弹塑性力学第十一章课件

第十一章

塑性力学基础§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型§11-2一维问题弹塑性分析§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e等效应变e、罗德（Lode）参数§11-4屈服条件§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力§11-6弹塑性应力应变关系增量理论3/27/20231§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.1单向拉压实验：不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力－应变曲线。BAC

sopeepBAC

sope’sO’软钢-合金钢-

3/27/20232§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型当应力－应变曲线在OA范围内变化，材料为弹性变化。当应力达到s时（软钢有明显屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生）将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为BAC

sopeepBAC

sope’sO’软钢-

合金钢-

3/27/20233§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变形存在。卸载按线性弹性。BAC

sopeepBAC

sope’sO’软钢-合金钢-

3/27/20235§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型而对于合金钢，无明显屈服，当

s时进入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，由O’点继续加载，在O’B段又是线性弹性变化，当

达到B点再次发生塑性变形，BAC

sope’sO’-’s=0——后继屈服函数’s=’s(p)3/27/20236§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型BAC

so’sO’’s’’

包辛格效应当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极限’’s

s——称为包辛格效应（Bauschinger.J.德国人）。3/27/20237§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.2常见的几种简化力学模型

1.理想弹塑性模型：加载时：=E

s=s

s

so

s理想弹塑性模型3/27/20239§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型2.线性强化弹塑性模型：加载时：=E

s

=Es+Et(-s)

s

so

sEEt线性强化弹塑性模型3/27/202310§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型在实际问题中，有时当弹性应变

e

p塑性应变，可忽略弹性变形。上述两种模型分别简化为：

s时,=0

so

=s

soEt

s+Et理想刚塑性模型

线性强化刚塑性模型3/27/202311§11-1金属材料的力学实验及几种简化力学模型2.金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈服应力s没有影响。结论：静水压力与塑性变形无关。3/27/202313§11-2一维问题弹塑性分析1.拉压杆的弹塑性问题图示为两端固定的等截面杆(超静定杆)，

aPN2EAxN1b设材料为理想弹塑性材料，在x=a处（ba）作用一逐渐增大的力P。平衡条件:

N1+N2=P变形协调条件：a+b=0

so

s理想弹塑性模型3/27/202314§11-2一维问题弹塑性分析（1）弹性解：

当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为代入变形协调方程为或由于ba，所以N1N2，将代入平衡方程。3/27/202315§11-2一维问题弹塑性分析(2)弹塑性解Pp

P

Pe:P=Pe后，P可继续增大，而N1=sA不增加（a段进入塑性屈服，但b段仍处于弹性）N2=P-N1=P-sA

力P作用点的伸长取决于b段杆的变形3/27/202317§11-2一维问题弹塑性分析3/27/202318§11-2一维问题弹塑性分析(3)塑性解：

PPpPee

N1=sA,N2=sA这时杆件变形显著增加，丧失承载能力则最大荷载Pp=2sA——极限荷载3/27/202319§11-2一维问题弹塑性分析-ss(1)材料为理想弹塑性;xMMy2.梁的弹塑性弯曲

2.1

假设:

(2)平截面假设(适用于lh);(3)截面上正应力

x

对变形影响为主要的;3/27/202321§11-2一维问题弹塑性分析2.2梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:(1)梁的弯矩zybh在线弹性阶段弹性极限状态（设矩形截面）:M=Me在截面上y=h/2处，或——最大弹性弯矩xMMy3/27/202322§11-2一维问题弹塑性分析h/2-+ssss-+y0y0y弹塑性阶段：MpMMe弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展，塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为3/27/202323§11-2一维问题弹塑性分析当y0=0时：h/2-+ssss-+y0y0y-ss+——极限弯矩3/27/202325§11-2一维问题弹塑性分析令

=Mp/Me=1.5（矩形截面）——

截面形状系数。1.51.71.15-1.17截面形状3/27/202326§11-2一维问题弹塑性分析在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得或代入梁弹塑性弯曲时M的表达式

得ss-+y0y0y3/27/202329§11-2一维问题弹塑性分析

(M

Me)MMpMeeo(3)梁弹塑性弯曲时的卸载：卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯矩M=0,但截面内的应力不为零，有残余应力存在。以矩形截面为例：3/27/202330§11-2一维问题弹塑性分析s+-+-s+=--++3/27/202331§11-2一维问题弹塑性分析2.3梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:xMMyzybh具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。中性轴的位置的确定：3/27/202332§11-2一维问题弹塑性分析zybh在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过截面的形心。

最大弹性弯矩

Me=sW-+s3/27/202333§11-2一维问题弹塑性分析zybh-+ss+-F1F2在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力为零来确定:

F1=F23/27/202334§11-2一维问题弹塑性分析-+ss-+ss+-F1F2zybh在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:F1=F2

或sA1=sA2

得A1=A2

——中性轴的位置由受拉区截面面积等于受压区截面面积确定。3/27/202335§11-2一维问题弹塑性分析极限弯矩

Mp=s(S1+S2)

S1和S2分别为面积A1和A2对等面积轴的静矩。作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为s,试求(1)图示梁截面的极限弯矩Mp,（2）当M/Me=1.2时，y0的值为多少?aazya)aazyb)3/27/202336§11-2一维问题弹塑性分析超静定梁由于具有多余约束，因此必须有足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。

下面举例说明这个过程。一端固定、一端简支的等截面梁，跨中受集中荷载作用。2.4超静定梁的极限荷载Pl/2l/2ACB3/27/202337§11-2一维问题弹塑性分析固定端弯矩最大，2）在弹塑性阶段：固定端首先发生塑性区域，随着荷载增加、固定端成为第一个塑性铰。1）在线弹性阶段Pl/2l/2ACBP6Pl/32ACB5Pl/32Pe<P<PPMPACB3/27/202338§11-2一维问题弹塑性分析固定端弯矩保持Mp，当荷载增加到极限荷载时，跨中弯矩达到Mp。3）极限状态Pl/2l/2ACBMPMP极限荷载Pp的确定可采用静力法，也可采用虚功法

。Pe<P<PPMPACB3/27/202339§11-2一维问题弹塑性分析根据平衡方程静力法Pl/2l/2ACBMPMP虚功法求得PpPMPMP3/27/202340§11-2一维问题弹塑性分析结构在极限状态时，应满足3个条件（1）、机构条件——成为几何可变体系（2）、内力极限条件——内力不超过极限弯矩（3）、平衡条件——始终满足平衡条件3/27/202341§11-2一维问题弹塑性分析作业：已知理想弹塑性材料的等截面梁，试求极限荷载。Pll(b)Pll(a)3/27/202342§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数3.1应力偏量的不变量和应变偏量的不变量：在第二章第六节介绍了应力张量分解：其中Sij

为应力偏量。类似应力张量分解，可将应变张量分解为：3/27/202343§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数应力张量

ij存在三个不变量、

和

。3/27/202344§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数类似、

和

的定义。1.可求应力偏量

sij

的三个不变量：

3/27/202345§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数3/27/202346§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数3/27/202347§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数3/27/202348§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数在主轴方向：3/27/202349§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数2.应变偏量eij的三个不变量：

第一不变量：第二不变量：3/27/202350§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数在主轴方向：第三不变量：3/27/202351§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数在单向拉伸时，三个主应力已知：1

0、2=3=0

代入

J2表达式,得对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同的等效应力e

3.2等效应力

e

和等效应变

e

：

1.等效应力e

(应力强度)：

或

——等效应力3/27/202352§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数3/27/202353§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数2.等效应变

e：

单向拉伸时1

0、2=3=-1

代入

表达式,得3/27/202354§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数当杆受拉伸进入塑性阶段，认为体积应变

e=0，即

1+2+

3=(1-2)1=0,得此时类似于e

的定义，在三维应力状态定义等效应变e：3/27/202355§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数

e以发生塑性变形定义的量（由

1、2、3

定义）3/27/202356§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数这个等效应变增量de在建立弹塑性应力应变关系增量理论用到

在变形过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬时的等效应变增量：3/27/202357§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数M(1+3)/2123P1P3P23.3罗德（Lode）参数：1.应力罗德参数：在应力莫尔圆中描述一点的应力状态123，当1、3确定,则最大圆半径确定(1-3)/2，但2的变化可导致两个内圆的比例或大小。这两个内圆的比例或大小可由罗德参数描述。3/27/202358§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数M为P1和P3的中点,定义应力罗德参数

M(1+3)/2123P1P3P23/27/202359§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数当2=1时,,=1当

2=3时,=-1

-1

13/27/202360§11-3

应力、应变偏量的不变量和等效应力e、等效应变e、罗德（Lode）参数2.应变罗德参数：

3/27/202361§11-4屈服条件4.1一维问题屈服条件:

一维问题包括：杆系的拉压（桁架）问题、圆杆扭转问题、梁的纯弯曲问题。这些问题每一点的应力状态（在弹性和弹塑性阶段）主方向始终不变，且知道它们的方向，所以了解不同材料在单向杆件拉压的屈服条件就可以应用到上述问题。3/27/202362§11-4屈服条件4.1一维问题屈服条件:

1.屈服条件：

理想弹塑性材料的屈服条件为：

f()=-k=-s=0

so

pE在屈服阶段，发生塑性变形。卸载后，再加载屈服条件不变。3/27/202363§11-4屈服条件s

o

pEEt

eABDFC线性强化弹塑性材料的屈服条件：加载：当

s时，材料为弹性变形；当

=s时，开始发生塑性变形:f()=-k=-s=0——初始屈服函数当

s是强化阶段，发生弹塑性变形。3/27/202364§11-4屈服条件卸载：如在强化阶段的B点卸载，按线弹性卸载至C点，有塑性应变保留（p=-e=-E）。如再次加载，则由C点沿CB按线弹性变化（不产生新的塑性变形）。s

o

pEEt

eABDFC当应力达到

B点时，B点应力为新的屈服极限，称为后继屈服极限。3/27/202365§11-4屈服条件f()=-k=-B=0

——后继屈服函数。

k=H(p)——k与塑性变形历史有关。s

o

pEEt

eABDFC3/27/202366§11-4屈服条件或：

3/27/202367§11-4屈服条件s

o

pEEt

eABDFC3/27/202368§11-4屈服条件小结：

理想弹塑性和强化弹塑性材料的一维屈服函数形式均可写成

f()=-k=0

——后继屈服函数k=s

理想弹塑性k=H(p)

强化弹塑性3/27/202369§11-4屈服条件2.加载、卸载准则:对于一维问题屈服条件已建立，由前面的讨论可知：强化材料，当

s时，加载和卸载的应力应变关系是不同的，加载服从于弹塑性规律；卸载服从弹性关系。这是材料在塑性阶段的一个重要特点，所以需要有一个判别材料是加载还是卸载的准则。

3/27/202370§11-4屈服条件强化材料：f()=-k=0d

0

加载过程（从一个屈服点到达后继

的另一屈服点

d=Etd=Et(de+dp)）d

0

卸载过程

d=Edd=0

中性变载s

oEEtAB3/27/202371§11-4屈服条件理想弹塑性材料：d=0

加载过程

d=0d

0

卸载过程

d=Ed

soEB3/27/202372§11-4屈服条件4.2三维应力状态的屈服条件1.金属材料三维应力状态的屈服条件与何有关三维应力状态的屈服条件

f=0

与何有关？f(ij,k)=f(1,2,3,k)=0类似于一维应力的屈服条件

f(,k)=0，三维应力状态的屈服条件应力3/27/202373§11-4屈服条件f(ij,k)=f(1,2,3,k)=0

k=const

——理想弹塑性材料

k=H((ij)p)

——强化弹塑性材料，

与变形历史有关。屈服条件也可写为：f(

，

,

，k)=0

对于金属材料的力学实验得出静水压力对金属材料的屈服无影响，则屈服条件

f=0可由应力偏量或应力偏量的不变量表示（J1=0）:3/27/202374§11-4屈服条件f(sij,k)=f(s1,s2,s3,k)=f(J2,J3,k)=02.主应力空间和

平面

(1)主应力空间:在外载的作用下，每点产生确定的应力，通常以应力分量（张量）ij表示，但应力张量的分量ij随坐标系选取的不同而变化的。但应力张量的三个主应力1,2,3

是不随坐标系改变而变化。以三个主应力为三维直角坐标系来讨论一点应力状态形象、直观、易理解。3/27/202375§11-4屈服条件以三个主应力为三维坐标系，则变形体内任一点

P的应力状态可在主应力空间找到P(1,2,3)相应的位置。1R32OQP(1,2,3)n

——矢量表示任一点

P的三个主应力3/27/202376§11-4屈服条件(2)

平面

平面：是通过主应力空间坐标原点

O的平面，其平面的法线为

即法线的三个方向余弦相等，均为

3/27/202377§11-4屈服条件模：

(3)应力矢量沿

平面内和

平面法线（）方向分解:

1R32OQP(1,2,3)n应力球张量：3/27/202378§11-4屈服条件应力偏张量：1R32OQP(1,2,3)n应力偏张量的模：3/27/202379§11-4屈服条件由静水压力实验知：静水压力（应力球张量）不产生塑性变形，所以由主应力空间一点应力矢量

可见，当

增加（或减少），也增加（或减少），对塑性无影响，而使达到屈服时依赖的增加.1R32OQP(1,2,3)n3/27/202380§11-4屈服条件换句话说，三维应力状态的屈服函数（曲面）与

平面相交于闭合曲线，当在闭合曲线内，则P点应力是弹性的，当达到闭合曲线，P点达到屈服极限。1R32OQP(1,2,3)n3/27/202381§11-4屈服条件3.两个常见的屈服条件：

（1）Tresca（屈雷斯卡）屈服条件：1864年法国工程师Tresca通过金属（铅）作了一系列挤压实验，结果提出当最大剪应力达到一定数值时（k），材料进入塑性状态。

即当：

1

2

3

（已知）

（初始屈服条件）3/27/202382§11-4屈服条件

k

值可由实验确定：采用纯剪实验,1=-3=s,2=0,代入Tresca屈服条件得

1-3=s

，

则

k=s/2，得1-3=2s，则k=s（剪切屈服极限）.采用单向拉伸实验：1=s,2=3=0,s（拉伸屈服极限）,代入Tresca屈服条件3/27/202383§11-4屈服条件由两个实验结果都可得到k，如果要求两个k值相同，则必须有s=s/2，但对大多数金属

s

s/2。1-2=2k

2-3=2k

3-1=2k

k=s

或

k=s/2

当三个主应力大小和次序不知道时Tresca条件：3/27/202384§11-4屈服条件在平面问题中：3=0，则Tresca条件为1321-2=2k、2=2k

、1=2k

1222k12k1-22k六个平面方程在主应力空间围成正六面体3/27/202385§11-4屈服条件（2）Mises（米泽斯）屈服条件：1913年德国力学家Mises对Tresca屈服条件进行修正，Tresca条件的不足是：a.未考虑中间主应力的影响；b.由六个平面方程（线性函数）构成屈服函数不光滑，在数学上处理不方便，因此Mises建议用一个圆柱面代替Tresca的正六棱柱面。由于圆柱体垂直

平面的，由前面已知，圆柱面的半径r可由应力偏量的第二不变量表示，3/27/202386§11-4屈服条件312——应力偏张量的模等于常数或

——Mises屈服条件k1

值可由实验确定：如采用纯剪实验,1=-3=s,2=0,

3/27/202387§11-4屈服条件代入Mises屈服条件，得

。Mises

屈服条件为：如采用单向拉伸实验：1=s,2=3=0,代入Mises

屈服条件，得

。Mises条件为：3/27/202388§11-4屈服条件由两个实验结果都可得到k1，如果要求两个k1值相同，则必须有

，对于大多数金属材料的剪切屈服极限和拉伸屈服极限的关系基本接近

。如果以s（单向拉伸）为屈服条件的控制参数，则Mises条件的曲面圆柱为Tresca正六面体的外接圆柱体。3123/27/202389§11-4屈服条件如果以s（纯剪切）为屈服条件的控制参数，则Mises条件的曲面圆柱为Tresca正六面体的内接圆柱体。3123123/27/202390§11-4屈服条件例：薄壁圆管内径为a,厚度为

。受拉力P和扭矩

MT共同作用，材料s为单向拉伸屈服极限，试写Tresca和Mises屈服条件表达式。

zPMTPMTaa解：

薄壁圆管的应力:3/27/202391§11-4屈服条件主应力:Tresca屈服条件（以s屈服条件为控制参数）：1-3=s

或

3/27/202392§11-4屈服条件Mises屈服条件：或

一些韧性较好材料（如钢、铜、铝）的薄壁圆管的实验结果比较符合Mises屈服条件。TrescMises0.580.51.0z/sz/s3/27/202393§11-4屈服条件作业：薄壁圆筒容器受内压p的作用，薄壁圆筒容器直径D=100mm,壁厚=5mm,材料为理想弹塑性的，屈服极限为s=300MPa.试用Tresca和Mises屈服条件求极限压力。Ｄp3/27/202394§11-4屈服条件4．加载、卸载准则（1）理想塑性材料加载和卸载因理想塑性材料不发生强化，f=0不变的。当应力在屈服面上移动f=0且加载当应力由屈服面退回屈服面内趋势时，但f=0且

卸载ijddnf=03/27/202395§11-4屈服条件（2）强化材料加载、卸载

f=0且

加载中性变载

卸载ijddnf=0d3/27/202396§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力设内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在内表面处作用均匀压力p，圆筒材料为理想弹塑性材料。本问题为轴对称平面应变问题。abp弹性分析当内压

p较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，其中的应力分量为3/27/202397§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力(a)随着压力p的增加，圆筒内环向应力和径向应力的绝对值都不断增加，若圆筒处在平面应变状态下，其轴向应力也在增加。3/27/202398§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区。弹塑性分析

对于厚壁圆筒的轴对称平面应变问题，因此每一点的主应力方向都知道：1=、：2=z=(r+)/2、3=r，其屈服条件可以简化为：3/27/202399§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力Mises屈服条件：Tresca屈服条件：(b)

由于这两种屈服条件，在这里假设的条件下只相差一个系数，因此在进行分析时可按Tresca条件计算，将结果中的

s

乘以一个系数，就变成了按Mises屈服条件的结果。3/27/2023100§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力

随着压力p

的增加，圆筒在内壁r=a处-r

有最大值，即筒体由内壁开始屈服。若此时的内压为pe

。由(a)式和(b)式可以求得弹性极限压力为(c)当p>pe时，在筒体内壁附近出现塑性区，并且随着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍为弹性区。3/27/2023101§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力由于应力组合

-r的轴对称性，塑性区与弹性区的分界面为圆柱面。

筒体处于弹塑性状态下的压力为pp

，弹塑性分界半径为c。此时对于弹性区和塑性区也可按两个厚壁圆筒分别进行讨论。r=cr=cr=c3/27/2023102§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力由于轴对称性，在内筒的外壁和外筒内壁分别作用均布径向压力rr=c=q，为求解塑性区的应力分量，应满足平衡方程与屈服条件，即r=cr=cr=c3/27/2023103§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力将屈服条件代入平衡方程，即得

或

将上式进行积分，得积分常数A

可由内壁的边界条件定出:A=-pp-slna。3/27/2023104§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力代入上式可求得r，再由屈服条件，可求出

，即求得塑性区的应力分量为：(d)

由上式可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压pp

有关，而与弹性区的应力无关。而且在塑性区内

>0,r<0

。3/27/2023105§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力

为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为c，外半径为b，承受内压q

的厚壁圆筒，由(a)式可得r=cr=cr=c3/27/2023106§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力式中

q,c

是未知量。从弹性区来看，r=c

处刚达到屈服，对比(c)式可得(c)3/27/2023107§11-5理想弹塑性厚壁筒受内压力将上式q代入弹性区应力分量，可得以c

表示的弹性区应力分量3/27/2023108§11-5