流动在撕裂模非线性增长中扮演的角色

流动在撕裂模非线性增长中扮演的角色1第一页，共五十二页，2022年，8月28日

研究背景与动因几种模型之综述本文模型及方程发展方程和特例

初步结论和讨论主要内容2第二页，共五十二页，2022年，8月28日托卡马克放电过程中，撕裂模是造成大破裂的最危险的MHD不稳定性之一。实验和模拟表明极向平衡剪切流有可能抑制撕裂模不稳定性的增长，并触发内部输运垒的形成。研究背景和动因3第三页，共五十二页，2022年，8月28日而在空间方面，磁重联是造成太阳耀斑能量强烈释放的主要原因。同时，一些观测发现在耀斑足点之间存在着非常大的剪切流。研究背景和动因4第四页，共五十二页，2022年，8月28日1975年，Hofmann采用小参量展开的方法，发现剪切流对电阻撕裂模不稳定性可以有退稳作用或增稳作用，主要取决于流体剪切和磁场剪切的方向。1990年，Chen和Morrison发展了上述方法，发现在常近似下撕裂模稳定性取决于流剪切与磁剪切之比，随着比值从小到大，模从失稳、增长率变大到稳定。与此同时，Einaudi等人和Ofman等人的数值计算表明剪切流使KH-撕裂模退稳，但使纯撕裂模增稳。研究背景和动因5第五页，共五十二页，2022年，8月28日1992年，X.L.Chen

曾讨论了在有剪切流时两个线性撕裂模的非线性相互作用，导出了四幅度方程，并且通过分岔理论寻找可能的不同时间渐近态。1993年，Ofman等人数值模拟了有平衡剪切流和粘滞时撕裂模的非线性发展，表明剪切流可以减小撕裂模的饱和磁岛宽度。2003年，董家齐等人分析了反常电子粘滞双撕裂模的线性增长，表明两个奇异层之间的极向扰动速度有剪切，认为这也许是触发内部输运垒的机制。研究背景和动因6第六页，共五十二页，2022年，8月28日研究背景和动因由于非线性偏微分方程组的复杂性，很少有人解析地讨论流动在撕裂模非线性增长中扮演的角色。因为Rutherford的非线性撕裂模理论采取磁面平均的方法湮灭了流函数，使其无法处理含流动的问题；也因此必须去掉惯性项，故不能包含线性阶段。因为White的撕裂模非线性饱和理论干脆用磁面平均将对流项湮灭掉，使人误以为扰动流对撕裂模的非线性增长不起作用。7第七页，共五十二页，2022年，8月28日研究背景和动因1995年，我们建立了撕裂模不稳定性的准线性模型。不需要进行磁面平均故而可以处理含流动的物理问题。包含了惯性项所以同时适用于线性和非线性阶段。本文将在常近似下利用准线性模型考虑平衡剪切流对电阻撕裂模线性增长和非线性演化的影响。8第八页，共五十二页，2022年，8月28日

研究背景与动因

几种模型之综述本文模型及方程发展方程和特例

初步结论和讨论主要内容9第九页，共五十二页，2022年，8月28日线性撕裂模的物理模型扰动磁场Bx1产生感应电流Jz1，一方面产生Lorentz力

Jz1By0，形成磁岛；另一方面产生电场Ez1，驱动

涡流

F1

，使Jz1进一步增大。可见，涡流

F1

在撕裂模不稳定性中起重要作用。10第十页，共五十二页，2022年，8月28日y

线性撕裂模在奇异层中的结构

x扰动磁场Bx1平衡磁场By线性力

jz1By涡流磁面平衡磁场By扰动磁场Bx111第十一页，共五十二页，2022年，8月28日电阻MHD方程组

取12第十二页，共五十二页，2022年，8月28日磁通函数取为速度流函数取为

其中m

和

n

代表极向和环向的模数扰动函数取成线性撕裂模的物理模型13第十三页，共五十二页，2022年，8月28日扰动磁通和扰动涡量的方程

其中安全因子14第十四页，共五十二页，2022年，8月28日y

内区

rs求解撕裂模方程的边界层方法

外区

外区d

a

015第十五页，共五十二页，2022年，8月28日内区为奇异层，扰动函数及其一阶导数与二阶导数相比均可忽略，与二阶导数相连的电阻率仅在内区起作用，求出模方程的内区解和。奇异层外区则电阻和惯性均可忽略，求出模方程的外区解和阶跃。通过渐进匹配求出色散关系。

求解撕裂模方程的边界层方法

16第十六页，共五十二页，2022年，8月28日内区方程

常Y近似

17第十七页，共五十二页，2022年，8月28日外区方程

渐近匹配

18第十八页，共五十二页，2022年，8月28日Rutherford模型涡流

F1

感应出非线性电流

dJ0

和非线性Lorentz力

dJ0Bx1

，非线性力提供了抵抗涡流F1的力矩，故而使得撕裂模由指数增长变为代数增长。当岛宽大于奇异层宽度时，涡流足够大，产生之扰动电流导致的力矩dJ0By0变成主要阻尼机制。19第十九页，共五十二页，2022年，8月28日y

非线性撕裂模在奇异层中的结构

磁面非线性力

djzBx1x扰动磁场Bx1平衡磁场By线性力

jz1By涡流平衡磁场By扰动磁场Bx120第二十页，共五十二页，2022年，8月28日Rutherford模型21第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日Rutherford模型22第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日本人1995年的模型除了Rutherford考虑的由非线性电流dJ0

产生的非线性Lorentz力

dJ0Bx1，还加上了非线性磁场dB0产生的与线性力反向的非线性Lorentz力

dB0Jz1。采用标准的准线性方法，不需要进行磁面平均，直接求解磁通函数和流函数的偏微分方程组，故而可以处理含流动的物理问题。可以保留惯性项，所以同时适用于线性和非线性阶段，略去非线性项之后可回到线性理论。23第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日y

非线性撕裂模在奇异层中的结构

磁面x扰动磁场Bx1平衡磁场By线性力

jz1By涡流非线性力

djzBx1平衡磁场By扰动磁场Bx1非线性力

dByJz124第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日量级标定1995年的模型Linearphase: g0~h3/5,

d0~h2/5

Noninearphase:,

~d2,;

NL~L

线性阶段

g0~h3/5,

d0~h2/5,非线性阶段

~d2,25第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日磁通函数取为速度流函数取为扰动函数取成1995年的模型26第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日扰动磁通和准线性磁通的方程

27第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日扰动涡量的方程

28第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日内区方程组

（1）（2）（3）为避免重复，解法就不讲了

29第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日

研究背景与动因几种模型之综述本文模型及方程发展方程和特例

初步结论和讨论主要内容30第三十页，共五十二页，2022年，8月28日含平衡剪切流的准线性MHD方程组

磁通函数取为速度流函数取为扰动函数取成31第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日扰动磁通和准线性磁通的方程

32第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日扰动涡量的方程

33第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日采用格林函数的方法（1）内区方程组的求解

34第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日内区方程组

（1）（2）（3）35第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日如果把

取成一个常数，它就可以跟时间微分合在一起而作为一个整体的新算符出现：

算符

此时能够简单地把平衡流

带来的影响归结为增加了一项多普勒频移。内区方程组的求解

假设

其目的是降低方程组维数，保留非线性效应。36第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日采用格林函数的方法（1）内区方程组的求解

37第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日平均值定理内区方程组的求解

38第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日从方程减去其自身的共轭内区方程组的求解

（2）设39第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日（2）+（2）*（3）+（3）*内区方程组的求解

40第四十页，共五十二页，2022年，8月28日如果能够采用分离变量方法消去空间变量，则可以得到完整地描述撕裂模线性增长和非线性阶段演化的发展方程。内区方程组的求解

41第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日引入伸展变量X=x/d

(t)，构造特解形式并且满足则可得到发展方程。后面将分别讨论两种极限情况。内区方程组的求解

42第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日（4）（5）外区方程组

43第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日

研究背景与动因几种模型之综述

本文模型及方程

发展方程和特例

初步结论和讨论主要内容44第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日线性撕裂模的增长45第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日非线性撕裂模的演化

剪切流使得奇异层变宽，奇异性变小。46第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日如果只考虑Rutherford的效应，则非线性撕裂模的演化

得到描述撕裂模非线性阶段演化的发展方程。47第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日

研究背景与动因几种模型之综述本文模型及方程发展方程和特例

初步结论和讨论主要内容48第四十八页，共五十二页，2022年，8月28日导出了包含平衡剪切流的撕裂模发展方程，在线性和非线性阶段都出现了与平衡流剪切相关的影响因子。

初步结论和讨论其中第一项为磁场剪切项，是撕裂模的驱动源；第二项为平衡剪切流项，不论方向如何均起抑制作用。49第四十九页，共五十二页，2022年，8月28日流剪切比磁剪切小得多，则回到经典的结果；

初步结论和讨论流剪切比磁剪切略小，则撕裂模增长变慢；