理论力学经典课件虚位移原理

理论力学经典课件虚位移原理第一页，共五十页，2022年，8月28日

引言

虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。

虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程，又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。第二页，共五十页，2022年，8月28日§17-1约束及其分类约束——物体运动所受到的限制1.

几何约束与运动约束yxOAA0l几何约束在质点系中，所加的约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。第三页，共五十页，2022年，8月28日第四页，共五十页，2022年，8月28日COyxvCC*运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。OyxAxByBxAyABvA第五页，共五十页，2022年，8月28日2.

定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束：非定常约束－约束方程中显含时间的约束：yxvOM第六页，共五十页，2022年，8月28日3.

单面约束与双面约束双面约束

——约束方程可以写成等式的约束。

单面约束

——约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。BByxOyxO第七页，共五十页，2022年，8月28日yxO单面约束还是双面约束？约束方程？yxOAAA0lA0l3.

单面约束与双面约束第八页，共五十页，2022年，8月28日4.

完整约束与非完整约束

完整约束

——约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。

非完整约束

——约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。第九页，共五十页，2022年，8月28日4.

完整约束与非完整约束COyxvCC*OyxAxByBxAyAvA约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。B第十页，共五十页，2022年，8月28日§17-2广义坐标与自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab广义坐标

——确定质点系位形的独立参变量。第十一页，共五十页，2022年，8月28日广义坐标

——确定质点系位形的独立参变量。用q1，q2，…表示。自由度

——在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式N=3n—s第十二页，共五十页，2022年，8月28日§17-3虚位移和理想约束1.虚位移xyOBAMF质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。第十三页，共五十页，2022年，8月28日虚位移与实位移的区别和联系（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MM1drdrerdr——实位移

r——虚位移实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。（2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。第十四页，共五十页，2022年，8月28日

2.虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。

W=F·

r

3.理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。

W=M·

∑FNi·

ri

=0第十五页，共五十页，2022年，8月28日§17-4虚位移原理FiFNim1m2mi

riFi——主动力FNi——约束反力

ri——虚位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零——虚位移原理第十六页，共五十页，2022年，8月28日

∑Fi·

ri=0上式称为虚位移原理的解析表达式应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。第十七页，共五十页，2022年，8月28日例题1已知：OA=r

,AB=l,不计各杆质量。求：平衡时F与M间的关系。BAO解：取系统为研究对象

∑Fi·

ri=0由运动学关系可知：MF第十八页，共五十页，2022年，8月28日CBADM例题2已知：菱形边长为a

,求：物体C所受到的压力。螺距为h，顶角为2

，主动力偶为M.FNrArC解：

(1)取系统为研究对象(2)建立虚位移间的关系第十九页，共五十页，2022年，8月28日xyCBADMFN解法二：取建立图示坐标系第二十页，共五十页，2022年，8月28日rCOABCDPQ例题3图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB=1/3，求此系统平衡时主动力P和Q间的关系。rBrA解：

(1)取系统为研究对象由运动学关系可知：第二十一页，共五十页，2022年，8月28日例题4图示系统中除连接H点的两杆长度为l外,其余各杆长度均为2l,弹簧的弹性系数为k,当未加水平力P时弹簧不受力，且

=0

，求平衡时水平力P的大小。解：

(1)建立图示坐标系(2)系统的虚功方程第二十二页，共五十页，2022年，8月28日(2)系统的虚功方程第二十三页，共五十页，2022年，8月28日例题5求图示连续梁的支座反力。PMqll2lABCD解：

(1)解除D处约束，代之以反力FD，并将其视为主动力。PMqABCDFDsEsD其中解得第二十四页，共五十页，2022年，8月28日(2)解除B处约束，代之以反力FB，并将其视为主动力。FBsBsCPMqABCD其中解得sE由虚功方程，得代入虚功方程，得第二十五页，共五十页，2022年，8月28日PMqABCDFAsAsCsE(3)解除A处约束，代之以反力FA，并将其视为主动力。由虚功方程，得其中代入虚功方程，得解得第二十六页，共五十页，2022年，8月28日§17-5用广义坐标表示的质点系平衡条件qk——广义虚位移第二十七页，共五十页，2022年，8月28日

Qk——广义力Q1

=Q2

=…=Qk=0★质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零令第二十八页，共五十页，2022年，8月28日广义力的计算方法1.按定义计算2.用一组特定的广义坐标变分来计算第二十九页，共五十页，2022年，8月28日2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFB例题6求平衡时1

、2与FA、

FB、

F间的关系。解法一：按定义计算，取1

、2

为系统的广义坐标。第三十页，共五十页，2022年，8月28日2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFB解得第三十一页，共五十页，2022年，8月28日解法二：（1）令：1≠0

，2=0

yxOAB1解得第三十二页，共五十页，2022年，8月28日（2）令：1=0

，2≠

0

yxOAB1解得第三十三页，共五十页，2022年，8月28日ACEDBM1M2M360°60°例题7已知：AC=CD=DE，M1求：平衡时M2

、M3。解：（1）令：1≠0

，2=0

ACEDB11解得第三十四页，共五十页，2022年，8月28日ACEDBM1M2M360°60°解：（2）令：2≠0

，1=0

32ACEDB60°rBrE由运动学关系可知：解得第三十五页，共五十页，2022年，8月28日§17-6质点系在有势力作用下的平衡问题1.平衡条件某质点系由n个质点组成，内有d个完整、定常的理想约束，处于势力场中。作用在各质点上的主动力Fi都是有势力，因此，该质点系是保守系统，它的势能函数V可以表示为各质点坐标的函数，即这些主动力Fi主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即将上式代入虚功方程，得第三十六页，共五十页，2022年，8月28日上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系其平衡的充分必要条件是：该质点系势能的一阶变分等于零。当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义坐标表示的势能函数第三十七页，共五十页，2022年，8月28日因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：2.平衡稳定性的概念（a）稳定平衡（b）非稳定平衡（c）随遇平衡。第三十八页，共五十页，2022年，8月28日3.单自由度系统平衡稳定性质的判别方法平衡位置：第三十九页，共五十页，2022年，8月28日例题8已知：AB=l，m,R。求：平衡位置并判别其稳定性。OABmgCxy解：取为其广义坐标，建立图示坐标系。第四十页，共五十页，2022年，8月28日llOAmm

研究：1、应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；跷板

2、应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；3、确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。如图所示为玩具跷板简图。在不计质量的木钉上固结两个与木钉夹角为

的刚性臂。臂端分别安装的质量均为m的小球。两臂等长均为。钉长OA＝d

，分别与两臂所夹角的范围。将木钉的尖端O放置在柱形支承的表面，玩者可随意让跷板旋转或摆动。跷板第四十一页，共五十页，2022年，8月28日OAmmllC2mg

解：一般情形下，跷板绕点O作定点运动。本例主要研究二维运动，因此，这是一个自由度的理想约束系统。取为广义坐标。以支点O作为零势能位置1.跷板的静平衡位置第四十二页，共五十页，2022年，8月28日OAmmllC2mg第四十三页，共五十页，2022年，8月28日OAmmllC2mg2.跷板的二维微振动方程为了计算系统的动能，令l1为每个小球到支点O的距离，系统的总动能为系统的总势能为由系统的机械能守恒，得将上式对时间求导，并注意到：得跷板的二维微振动方程第四十四页，共五十页，2022年，8月28日OAmmllC2mg3.跷板的固有频率第四十五页，共五十页，2022年，8月28日

结论与讨论1.虚位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移作用在质点上的力在虚位移上所做的功——虚功

2.理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。

∑