控制系统数学模型()

自动控制原理

第二章控制系统的数学模型§2-1拉普拉斯变换有关知识§2-2传递函数§2-3动态结构图及其等效函数§2-4典型环节的传递函数§2-5自动控制系统的传递函数§2-6MATLAB应用

自动控制原理课程的任务与体系结构§2控制系统的数学模型自动控制原理时域模型—微分方程复域模型—传递函数§引言数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式

建模方法

解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程

实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换建立数学模型的一般方法(举例)例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输入变量的运动方程。RLCur(t)uc(t)i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律

由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)

（两边求导）根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：1）确定系统的输入、输出变量；2）根据已知的电学、物理或化学定律，写出系统过程的微分方程；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。

复习拉普拉斯变换有关内容（1）1复数有关概念

（1）复数、复函数复数复函数例1（2）模、相角（3）复数的共轭

（4）解析

若F(s)在s点的各阶导数都存在，则F(s)在s点解析。模相角

复习拉普拉斯变换有关内容（2）2拉氏变换的定义

像原像3常见函数的拉氏变换（1）单位阶跃信号

数学表达式 时间波形由拉氏变换定义式单位阶跃信号的导数（2）单位斜坡信号数学表达式 时间波形由分部积分公式（3）等加速函数数学表达式为

其拉氏变换为

（4）指数函数e-at数学表达式为

其拉氏变换为

（5）正弦函数（6）单位脉冲信号数学表达式 时间波形令所以

复习拉普拉斯变换有关内容（3）（1）线性性质4拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理证明：0初条件下有：

复习拉普拉斯变换有关内容（3）例1求解.例2求解.

复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）积分定理零初始条件下有：进一步有：

例3求L[t]=?

解.例4求解.

复习拉普拉斯变换有关内容（3）（4）位移定理证明：例5解.令

复习拉普拉斯变换有关内容（3）（5）初值定理证明：由微分定理例6

复习拉普拉斯变换有关内容（3）（6）终值定理证明：由微分定理例7（终值确实存在时）例8用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：①对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是t=0-时的值。②解代数方程，求出象函数的表达式。③用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换

课程小结1拉氏变换的定义

（2）单位阶跃2常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数

课程小结（2）微分定理3L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理自动控制原理

本次课程作业（3）

2—1,2,3附加作业:1已知f(t)，求F(s),求f(0),f(∞)。谢谢！

§2.2.1线性元部件及系统的微分方程（3）反馈口：放大器：电动机：减速器：绳轮：电桥：消去中间变量可得：例4X-Y记录仪控制系统的数学模型课程小结(1)时域模型—微分方程元部件及系统微分方程的建立线性定常系统微分方程的特点非线性方程的线性化微分方程求解§2.2控制系统的数学模型—微分方程§2.2.1线性元部件及系统的微分方程例1R-L-C串连电路§2.2.1线性元部件及系统的微分方程（1）例2弹簧—阻尼器系统§2.2.1线性元部件及系统的微分方程电磁力矩：

—安培定律电枢反电势：

—楞次定律电枢回路：

—克希霍夫力矩平衡：

—牛顿定律电机时间常数电机传递系数消去中间变量i,Mm,Eb可得：例3电枢控制式直流电动机§2.2.2非线性系统微分方程的线性化（举例1）取一次近似，且令

既有

例5已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。解.

在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数§2.2.2非线性系统微分方程的线性化（举例2）解.在处泰勒展开，取一次近似

代入原方程可得在平衡点处系统满足

上两式相减可得线性化方程

例6某容器的液位高度h与液体流入量Q满足方程