2022-2023学年山东省齐鲁名校高三下学期3月大联考数学试题及答案解析

齐鲁名校联盟2022～2023学年高三年级联考数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）．A． B．C． D．2．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为（）．A． B． C． D．163．已知，则（）．A． B． C． D．4．已知一个竖直放在水平地面上的圆柱形容器中盛有20cm高的水，若将一半径与圆柱底面半径相同的实心钢球缓缓放入该容器中，最后水面恰好到达钢球顶部，则该钢球的表面积为（）．A． B．C． D．5．地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M可通过地震面波质点运动最大值进行测定，计算公式如下：（其中为震中距）．若某地发生6.0级地震，测得，则可以判断（）．参考数据：，．A．震中距在2000～2020之间 B．震中距在2040～2060之间C．震中距在2070～2090之间 D．震中距在1040～1060之间6．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）．A．在上单调递增 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递减7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆C的长轴垂直，直线过椭圆C的上顶点与右顶点且与交于点A，若（O为坐标原点），且，则椭圆C的离心率为（）．A． B． C． D．8．已知数列满足：当时，，其中k为正整数，则使得不等式成立的n的最小值为（）．A．52 B．41 C．36 D．24二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（）．A．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势B．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228C．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时D．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为10．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于，两点，其中，且，则（）．A．直线l的斜率为 B．C． D．（点O为坐标原点）的面积为611．已知正方体的外接球表面积为，M，N，P分别在线段，，上，且A，M，N，P四点共面，则（）．A．B．若四边形AMNP为菱形，则其面积的最大值为C．四边形AMNP在平面与平面内的正投影面积之和的最大值为6D．四边形AMNP在平面与平面内的正投影面积之积的最大值为412．若，，，，则（）．A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，是夹角为120°的单位向量，若，，则，的夹角为__________．14．为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有______种不同的排队方法．15．已知，且，则的最小值为__________．16．已知在正方体中，，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知平面四边形ABCD中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积．18．（12分）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列，的通项公式．（Ⅱ）记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．（12分）如图所示，在直三棱柱中，E，F分别是线段AC，的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，且二面角的余弦值为，求的值．20．（12分）某网络公司常年负责A，B，C三个项目的开发与更新，每名员工一个月负责一个项目．若员工小明本月选择项目A，则他在下个月选择项目A，B，C的概率分别为0.4，0.2，0.4；若小明本月选择项目B，则他在下个月选择项目A，B，C的概率分别为0.3，0.1，0.6；若小明本月选择项目C，则他在下个月选择项目A，B，C的概率分别为0.2，0.6，0.2．（Ⅰ）若小明在9月选择项目B，求小明在11月选择项目B的概率；（Ⅱ）已知负责项目A，B，C的员工当月可获得的绩效工资分别为5000，4000，6000元，小明9月选择项目B，记X（单位：元）表示小明9月至11月三个月获得的绩效工资之和，求X的分布列以及数学期望．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若是函数的极大值点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）已知，证明：方程有且仅有1个正实根，且该正实根位于区间内．22．（12分）已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且，求O到直线MN的距离．答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．【答案】B【命题意图】本题考查不等式的解法、集合的运算．【解析】依题意，，故．2．【答案】A【命题意图】本题考查数学文化、复数的概念．【解析】依题意，，故所求复数的虚部为．3．【答案】D【命题意图】本题考查二倍角公式及诱导公式．【解析】，所以．4．【答案】B【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积．【解析】设钢球的半径为rcm，则圆柱的底面半径也为rcm，故，解得，故钢球的表面积．5．【答案】B【命题意图】本题考查函数模型、指对数的运算．【解析】依题意，，则，则，故．6．【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的伸缩变换以及图象与性质．【解析】依题意，．令，得，在上单调递减，在上先减后增．故选C．7．【答案】A【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质．【解析】设椭圆的焦距为，则直线，直线．联立，得．因为，故．因为，所以点B在椭圆C上，将代入椭圆的方程得，解得．8．【答案】C【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式，【解析】记数列的前n项和为，则，令，可知满足该式的k的最小值为6．因为，，，故n的最小值为．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AD【命题意图】本题考查统计图表、样本的数字特征、古典概型的概率．【解析】由图可知，2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量数据由大变小，故A正确；将2021年5月至2021年12月的月度日均发电量的数据从小到大排序，第4个数为225，第5个数为228.7，则所求中位数为226.85，故B错误；2021年11月，规模以上工业发电总量为亿千瓦时，故C错误；从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为，故D正确．10．【答案】BC【命题意图】本题考查抛物线的方程与性质、直线与抛物线的综合性问题．【解析】因为，所以点M在第一象限．显然直线l不与x轴垂直，设直线，联立，可得，则，．而，则，，则，故B正确；，解得，则直线l的斜率为，故A错误；，故C正确；，故D错误．11．【答案】ABD【命题意图】本题考查空间线面的位置关系．【解析】作出图形如图所示．设正方体的棱长为a，依题意，，解得．因为平面平面，且平面平面，平面平面，故，同理可得，，故四边形AMNP为平行四边形，则，故A正确；若四边形AMNP为菱形，则，则，故要使得该菱形的面积最大，只需AN最大即可，而AN的最大值为，此时点N与点重合，故菱形AMNP的面积的最大值为，战B正确；设，，则，记四边形AMNP在平面与平面内的正投影面积分别为，，则，，故，（当时取“＝”），故C错误，D正确．12．【答案】BC【命题意图】本题考查数与式的大小比较、构造函数法．【解析】，令，，则，故在上单调递增，则，即，故；而，令，，则，故在上单调递减，故，即，故；令，，则，由函数及的图象特征，再由，，可得，故在上单调递增，则，即，则，则．故选BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】90°【命题意图】本题考查平面向量的数量积及其应用．【解析】依题意，，故，的夹角为90°．14．【答案】240【命题意图】本题考查计数原理、排列组合．【解析】依题意，不同的排队方法有种．15．【答案】【命题意图】本题考查基本不等式及其应用．【解析】由题可知，故，则，当且仅当，时等号成立，故的最小值为．16．【答案】【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征、空间角的运算．【解析】作出图形如图所示．延长DC至E，使得，连接BE，延长MC，BE交于点G，连接，则即为直线l．以D为坐标原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，故，，故直线l与所成角的余弦值为．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本题考查正弦定理、三角形的面积公式．【解析】（Ⅰ）如图，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得．因为，所以，所以．而，，故，得．因为，故，故．（Ⅱ）因为，且，故，为等边三角形．所以，因为，所以．故梯形ABCD的面积．18．【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式、错位相减法、等比数列的求和公式．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则，解得，，故．因为，所以当时，．当时，，，两式相减可得，得，由题易知，则．所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）可如，故．，所以，，两式相减可得，故．故，为定值．19．【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角．【解析】（Ⅰ）因为，所以，而E为AC的中点，所以．因为平面ABC，平面ABC，所以．又，所以平面．因为平面BEF，所以平面平面．（Ⅱ）因为，设，则，．以E为坐标原点，以EB，EC所在直线分别为x，y轴，过点E与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，设，则，，，，，所以，，，．设平面BEF的法向量为，则，得，令，则．设平面ABF的法向量为，则，得，令，则．所以，解得．故．20．【命题意图】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列以及数学期望．【解析】（Ⅰ）小明在9月选择项目B，则小明在10月选择项目A，B，C的概率分别为0.3，0.1，0.6，小明在11月选择项目B的概率．（Ⅱ）依题意，X的所有可能取值为12000，13000，14000，15000，16000，，，，，，故X的分布列为：X1200013000140001500016000P0.010.090.540.240.12故．21．【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质．【解析】（Ⅰ）依题意，，令，得或．若，当时，，当时，，当时，，此时是函数的极大值点，符合题意；若，则，不符合题意，舍去；若，当时，，当时，，当时，，此时是函数的极小值点，不符合题意，舍去．综上所述，实数a的取值范围为．（Ⅱ）当时，令，观察可知，，单调性相同，由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增