玻色统计和费米统计

玻色统计和费米统计第一页，共四十页，2022年，8月28日前言三种粒子系统非简并性条件（经典极限条件）玻耳兹曼统计的成功玻耳兹曼统计的遗留问题1，金属固体的热容量/低温固体的热容量2，空腔热辐射问题中的“紫外灾难”第二页，共四十页，2022年，8月28日第1节热力学量的统计表达式回忆：玻耳兹曼统计方法：

1，计算配分函数Z；

2，通过配分函数计算热力学函数设想：量子统计方法：1，计算巨配分函数；2，通过巨配分函数计算热力学函数第三页，共四十页，2022年，8月28日一，巨配分函数考虑玻色分布则内能假设对比两式，则：[ksai]：称为巨配分函数第四页，共四十页，2022年，8月28日二，平均粒子数和广义力对比巨配分函数平均粒子数广义力对于PVT系统第五页，共四十页，2022年，8月28日三，熵和因子α用类似玻耳兹曼系统的方法，可计算出玻色系统的熵其中说明：1，对于玻色系统，可通过巨配分函数计算基本热力学函数U,P,S2，再通过基本热力学函数计算出其它热力学量第六页，共四十页，2022年，8月28日四，热力学公式玻色系统费米系统巨配分函数内能广义力/状态方程熵第七页，共四十页，2022年，8月28日第2节弱简并玻色气体和费米气体什么叫弱简并性气体？简并性气体？非简并性气体？弱简并性气体的内能有何特点？在体积V内，dε范围内的微观状态数：则系统粒子数为：“＋”表示费米气体，“－”表示玻色气体

g表示因自旋引起的状态增加第八页，共四十页，2022年，8月28日系统的内能为：方便推导起见，令x=βε

考虑代入N和U的积分，即可得到：第九页，共四十页，2022年，8月28日即：说明：1：在弱简并情况下，内能表达式分为两部分。2：在玻耳兹曼分布的基础上，考虑到系统的弱简并性（此时玻色分布和费米分布不能通过简并性条件利用玻耳兹曼分布的结果），增加了一项附加内能。3：对于费米系统，附加内能为正；对于玻色系统，附加内能为负。

第十页，共四十页，2022年，8月28日第3节光子气体一，空腔热辐射（普朗克公式）有关概念：1，“紫外灾难”2，热辐射，黑体，绝对黑体，黑体辐射，空腔辐射场第十一页，共四十页，2022年，8月28日光子气体电磁辐射场光子气体光子是一种准粒子其中k称为波矢，是电磁波方向2π长度上的波数。光子的自旋为s=1，为玻色子.玻色系统单态平均粒子数：

光子系统有其特殊性第十二页，共四十页，2022年，8月28日光子系统的平均粒子数普朗克公式第十三页，共四十页，2022年，8月28日光子系统的平均粒子数普朗克公式普朗克公式的意义1，瑞利-金斯用传统理论推导出辐射能量正比于此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的基础。2，普朗克公式考虑光能量按hν传播——量子力学的萌芽。第十四页，共四十页，2022年，8月28日光子系统的平均粒子数普朗克公式普朗克公式极限情况1，低频2，高频－瑞利-金斯公式，导致“紫外灾难”－维恩公式，1896年第十五页，共四十页，2022年，8月28日二，光子气体的热力学量可根据玻色分布的理论，先求巨配分函数，然后再求热力学量。可利用普朗克公式直接求出系统的内能。内能密度的最大值－维恩位移定律，1893年第十六页，共四十页，2022年，8月28日第4节玻色－爱因斯坦凝聚典型的玻色系统——光子气体一般性的玻色系统有什么性质？第十七页，共四十页，2022年，8月28日一，爱因斯坦凝聚

费米系，温度0K时，粒子不集中在基态玻色系，温度0K时，粒子都处于基态，基态粒子数N0=NT>0K时，N0=N-N’。N0与N可相比拟T>Tc时，N0趋于零，N’趋于N反过来，当T<Tc时，玻色子会向基态凝聚

—称为爱因斯坦凝聚。Tc—凝聚温度，临界温度第十八页，共四十页，2022年，8月28日基态与激发态发生爱因斯坦凝聚时粒子数的变化第十九页，共四十页，2022年，8月28日二，化学势

玻色系单量子态上的平均粒子数为

第二十页，共四十页，2022年，8月28日三，基态上的粒子数而当系统温度大于临界温度时，基态粒子数可忽略不计

第二十一页，共四十页，2022年，8月28日四，凝聚温度

五，玻色气体的热容量

第二十二页，共四十页，2022年，8月28日六，He4的相变

1938年London用类比的方法解释He4的超流动性1995年实现了碱金属87Rb,23Na和7Li蒸汽的玻色凝聚。

考虑高温时cv=3/2NK，结果画在同一个图里，如右所示。第二十三页，共四十页，2022年，8月28日第5节费米理想气体

一，T=0K时

——费米能第二十四页，共四十页，2022年，8月28日第5节费米理想气体

一，T=0K时

考虑温度为0K时，上面积分的上下限可确定。则：

再考虑粒子数可计算出费米气体的零点能:—费米能，0K时的粒子化学势.第二十五页，共四十页，2022年，8月28日二，T>0K时

三，费米气体的热力学量

第二十六页，共四十页，2022年，8月28日四，金属中的自由电子气体金属模型：离子——具有一定的结构，骨架；价电子——公有电子，并且考虑电子之间相互作用很弱，以及电子与粒子场受力平均。对于Cu,Ag,Au,碱金属，每个原子提供一个电子。则：原子数N=自由电子数N；金属体积V=自由电子气体V；金属温度T=自由电子温度T。第二十七页，共四十页，2022年，8月28日五，一些概念：费米能，费米温度，费米动量，费米速度

当T<TF时，可认为费米系统处于低温，有些独特的性质.TF

数量级约为104K.第二十八页，共四十页，2022年，8月28日六，金属中自由电子的热容量回顾：金属的热容量cv=3N0k.其中只包括原子的振动产生的热容量，为什么自由电子不产生热容量的贡献？温度影响的电子，范围大约是kT的间隔.受影响的电子数目大约是：

其中TF费米温度，通常金属中大约为104K.则电子的热容量贡献与原子的相比，可以不计.第二十九页，共四十页，2022年，8月28日第6节固体热容量

一：固体热容量的基本实验定律：1：常温情形：——杜隆－伯替定律相差5%左右。用能量均分定理可以解释。上一节还介绍了电子气体为什么对热容量不产生作用。2：低温情形：实验结果：而对于绝缘体γ=0，则项可判断T3为晶格作用产生的热容量。固体热容量理论：1，爱因斯坦理论；2，德拜理论。第三十页，共四十页，2022年，8月28日二：爱因斯坦固体热容量理论：1：爱因斯坦模型：N个原子的振动：相当于圆频率为ω的3N个简谐振动。量子理论认为：——晶格振动的爱因斯坦模型2：热容量公式：设固体温度为T，由N个原子组成，均具有圆频率为ω，根据爱因斯坦的固体模型，可看成是3N个简谐振动。第三十一页，共四十页，2022年，8月28日其中每个简谐振动的平均能量为：ω——需要根据不同固体实验测定。习惯上定义爱因斯坦温度θE来代替ω。3：与实验比较：当T>>θE时，有：当T<<θE时，有：高温符合实验结果：杜隆－伯替定律；低温定性符合实验规律cv→0。缺点：不能给出T3的规律。第三十二页，共四十页，2022年，8月28日三：德拜理论：1：德拜模型：修改了爱因斯坦模型。认为3N个振子不以同一频率ω振动，而各自具有不同的频率ω1，ω2，ω3，……ωα……每个振子的平均能量为：总能量为：从形式上解决了问题，求出U，则：但ω1，ω2，ω3……ωα，均需实验确定，N为极大的数量，全确定不可能。需要用其它方法解决此问题。则提出了——德拜频谱。第三十三页，共四十页，2022年，8月28日2：德拜频谱：通过低频下的电磁波驻波数目：普朗克公式在低频下的极限推论。对于固体，有：上式中第一项是弹性驻波在dω内的横波数目，第二项是纵波数目，不考虑偏振，相同情况下是横波数目的一半。而总驻波数目为3N，即：ωD——最大驻波圆频率。由上积分计算得：第三十四页，共四十页，2022年，8月28日则可用ωD表示g(ω)dω为：——德拜频谱。ωD——德拜频率，是待定参量，习惯上用德拜温度θD来表示。德拜频率测量方法：1，测量驻波速率；2，热容量标定。3：热容量：考虑ω的连续分布，求和变为积分：第三十五页，共四十页，2022年，8月28日代入德拜频谱其中D(x)称为德拜函数第三十六页，共四十页，2022年，8月28日验证实验结果：高温时：低温时：T<<θD，相当于x>>1，则：第三十七页，共四十页，2022年，8月28日1，试简要说明什么是爱因斯坦凝聚现象？回答要点：（1）：对玻色系统而言。（2）：T较高时，基态N0≈0，激发态N'(T)≈N。（3）：当T<Tc（临界温度，凝聚温度），N0(T)随温度T下降而显著增加。当T=0K时，N0(T)=N。（4）：在T=Tc处发生了相变现象，大量玻色子在动量空间凝聚到动量最低的状态。第三十八页，共四十页，2022年，8月28日2，简要介绍统计物理对固体热容量试验定律的解释。回答要点：（1）：实验表明：a,高温时cv=3R（杜隆－伯替定律）；b,T→0时，cv→0；c,且有在低温时，cv与T3