北师大版高中数学选修22数学归纳法

北师大版高中数学选修22数学归纳法第1页/共46页1、问题情境一问题

1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

完全归纳法

不完全归纳法

第2页/共46页1、问题情境二费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．第3页/共46页归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法第4页/共46页1、问题情境三

多米诺骨牌课件演示

第5页/共46页1、问题情境三

如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）

第6页/共46页定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0(n0

N*，例如n0

=1)

时命题成立(归纳奠基）；

2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做______________。数学归纳法2、数学归纳法的概念第7页/共46页验证n=n0时命题成立假设n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳递推命题对从n0开始所有的正整数n都成立第8页/共46页3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角函数方面（4）整除性（5）几何方面（6）计算、猜想、证明第9页/共46页情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳问题情境思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？第10页/共46页证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例证明：数学运用递推基础递推依据②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。第11页/共46页如果是等差数列，已知首项为，公差为，那么对一切都成立．证明：（1）当n=1时，等式是成立的．（2）假设当n=k时等式成立，就是那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何都成立．练习1

用数学归纳法证明：递推基础递推依据第12页/共46页练习2

用数学归纳法证明

证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即递推基础递推依据那么当n=k+1时，第13页/共46页用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．

递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”“综合（1）、（2），……”不可少！注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。第14页/共46页用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。第15页/共46页分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：练习3纠错!第16页/共46页（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即

2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有

2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！第17页/共46页这就是说，当n=k+1时,命题也成立.没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

第18页/共46页证明①当n=1时,左边=,这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

第19页/共46页

这不是数学归纳法第20页/共46页（3）（纠错题）

2n>n2(nN*)证明：①当n=1时，21>12,不等式显然成立。②假设当n=k时等式成立，即2k>k2,那么当n=k+1时，有2k+1=22k=2k+2k>k2+k2k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。第21页/共46页

因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。第22页/共46页思考：步骤

(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是此时n取的第一值第23页/共46页练习巩固

1、

用数学归纳法证明：“”在验证

n=1成立时，左边计算所得的结果是（

）

A．1 B.C．

D.

2.已知:,则等于()A:B:C:D:CC第24页/共46页3.

用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝

练习巩固

4、用数学归纳法证明：

5．求证:当n∈N*时，第25页/共46页3.用数学归纳法证明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

练习巩固

从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝则当n=k+1时，

+＝=∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

=1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立第26页/共46页练习巩固

4、用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时，左边=1,右边===1.命题成立

(2)假设n=k时命题正确，即

则当n=k+1时,

=+

=

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

提什么好呢?注意结论的形式

第27页/共46页练习巩固

5．求证:当n∈N*时，证明:

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。(1)当n=1时，左边=;右边∴左边=右边，∴n=1时，命题成立。(2)假设n=k时命题正确，即:

当n=k+1时，

左边=

第28页/共46页证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.(二)不等式证明:例1、第29页/共46页例2：利用数学归纳法证明不等式第30页/共46页(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：练习(1)用数学归纳法证:

D第31页/共46页(2)用数学归纳法证:

(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：Ａ.１项Ｂ.项Ｄ.项Ｃ.项Ｃ第32页/共46页(3)整除性问题例：证明42n+1+3n+2(n∈N*)能被13整除。证明：1）n=1时：42×1+1+31+2=91，能被13整除。

2）假设当n=k(k∈N)时,42k+1+3k+2能被13整除，当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2=4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-13•3k+2…………()∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。∴42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。……核心步骤多退少补（密诀）第33页/共46页练习1：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。证明：1）n=1时：

x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。2）假设当n=k(k∈N)时有x2k-y2k能被x+y整除,当n=k+1时由1）、2）可知，对一切n∈N，x2n-y2n都能被x+y整除。

=(x2k-y2k)•x2+y2k(x2-

y2)………（）∵(x2k-y2k)和(x2-

y2)都能被x+y整除，∴（）式也能被x+y整除。即：n=k+1时命题也成立……核心步骤多退少补（密诀）第34页/共46页练习2求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,当n=k+2时:xk+2+yk+2=xk•x2+yk•y2

=xk•x2+yk•x2-yk•x2+yk•y2=(xk+yk)•x2-yk(x2-y2)=(xk+yk)•x2-yk(x-y)(x+y),

∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除，即当n=k+2时命题仍成立。

由1）、2）可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。第35页/共46页（4）归纳—猜想—证明（求数列的通项公式）第36页/共46页（5）数学归纳法证明几何问题.例：平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个部分.第37页/共46页1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线------的条数f(n+1)=f(n)+_________.练习第38页/共46页（6）用数学归纳法证明探究性问题点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.第39页/共46页2.是否存在常数a、b,使得等式:

对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:第40页/共46页(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)