2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共30.0分.）下列交通警告标识中，不是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是(

)A.1，2，4 B.4，5，9 C.4，6，8 D.5，5，11已知x>y，则下列不等式一定成立的是(

)A.x+1>y−1 B.x−y<0 C.−x<y D.x下列各题是真命题的是(

)A.两个等边三角形一定全等 B.形状相同的两个三角形全等

C.全等三角形的面积一定相等 D.面积相等的两个三角形全等若AM、AN分别是△ABC的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，则(

)A.AM<AG B.AG<AN C.AN≤AG D.AM≤AN某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共有(

)A.4种 B.5种 C.6种 D.7种已知点A的坐标为(a+1,3−a)，下列说法正确的是(

)A.若点A在y轴上，则a=3

B.若点A在一三象限角平分线上，则a=1

C.若点A到x轴的距离是3，则a=±6

D.若点A在第四象限，则a的值可以为−2在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8(

)A.若∠ACP=45°，则CP=5 B.若∠ACP=∠B，则CP=5

C.若∠ACP=45°，则CP=245 D.若∠ACP=∠B如图，在△ABC中，∠B>90°，CD为∠ACB的角平分线，在AC边上取点E，使DE=DB，且∠AED>90°.若∠A=α，∠ACB=β，则(

)

A.∠AED=180°−α−β B.∠AED=180°−α−12β

C.∠AED=90°−α+β如图，已知：在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，交AC于F，且CE⊥BE于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接DE.则下列结论正确的是(

)

①AG=AF；

②DE//AB；

③BF=2CE；

④AB+AF>BC；

⑤BG=2CE．A.①②③④ B.①②③⑤ C.①②④⑤ D.②③④⑤二、填空题（共6小题，共24.0分）点P(3,−4)位于平面直角坐标系中第______象限．“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是______．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB.若∠B=20°，则∠DFE等于______°.

在等腰三角形ABC中，∠B=50°，若AB<BC，则∠C=______．已知1<x<a，写一个符合条件的x(用含a的代数式表示)：______．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A>∠B，将△ABC第一次沿折痕CE折叠，使得点A能落在BC上，铺平后，将∠B沿折痕GF折叠，使点B与点A重合，FG分别交BC边，AB边于点F，点G，CD是斜边上的高线，则BFFC=______．三、解答题（共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题6.0分)

以下是圆圆解不等式组2(1+x)>−2①−(1−x)>3②的解答过程：

解：由①，得2+x>−2，

所以x>−4．

由②，得1−x>−3，

所以−x>−2，

所以x>2．

所以原不等式组的解是x>2．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．(本小题8.0分)

已知点P(3a−15,2−a)．

(1)若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4，试求出a的值：

(2)若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．(本小题8.0分)

在一次课外兴趣活动中，有一半学生学数学．四分之一学生学音乐，七分之一学生学英语，还有部分人在操场上踢球，若参加这次课外兴趣活动共有学生m人．

(1)请用含m的代数式表示在操场上踢球的人数．

(2)若还剩下不到6名学生在操场上踢球，试问参加这次课外兴趣活动共有学生多少人？(本小题10.0分)

如图，在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD=BD．

(1)求证：∠ABE=∠CAD；

(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．(本小题10.0分)

已知，如图，四边形ABCD，∠A=∠B=90 ∘，

(1)用直尺和圆规，在线段AB上找一点E，使得EC=ED，连接EC，ED(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的图形中，若∠ADE=∠BEC，且CE=3，BC=5，求AD(本小题12.0分)

如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

(1)如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，CD=BD，求证：CD是Rt△ABC的一条特异线．

(2)如图2，△ABC是一个等腰锐角三角形，AB=AC，且它是特异三角形，请求出∠A的度数．(本小题12.0分)

如图1，在等腰直角三角形ABC中，动点D在直线AB(点A与点B重合除外)上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形ECD，且∠ECD=90°，连接AE．

(1)判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由；

(2)如图2，若BD=4，P，Q两点在直线AB上且EP=EQ=5，试求PQ的长；

(3)在第(2)小题的条件下，当点D在线段AB的延长线(或反向延长线)上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．

答案和解析1.【答案】C

解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故选：C．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】C

解：A、∵1+2=3<4，∴不能够组成三角形，故本选项错误；

B、∵4+5=9，∴不能够组成三角形，故本选项错误；

C、∵6+4=10>8，∴能够组成三角形，故本选项正确；

D、∵5+5=10<11，∴不能够组成三角形，故本选项错误．

故选C．

根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

3.【答案】A

解：A.∵x>y，

∴x+1>y+1，

∴x+1>y−1，原变形正确，故本选项符合题意；

B.∵x>y，

∴x−y>0，原变形错误，故本选项不符合题意；

C.∵x>y，

∴−x<−y，原变形错误，故本选项不符合题意；

D.∵x>y，

∴xy>0，必须规定y≠0，原变形错误，故本选项不符合题意．

故选：A．

根据不等式的性质解答．

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以4.【答案】C

解：两个等边三角形一定相似，但不一定全等，如一个等边三角形三边为2，2，2，另一个等边三角形是3，3，3，故选项A中的命题是假命题；

形状相同的两个三角形相似，但不一定全等，如一个边长为2的等边三角形和一个边长为3的等边三角形，故选项B中的命题是假命题；

全等三角形的面积一定相等，故选项C中的命题是真命题；

面积相等的两个三角形不一定全等，如同底边，等高的两个三角形，故选项D中的命题是假命题；

故选：C．

根据各个选项中的说法可以判断是否为真命题，从而可以解答本题．

本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个选项中的命题的真假．

5.【答案】D

解：∵线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，

根据垂线段最短可知：AM≤AN，AM≤AG，

故选：D．

根据垂线段最短解答即可．

本题考查了三角形的角平分线、高线和中线，根据垂线段最短判断高线小于等于中线和角平分线是解题的关键．

6.【答案】C

解：设买软件x片，磁盘y盒，x取正整数，

得：70x+80y≤530，

不相同的选购方式有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，共6种方案．

故选：C．

本题先由题意找出不等关系列出不等式组为得：70x+80y≤530x≥3y≥2，解出即可．

7.【答案】B

【解析】【分析】

依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．

本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0．

【解答】

解：A.若点A在y轴上，则a+1=0，解得a=−1，故本选项错误；

B.若点A在一三象限角平分线上，则a+1=3−a，解得a=1，故本选项正确；

C.若点A到x轴的距离是3，则|3−a|=3，解得a=6或0，故本选项错误；

D.若点A在第四象限，则a+1>0，且3−a<0，解得a>3，故a的值不可以为−2；

故选：B．

8.【答案】D

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，

∴AB=AC2+BC2=82+62=10，

若∠ACP=45°，则CP是∠ACB的平分线，

∵AC≠BC，

∴CP≠12AB=5，故A选项错误；

若∠ACP=∠B时，

∵∠BCP+∠ACP=90°，

∴∠BCP+∠B=90°，

∴CP⊥AB，

∴CP=AC⋅BCAB=6×810=9.【答案】A

解：如图，在AC上截取CF=BC，

∵CF=BC，∠ACD=∠BCD，CD=CD，

∴△BDC≌△FDC(SAS)

∴∠ABC=∠CFD，DF=BD

∵BD=DE

∴DE=DF

∴∠DEF=∠DFE，

∴∠AED=∠CFD

∴∠AED=∠DBC=180°−∠A−∠ACB=180°−α−β

故选：A．

在AC上截取CF=BC，根据全等三角形的性质可得BD=DF=DE，可得∠AED=∠ABC，根据三角形的内角和可求解．

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10.【答案】B

解：①在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，

∴∠ABF=∠FBC，

∴∠ABF+∠AFB=90°，

又∵AD是等腰Rt△ABC的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠FBC+∠BGD=90°，

∴∠BGD=∠AFB，

又∵∠BGD=∠AGF，

∴∠AGF=∠AFB，

∴AG=AF，

故①正确；

②∵CE⊥BE，D是BC的中点，

∴BD=DE，

∴∠BDE=∠BED，

∴∠EDC=2∠DBE=45°，

∴∠ABC=∠EDC，

∴AB//DE，

故②正确；

③如图，延长BA，CE交于点H，

则∠BAC=∠HAC=90°，

∠ABF+∠AFB=90°，

∠EFC+∠ACH=90°，

又∵∠AFB=∠EFC，

∴∠ABF=∠ACH，

又∵AB=AC，

在△ABF与△ACH中，

∠BAC=∠HACAB=AC∠ABF=∠AOH，

∴△ABF≌△ACH(ASA)，

∴BF=CH，

又∵BE平分∠ABC，且BE⊥HC，

∴△BCH是等腰三角形，

∴HE=EC，

∴CH=2EC，

∴BF=2CE，

故③正确；

④由③知，AF=AH，

∴AB+AF=BH，

又∵△BCH是等腰三角形，

∴BH=BC，

∴AB+AF=AC，

故④错误；

⑤如图，连接GC，

∵AD垂直平分BC，

∴BG=GC，

∴∠GBC=∠GCB=12×45°=22.5°，

∴∠GCF=22.5°，

又∵∠ECF=∠ABF=22.5°，

∴∠ECG=45°，

∴△GCE是等腰直角三角形，

∴GC=2EC，

∴BG=2CE，

故⑤正确，

故选：B．

①根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠AGF=∠AFB，则AG=AF，故①正确；

②根据直角三角形斜边上中线的性质得BD=DE，再利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可得DE//AB，故②正确；

③延长BA，CE交于点H，利用ASA证明△ABF≌△ACH，得BF=CH，可说明③正确；

④由③知，AF=AH，则AB+AF=BH，可知④错误；

⑤连接GC，说明△GCE是等腰直角三角形，则11.【答案】四

解：已知点P(3,−4)，则点P位于平面直角坐标系中的第四象限，

故答案为：四．

根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．

本题考查了坐标确定位置，点的坐标，熟记各象限内点的坐标规律是解题关键．

12.【答案】三个内角都等于60°的三角形是等边三角形

解：命题“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”．

故答案为：三个内角都等于60°的三角形是等边三角形．

逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．

本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大．

13.【答案】60

解：由直角三角形性质知，

∵E为AB之中点，

∴CE=AE=BE，(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，

∴∠ACF=70°，

又∵AD=DB，

∴∠B=∠BAD=20°，

∴∠FAC=50°，

∴在△ACF中，

∠AFC=180°−70°−50°=60°，

∴∠DFE=∠AFC=60°．

故答案为，60

由直角三角形的性质知，中线CE=AE=BE，所以∠EAC=∠ECA，∠B=∠BCE，由三角形内角和即可求得．

本题考查了直角三角形的性质，是基础题．

14.【答案】50°

解：∵AB<BC，

∴∠B是底角，

①当∠B=∠A=50°时，∠C=80°，此时AB>BC，不符合题意；

②当∠B=∠C=50°时，条件成立；

综上，∠C=50°．

故答案为：50°．

先根据等腰三角形的性质和条件：AB<BC，确定∠B=∠C=50°即可．

本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论．

15.【答案】1+a2(答案不唯一解：∵1<x<a，

∴x=1+a2(答案不唯一)．

故答案为：1+a2(答案不唯一)．

根据题目可知：符合条件的x必须介于1和a之间，即可得出答案．

本题考查列代数式，该题限定了x必须介于16.【答案】2

解：连接AF，如图，

∵∠ACB=90°，CD是斜边上的高线，

∴∠CAB+∠B=90°，∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B，

∵∠DCE=∠B，

∴∠ACD=∠DCE=∠B，

由折叠可知，CE是△ABC的角平分线，FG是边AB的垂直平分线，

∴∠ACE=45°，即2∠B=45°，

FA=FB，

∴∠FAB=∠B，

∴∠CFA=∠FAB+∠B=2∠B=45°，

∴△CAF为等腰直角三角形，

∴AF=2CF，

∴BF=2CF，

即BFCF=2．

故答案为：2．

连接AF，如图，先证明∠ACD=∠DCE=∠B，再利用CE是△ABC的角平分线得到2∠B=45°，接着根据线段垂直平分线的性质得到FA=FB，则∠CFA=2∠B=45°，于是可判断17.【答案】解：以上解答过程有错误，

正确解答如下：

由①，得：2+2x>−2，

∴x>−2，

由②，得：−1+x>3，

∴x>4，

所以原不等式组的解集为x>4．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】解：(1)由点P(3a−15,2−a)位于第四象限，

∴3a−15>02−a<0，

解得a>5，

∵点P到x轴的距离是4，

得|2−a|=4，

2−a=4或2−a=−4，

解得a=−2(不合题意，舍去)或6；

(2)∵点P(3a−15,2−a)位于第三象限，

∴3a−15<02−a<0，

解得：2<a<5.因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a=3或4，

当a=3时，点P(−6,−1)，

当a=4时，点P(−3,−2)．

综上所述，点P的坐标为(−6,−1)【解析】(1)根据第四象限的点的纵坐标为负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可．

(2)根据不等式组解决问题即可．

本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程或不等式组解决问题，属于中考常考题型．

19.【答案】解：(1)∵参加这次课外兴趣活动的学生共有m人，根据“有一半学生学数学，14学生学音乐，17学生学英语，

∴在操场上踢足球人数为：m−12m−14m−17m=328m(人)，

答：在操场上踢球的人数为328m人；

(2)依题意得(1−12−14−17)m<6，【解析】(1)参加这次课外兴趣活动的学生共有m人，根据“有一半学生学数学，14学生学音乐，17学生学英语，在操场上踢足球人数为：m−12m−14m−17m，计算整理即可；

(2)依题意得(1−12−14−120.【答案】(1)证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，

∴∠BEC=∠ADC=90°，

∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，

∴∠EBC=∠DAC，

∴∠ABE=∠DAC；

(2)解：AB=BD+HD，理由如下：

在△ADC和△BDH中，

∠DAC=∠DBEAD=BD∠ADC=∠BDH，

∴△ADC≌△BDH(ASA)，

∴DH=DC，

∴BD+DH=DB+DC=BC=AB【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论；

(2)由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH=DC，即可得结论．

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图，

(2)∵△EBC是直角三角形，CE=3，BC=5，

∴BE=CE2−BC2=9−5=2，

在RT△DAE和RT△EBC中，

∠A=∠B∠ADE=∠BEC【解析】(1)利用作线段垂直平分线的方法，即可确定点E．

(2)先利用勾股定理求出BE的长，再利用RT△DAE≌RT△EBC即可求出AD的长．

本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线及勾股定理，解题的关键是熟记作线段垂直平分线的方法．

22.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=BD，

∴∠B=∠BCD，

∴∠A=∠ACD，

∴AD=CD，

∴CD是Rt△ABC斜边上的中线，

∴CD=BD=AD=12AB，

∴△CDB和△ADC是等腰三角形，

∴CD是Rt△ABC的一条特异线；

(2)当△ABC是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形：

如图1，∵AB=AC，AD=BD=BC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

设∠A=x，

则x+2x+2x=180°，

解得x=36°，

∴∠A=36°，

如图2，∵AB=AC，AD=BC，BC=CD，

∴∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠CDB=∠CBD，

∵∠CDB=∠A+∠ABD=2∠A，

设∠A=x，

则2x+2x+3x=180°，

解得x=(1807)°．

∴∠A=(1807)°．

故【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论；

(2)当△ABC是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形，如图1，如图2，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，正确地理解题