2022-2023学年上海市长宁区虹桥中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市长宁区虹桥中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A．10m B．25m C．100m D．10000m3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥ B．＝，＝ C．＝ D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD＝（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么＝．8．化简：＝．9．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝．10．已知，，且与的方向相反，则＝.（用表示）11．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，2），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．12．在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则＝.（结果用，表示）13．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△ABF：S△DEF＝．14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，AB＝2，则AC＝．15．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，则EF＝．16．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．设AD＝x．（1）BG＝；CH＝；（用x的代数式表示BG、CH）（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．

参考答案一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案．解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A．10m B．25m C．100m D．10000m【分析】设A、B两地间的实际距离为xm，根据比例线段得＝，然后解方程即可．解：设A、B两地间的实际距离为xm，根据题意得＝，解得x＝100．所以A、B两地间的实际距离为100m．故选：C．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥ B．＝，＝ C．＝ D．【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．解：A、由于∥，所以、的方向相同，由于∥，故、的方向相同，所以∥，故本选项正确；B、因为＝，所以和的方向相同，由于＝，所以、、的方向相同，所以∥，故本选项正确；C、因为＝，所以、的方向相反，故∥的，故本选项正确；D、因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查的是向量平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a【分析】根据直角三角形的边角关系进行计算即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD＝（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．【分析】先证明Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，又∠CAD＝∠BAC，∠ACB＝90°，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴＝，∵BC：AC＝2：3，∴CD：AD＝2：3，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A＝∠C＝60°，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么＝．【分析】已知，设a＝k，b＝3k，代入求值的代数式化简即可．解：∵，设a＝k，b＝3k，∴＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确设出a和b的值进行化简．8．化简：＝+4．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号法则．解：＝3+6﹣2﹣2＝+4．故答案为：+4．【点评】此题考查了平面向量的加减运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是关键．9．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝﹣1．【分析】直接根据黄金分割的定义求出PB的长即可．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜PB，AB＝2，∴PB＝AB＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．10．已知，，且与的方向相反，则＝﹣.（用表示）【分析】根据两个向量的模的数量关系和方向解答即可．解：∵，，∴||＝||，∵与的方向相反，∴＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量是既有大小，又有方向的．11．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，2），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．【分析】如图，过点P作PH⊥x轴于点H．证明∠POH＝45°，可得结论．解：如图，过点P作PH⊥x轴于点H．∵P（2，2），∴OH＝PH＝2，∴∠POH＝45°，∴α＝45°，∴cosα＝，故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．12．在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则＝.（结果用，表示）【分析】根据平行四边形法则得出，再根据三角形中位线定理得出EF＝，即可求解．解：如图，连接DB，∵，，∴，∵点E，F是边CD，BC边的中点，∴EF＝，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键．13．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△ABF：S△DEF＝25：4．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2，∵DE：EC＝2：3，∴DE：CD＝DE：AB＝2：5，∴S△ABF：S△DEF＝25：4．故答案为：25：4．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，AB＝2，则AC＝．【分析】根据中线的定义得出AD＝DB＝AB＝1，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵CD是边AB上的中线，AB＝2，∴AD＝DB＝AB＝1，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB，∴AC2＝2，∵AC＝或AC＝﹣（舍去），故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，则EF＝4.5．【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，代入可求得答案．解：∵AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，∴＝，即＝，解得EF＝4.5．故答案是：4.5．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是36．【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论．解：∵DG∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，∴，即，∴DE＝6，∴DG＝2DE＝12，∴矩形DEFG的周长＝2×（6+12）＝36．故答案为：36．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是2．【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得CD＝6，由重心的性质即可得到，DH＝3，进一步证明△AFG∽△ADH，得，即可求解．解：设直线AG与BC的交点为H，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADB＝90°，D是BC的中点，∴BD＝CD＝＝＝6，∵CE是AB边的中点，AD是BC边中点，∴点F是△ABC的重心，∴AF：FD＝1：2，∴AF：AD＝2：3，∵点G是△ADC的重心，∴DH＝DC＝3，，∴，又∵∠FAG＝∠DAH，∴△AFG∽△ADH，∴，∴FG＝DH＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于能熟练重心的性质．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝2或．【分析】设AB＝5a，BC＝3a，由锐角三角函数和勾股定理可求AC＝4a，由旋转的性质可求A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，分两种情况讨论，求出A'C'的长，即可求解．解：∵∠C＝90°，sinA＝＝，∴设AB＝5a，BC＝3a，∴AC＝＝4a，∵将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，∴A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，如图1，当点C落在线段AB上时，则AC'＝AB﹣BC'＝2a，∴tan∠BAA′＝＝2，如图2，当点C落在线段AB的延长线上时，则AC'＝AB+BC'＝8a，∴tan∠BAA′＝＝，故答案为：2或．【点评】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．解：原式＝＝＝＝3+2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】首先利用平面向量的运算法则，将原式化简，即可得原式＝2﹣；然后利用三角形法则，即可求得2﹣．解：原式＝，＝．作法：①作＝2，＝，②连接AC，则即为所求，即＝2﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握平面向量的运算法则．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DFA，∴，∴．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴，∴DE＝9．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴，∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11．【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．【分析】（1）解直角三角形求出AB，BE，可得结论；（2）根据余切值的定义求出，CH，EH，可得结论．解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3，∵AC＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵DE⊥AB，在Rt△DEB中，cosB＝＝，∴BE＝，在Rt△ACB中，AB＝AC＝4，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣＝．（2）过点E作EH⊥AC于H．在Rt△AHE中，cosA＝＝，∴AH＝×＝，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣＝，∴EH＝AH＝，在Rt△CHE中，cot∠ECH＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．【分析】（1）通过证明△AEC∽△FEB，根据相似三角形的性质可得结论；（2）通过证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵BD和CE分别是边AC、AB上的高，∴∠AEC＝∠BDA＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°＝∠A+∠ABD，∴∠ACE＝∠ABD，又∵∠AEC＝∠BEF＝90°，∴△AEC∽△FEB，∴＝；（2）如图，连接AF，∵△AEC∽△FEB，∴＝，∴＝，又∵∠AEC＝∠FEB＝90°，∴△AEF∽△CEB，∴＝，∴AF•BE＝BC•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，