用，掌握函数图象的应用是解题的关键.

18.如图，在矩形ABC。中，AB=5BC=\,将△ABQ沿射线。8平移得到△AbD,连接"C,D'C,

【答案】币

【解析】

【分析】

根据矩形的性质和勾股定理可得8。=2,即为B7X的长，作点C关于8。的对称点G,连接CG交于E,

连接。G,如图，则有C〃=G。，CELBD,CG=2CE,利用三角形的面积可求得CG=6,然后以夕。,

G。为邻边作平行四边形87/GH,可得BH=DG=CD,于是当C,B',H在同一条直线上时，夕H最

短，且BC+OC的最小值=(7/,再根据勾股定理即可求出结果.

【详解】解：•.•四边形ABC力是矩形，

；.A£)=BC=1,/A=90°,

BD=y]AB2+AD2=2-

•Z将△ABD沿射线DB平移得到△AbD',

：.B'D'=BD=2,

作点C关于8力的对称点G,连接CG交8。于E,连接OG,如图,

•TP-BC-CD1x736.rr_后

•CiL-----------=---------=-----，••CCr-751

BD22

以B'D',G。为邻边作平行四边形B'D'GH,

则B'H=D'G=CD',

.•.当C,B',"在同一条直线上时，CBQB'H最短,

则8C+D'C的最小值=(7",

•••四边形夕。GH是平行四边形，

：.HG=B'D'=2,HG//B'D',

：.HGLCG,

；•CH=gG+CG=x/l-

故答案为：J7.

【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质和勾股定理等知识，具

有一定的难度，利用轴对称和平移的思想把所求B'C+D'C的最小值转化为求CB&B旧的最小值是解题的关

键.

三.解答题(共8小题)

19.计算：

(1)(a+b)(a—b)—(a—b)2；

xhci~-b~a+b

（2）——+-------7T+-----.

a-ba-lab+b'a-b

【答案】（1）2ab-2b2;（2）

a-b

【解析】

【分析】

（1）根据平方差公式，完全平方公式展开后相加减即可;

（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可.

【详解】（1）原式—（力+从―2,⑼

=2ab-2〃，

故答案为：2ab—2b2;

b+(a+b)(a-b)a-b

（2）原式=

a—b(tz-b\a+b

b

+1

a-b

_h+a-b

a-b

a

a-b

故答案为：.

a-b

【点睛】本题考查了整式的乘法，整式的加减计算，分式除法，分式加减计算问题，掌握整式和分式的运

算法则是解题的关键.

20.如图，Z\ABC为OO的内接三角形，NA8C的角平分线交。。于点。，过点。作OE〃AC交3c的延长

线于点E.

（1）求证：OE为。。的切线；

（2）DE=—AC,求NACB的大小.

2

【答案】(1)见解析；(2)90°

【解析】

【分析】

(1)连接OD交AC于H,因为/ABC的角平分线交。。于点D,所以/ABD=/CBD,即AO=Q)，可

得ODLAC,由DE〃AC,得ODLDE,进而得出DE为。O的切线；

(2)证明四边形CHDE为矩形，可得NACB=/E=90。.

【详解】(1)如图，连接。。交4C于从

VZABC角平分线交。。于点D,

NABD=NCBD,

,AD=CD，

：.ODLAC,

'：DE//AC,

J.ODVDE,

为。。的切线；

(2)-JODLAC,

:.CH=­AC

29

U：DE=-AC

29

：.CH=DE,

9：DE//AC,

・••四边形为平行四边形,

VZODE=90°,

・•・四边形CHOE为矩形,

AZACB=ZE=90°.

【点睛】本题考查了圆的基本性质，切线的判定，矩形的判定和性质.掌握切线的判定方法是解题的关键.

21.为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进

为理论+实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百

分制）进行整理、描述和分析（成绩用X表示，共分成4组：A.60„x<70,B.70„x<80,C.80„x<90,

D.9®100）,下面给出部分信息：

教学方式改进前抽取的学生的成绩在。组中的数据为：80,83,85,87,89.

教学方式改进后抽取的学生成绩为：72,70,76,100,98,100,82,86,95,90,100,86,84,93,88.

教学方式改进前抽取的学生成绩频数分布直方图

教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表

统计量改进前改进后

平均数8888

中位数ab

众数98C

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述图表中。，瓦c的值；

（2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明

理由（一条理由即可）；

（3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优

秀的学生人数是多少？

【答案】（1）。=87,h=88,c=100；（2）教学方式改进后学生成绩好，理由：①教学方式改进前后成

绩的平均数一样，而改进后的中位数高于改进前，说明改进后成绩好；②教学方式改进前后成绩的平均数

一样，而改进后的众数高于改进前，说明改进后成绩好；（3）估计教学方式改进后成绩为优秀的学生有140

人.

【解析】

分析】

（1）根据题意可知，抽取15人，中位数是第八个，从频数分布直方图和统计表分析即可得出结果，从改

进后的所有成绩可以得出众数；

（2）①教学方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的中位数高于改进前，说明改进后成绩好；②教学

方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的众数高于改进前，说明改进后成绩好；

（3）根据教学方式改进后成绩为优秀的学生人数占抽取人数的比，乘以总人数300即可得.

【详解】（1）根据题意，可得：a=871=88,c=100,

故答案为:87；88；100；

（2）教学方式改进后学生成绩好，理由如下（写出其中一条即可）：

理由：①教学方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的中位数高于改进前，说明改进后成绩好：

②教学方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的众数高于改进前，说明改进后成绩好，

故答案为：教学方式改进后学生成绩好；

7

（3）300x—=140（人），

15

答：估计教学方式改进后成绩为优秀的学生有140人，

故答案为：140.

【点睛】本题考查了中位数，众数的定义，依据数据的计算结果分析前后的优势，利用样本估计总体的思

想，掌握中位数，众数的定义是解题的关键.

22.定义：将一个大于。的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的

和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续

计算，例如55263f5526+12=5538,5538f553+32=585,585—58+20=78,78+13=6,所以

55263是“一刀两断”数.3247f324+28=352,35+8=43,43+13=3……4,所以3247不是“一刀

两断”数.

（1）判断5928是否为“一刀两断”数：（填是或否），并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两

断”数；

⑵对于一个“一刀两断”数加=1000a+100b+10c+d（掇打9,喷必9,礴9,（W9,a,b,c,d均为

/—c

正整数），规定G（/〃）=-----.若加的千位数字满是1领h4,千位数字与十位数字相同，且能被65整除,

a-a

求出所有满足条件的四位数加中，G（m）的最大值.

【答案】（1）是；证明见解析；（2）G（相）的最大值为45.

【解析】

【分析】

（1）根据“一刀两断”数的定义，计算即可得，设任意一个能被13整除的〃位数前〃-1位数字为尸，个

位数字为Q,则这个〃位数可表示为10P+Q=133根据定义进行推理即可证得；

（2）由m能被65整除，得出m是13的倍数也是5的倍数，可得d=0或5,分情况讨论，分别求出满足条

件的所有的m的值，代入G（〃z）中计算即可判断出.

【详解】（1）5928f592+32=624,624->62+16=78,78+13=6,所以5928是“一刀两断”数

证明：设任意一个能被13整除的〃位数前八-1位数字为P,个位数字为。，则这个〃位数可表示为

10P+Q=13后（k为正整数），

:.Q=13k-\0P,

.•.10P+Q->P+4Q=P+4（13左一10P）=524一39P=13（4左一3P）,

...10P+。是“一刀两断”数；

，任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数，

故答案为：是；

（2）;加=1000a+100〃+10c+d,机能被65整除，且2=（：,

六相既能被13整除又能被5整除.

d=0或"=5.

,.100a+10Z?+c+4J100a+10/?+alOla+lOZ?_10（a+〃）

当d=0时，------------------=--------------=----------=7a+--------,

13131313

.•・a+b是13的倍数.

・・・1领b9,涮9,

。+匕=13.

又・・•掇必4,

。=4

*<

-b=9'

m-4940.

100a+10b+c+4d100a+10b+a+2010kz+10b+20-，10(a+b+2)

当d=5时,———ICl\

13131313

.•・Q+8+2是13的倍数，

Q+/?+2=13,

•=a+6=11.

・・•掇h4,

a=2、a=3、a=4

,-或，或<

b=9b=Sb=7

/.m=2925或m=3835或m=4745.

G(4940)=—,6(4745)=45,6(3835)=—,G(2925)=一

423

.♦.G（加）的最大值为45,

故答案为：45.

【点睛】本题考查了“一刀两断”数的新定义，分类讨论的思想，5的倍数的特征数，代数式求值，理