流体静力学莫乃榕

流体静力学莫乃榕第一页，共六十八页，2022年，8月28日目录§2-1静止流体的应力§2-2流体静止的微分方程§2-3重力作用下静止液体的压强分布§2-4液体的相对静止§2-5测压计§2-6静止液体作用在平面上的总压力§2-7静止液体作用在曲面上的总压力§2-8浮体和潜体的平衡及稳定第二页，共六十八页，2022年，8月28日思考1挡水墙的静水压强按什么规律分布?挡水墙所受的总压力是多少?第三页，共六十八页，2022年，8月28日思考2提升闸门所需多大的力F

?第四页，共六十八页，2022年，8月28日思考3珠穆朗玛峰顶上的压强只有0.3个大气压,空气密度只有地面空气密度的0.4倍?这是为什么?第五页，共六十八页，2022年，8月28日思考4新西兰人威廉•特鲁布雷利创造了徒手潜水115m的世界纪录。海面下115m深处的水压强是多少?第六页，共六十八页，2022年，8月28日目录§2-1静止流体的应力特征§2-2流体静止的微分方程§2-3重力作用下静止液体的压强分布§2-4液体的相对静止§2-5测压计§2-6静止液体作用在曲面上的总压力§2-7静止液体作用在曲面上的总压力§2-8潜体和浮体的平衡及稳定第七页，共六十八页，2022年，8月28日§2-1静止流体的应力特征特征1：静止流体只能承受压应力，即压强。如果静止流体受到拉力作用，则流体分子之间距离就会变化，发生运动。如果静止流体受到切力作用，则流体微团就会变形，发生运动。因此静止流体不能承受拉力和切力。静止流体可以承受压力。此时，流体分子的斥力与外力保持平衡。第八页，共六十八页，2022年，8月28日特征2：作用在静止流体质点上各个方向的静压强大小相等。证明：任取一个流体四面体。我们将证明该四面体的斜面上的压应力与另外三个坐标面上的压应力相等，从而证明特征2。设四面体Oabc的3条棱为Δx、Δy、Δz。，斜面abc的面积为A，外法线为n。第九页，共六十八页，2022年，8月28日3个坐标面上的压应力分别为px、py

、pz。斜面abc的压应力为pn

。四面体在4个表面力和重力的作用下保持静力平衡，其力平衡矢量方程为：第十页，共六十八页，2022年，8月28日x方向的静力平衡方程为式中，Acos(n,x)表示斜面在x方向的投影（即用一束平行于x轴的光线照射斜面所得到的投影）面积。由图看出：Acos(n,x)=第十一页，共六十八页，2022年，8月28日x方向的静力平衡方程可改写为：当四面体Oabc缩小成为一点时，Δx→0，Δy→0，Δz→0，于是有：px=pn。同理可证：py=pn，pz=pn。可见，任何一点所受到的各个方向的压强值都相等。第十二页，共六十八页，2022年，8月28日§2-2流体静止的微分方程作用在边长为dx,dy,dz的微元体的表面力和质量力的合力等于零。x方向的静力平衡：化简得同理第十三页，共六十八页，2022年，8月28日压差相距dx,dy,dz的两个邻点的压强差：两个邻点的压强差与流体密度、质量力、两点之间的距离有关。第十四页，共六十八页，2022年，8月28日质量力有势的概念如果存在一个空间函数w(x,y,z),满足则w=w(x,y,z)称为质量力的势函数。在重力场中:第十五页，共六十八页，2022年，8月28日§2-3静止液体的压强分布1.液体压强的分布式液体ρ=常数,质量力只有重力，f=g。取z轴为海拔高度方向，则（流体静力学基本方程）第十六页，共六十八页，2022年，8月28日流体静力学基本方程的另一种形式：h称为淹深。第十七页，共六十八页，2022年，8月28日2.测压管水头任意点的位置水头与压强水头之和称为测压管水头。它表示测压管液面到基准面的高度。第十八页，共六十八页，2022年，8月28日用开口管测压强，液柱高度为测压管液柱高度：用真空管测压强，液柱高度为第十九页，共六十八页，2022年，8月28日3.相对压强和真空压强绝对压强p（Pa）相对压强（表压强）P－Pa

Pa是当地大气压真空压强Pa－P第二十页，共六十八页，2022年，8月28日4.压强分布图承压面各点所受到的液体压强可用箭头表示。箭头长短与压强值成正比，箭头方向垂直指向物面。第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日§2-4液体的相对静止相对静止：对于运动坐标保持静止相对静止液体所受到的质量力包括重力和惯性力。单位质量流体受到的惯性力，其大小与加速度相等，方向则相反。第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日1.液体随容器的等加速度直线运动盛有液体的容器随小车以加速度a向右运动。设动坐标的原点位于液面中点。求压强分布：第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日令压强等于常数，得到等压面方程：液面也是等压面，故其方程为：第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日2.液体随容器作等角速度旋转动坐标原点在液面最低点。点向心加速度：ar=ω2r惯性力为离心力。第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日等角速度旋转容器内液体的压强分布：第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日等压面方程：液面方程：第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日例2-1圆柱形桶，高h，底面直径d，桶内盛有1/3体积的油，2/3体积的水。桶以角速度ω绕中心轴旋转。当ω为多大时，油全部被抛出？第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日解：解题使用高等数学结论：旋转抛物面所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。油全部甩出后，余下的水的液面呈漏斗状，液面最低点到桶底的高度设为h0，则有第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日利用液面方程求旋转角速度。第三十页，共六十八页，2022年，8月28日§2-5测压计1.金属压力计第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日2.压力传感器第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日3.液柱式压差计将不同的压强接入相互连通的测压管，则测压管液柱高度就不相同。1.U形管测压计测点的相对压强：第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日2.复式压差计图示的复式压差计有两个U形管组成。此压差计连接两根水管的测压点。求两水管的压差：第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日3.倾斜微压计第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日例2-3双杯式微压计两个杯内盛油，密度ρ’

=850kg/m3，直径D=30mm，联通管盛水，ρ

=1000kg/m3，直径d=5mm，当p

1=p

2时，油液面，水液面皆平齐。p

1>p2时，联通管水液面高差h=20mm。求：p1-p

2第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日初始时联管两边的水面平齐，设此时的水面与油面高差为h0。测压时，左联管水面下降至3，右水面升高至4。考虑水面3的压强。第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日容器里的部分油液进入了连管。第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日§2-6静止液体作用在平面壁的总压力结论：平板所受的总压力的大小F等于平板形心的压强乘以板的面积平面上的微小面积dA，左边承受液体压强p。右边承受大气压强pa。总压力为dF=(p-pa)dA。由此计算整个平面的压力：第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日矩形平板受到的静水总压力情况1：平板上缘与水面平齐。总压力的大小值:第四十页，共六十八页，2022年，8月28日矩形平板受到的静水总压力压力中心（总压力的作用点）的计算：第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日导引：平板承受不同分布荷载时的总压力平板受三角分布荷载:总压力为F=p1A/2，合力作用点距离板的两端的距离之比为2:1。平板受均布荷载:总压力为F=p2A，合力作用点在板的中心。第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日矩形平板受到的静水总压力情况2：平板上缘低于水面。压强分布如图所示，此分布可视为三角分布荷载与均布荷载的叠加。第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日例2-5矩形平板闸门可绕A转动。已知：闸门倾角θ=60°，宽度B=1m,左边水深H=6m,右边水深h=2m,闸墩挡水深度h1=1.5m。求：提升闸门所需的力Ft。解：平板左侧、右侧挡水长度L、l分别为：第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日F1作用点距A轴:L/2F2作用点距A轴:2L/3F3作用点距A轴:L-l/3第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日课堂练习均质平板闸门可绕铰轴转动。板长l=2.5m，板宽b=1.5m。两侧水深：H1=4m，H3=1m。铰轴到渠底的高度H2=2m。若使闸门不能自动开启。求板的自重G。解：第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日

F1F2F3G73552.5N36776.3N18388.1N153234N第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日§2-7静止液体作用在曲面壁的总压力曲面上的微小部分可视为平面，其面积dA，左边承受液体压强p。右边承受大气压强pa。微面积的总压力为dF=(p-pa)dA，其方向与微面垂直。由于各微小面积压力方向不同，因此计算整个平面的压力时需用投影式。第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日微小面积受到的压力在水平方向和垂直方向的分量分别为整个曲面所受到的压力在水平方向和垂直方向的分量分别为：第五十页，共六十八页，2022年，8月28日V称为压力体的体积。V是由无数条曲面上各点的淹深线所组成的空间的体积。总压力：第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日举例:压力体如图巨石挡水，垂直方向的总水压力以朝上为正，朝下为负。FZ=ρg(V

banc

-V

ebam)=ρgV

manc第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日例2-6半径R的水泥管，将左右两侧的积水隔开。左侧为纯水，密度ρ=1000kg/m3，水面与管平齐。右侧为泥浆水，密度ρ’=1200kg/m3，水深h。若左右两侧的铅直总水压力相等，求h/R之值。第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日

解：第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日解：方法1，试算法。第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日选初值θ=1.0rad。迭代过程值为：θ=1，0.984639650.9844843990.984484356方法2，迭代法。第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日§2-7潜体和浮体的稳定及平衡1.浮力浮力是浸没于液体的物体所受到的液体总压力在铅直方向的分力，可以用压力体法求得。例如，对于图中的浮体，如果液体的密度为ρ，则浮力为：第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日2.潜体的平衡与稳定完全没入液体的物体称为潜体。潜体所受到的浮力Fz的作用点D称为浮心。物体所受到的重力G的作用点C称为重心。潜体在液体中静止平衡时，浮力和重力必在同一铅直线上。如图(a)所示。第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日潜体如果受到外力作用而偏离其平衡位置之后，能否自行恢复到原平衡位置，这个问题称为潜体的平衡问题。如果浮心D在上，重心C在下，当潜体偏离平衡位置时，浮力和重力就组成扶正力偶，使潜体恢复到原来的平衡位置，这种平衡称为稳定平衡。如图所示(b)。第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日如果浮心D在下，重心C在上，当潜体偏离平衡位置时，浮力和重力就组成倾覆力偶，使潜体发生翻转而不能自行恢复到原来的平衡位置，这种平衡称为不稳定平衡。如图所示(c)。如果浮心D和重心C重合，则潜体在任何倾斜位置都能保持平衡。这种平衡称为稳定平衡，如图(d)所示。第六十页，共六十八页，2022年，8月28日3.浮体的平衡及稳定图(a)表示对称浮体的平衡。浮体与页面的交面AB称为浮面。浮心D与重心C的连线称为浮轴。浮心与重心的距离CD称为偏心距，记作e。浮体受到风吹、浪打等外力作用时就会发生倾斜。此时，浮体没入液体中的部分为A’B’，浮心为D’。浮力F’z与浮轴的交点M称为定倾中心。M到原平衡状态的浮心D的距离MD称为定倾半径。记作R。第六十一页，共六十八页，2022年，8月28日如果R>e，则浮力F’z