弹塑性力学第03章课件

第三章弹性力学平面问题§3-1平面应力问题和平面应变问题§3-2平面问题的应力函数解法§3-3代数多项式解答§3-4若干典型实例§3-5平面问题的极坐标方程§3-6平面轴对称应力问题§3-7圆孔孔边应力集中§3-8楔形体问题§3-9半平面问题*§3-10Airy应力函数的物理意义

§3-1平面应力问题和平面应变问题严格说来，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题（三维问题），从而要归结为求解复杂的偏微分方程组的边值问题。但是，当弹性体的几何形状和受力情况（包括约束条件）具有一定特点时，只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归结为所谓的弹性力学平面问题，在数学上属于二维问题。这样处理，将使分析和计算工作量大为减少，而所得结果却仍可以满足工程上对精度的要求。

根据弹性体的形状与受力特点，弹性力学平面问题可分成平面应力问题和平面应变问题两个类型。

一、平面应力问题

由于板很薄，外力又不沿厚度方向变化，应力沿着板厚又是连续分布的，因此，可认为在板的内部，这三个应力分量是很小的，不妨近似认为在整个板内为零。平面应力问题

注意到切应力互等性，可知，只剩下平行于xoy面的应力分量：将此三个应力分量看成与z无关的、关于x，y的函数

切应力互等定理两相互垂直平面上的切应力数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线，称为切应力互等定理。（材料力学P61）平面应力问题基本方程

在平面应力问题中，随着物理量的简化，基本方程也随之简化。or及0,畸变。这种畸变很小，并与z无关，而是x，y的函数。它可以从此式中独立地求出。

平面应力问题的应变协调方程

问题：平面应力问题的以应力表示的应变协调方程类似三维问题重新推导，能否直接用三维的结论简化而来？应变协调方程（一般情况)

应力解法

以应力表示的应变协调方程（一般情况）应力边界条件（一般情况）

二、平面应变问题考察图示水坝或受内压的圆筒，它们是母线与Oz轴平行且很长的柱体，所受体力和面力垂直于Oz轴，而且沿该轴方向均匀分布。对于这类物体，不妨认为沿z方向是无限长的。因而，柱体的任意一个垂直于z轴的横截面都可以看成对称截面，在对称截面上的每一点只能在其自身平面（与xOy平面平行）内移动，而沿z方向的位移w为零，因而在整个柱体内有w=0，由此在任意横截面内，沿x轴和y轴方向的位移分量u及v均与z无关，位移分量就简化为平面应变问题几何方程

将上式代入物理方程

并令不难证明

从而可得平面应变问题的物理方程。平面应变问题的物理方程

or平面应变问题的基本方程中，平衡微分方程及几何方程与平面应力问题相同，两类平面问题的物理方程的区别，就在于弹性常数E1，v1与E，v的不同。平面应变问题的应变协调方程平面应变问题的应变协调方程经简化得：

应力解法则以应力分量作为基本未知量，前面已说过，应力分量必须满足平衡微分方程以及静力边界条件，这是保证物体的平衡的充要条件，但这仅仅是静力上可能的平衡，不是实际存在的平衡，这组应力分量也不一定是真正的应力，而真正的应力不仅要满足平衡微分方程与静力边界条件，还要求与这组应力分量相应的应变分量满足应变协调方程，这样才能既满足了物体的平衡又满足了物体的连续，由此可知，应变协调方程在应力解法中是十分重要的。以应力表示应变的物理方程代入应变协调方程式中，得到以应力表示的协调方程。

§3-2平面问题的应力函数解法§3-2平面问题的应力函数解法对于常体力的情况此式表明：只要体力为常量，两类平面问题的应力协调方程是无区别的，通常称此式为莱维（Lévy）方程。

(a)(c)基本方程齐次方程解与任意特解之和首先求齐次方程通解引入两函数A（x，y）与B（x，y），并假定

因为所以方程（a）的任意一组特解，如

(a)便求得方程（a）的通解

由式（3-10）可知，不论是什么函数，只要四阶连续可导，由此求得的应力分量总是满足平衡微分方程（a）的。(3-10)将式（3-10）前两式代入方程（c），则得到(3-10)(c)(3-11)方程（3-11）称为双调和方程，函数（x，y）为双调和函数，又称艾雷（Airy）应力函数。

(3-12)静力边界条件可表示为

双调和方程的边值问题§3-3代数多项式解答逆解法(假定不计体力，分别以幂次不同的多项式作为应力函数)

1．取一次多项式为应力函数，即令=a0+a1x+b1y显然，该函数满足双调和方程式（3-11），并对应于无应力状态由此可见，在应力函数中，一次多项式可以删去，因为它不影响应力分量的值。

逆解法逆解法即先按某种方法给出一组满足全部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察在确定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。

2.取二次多项式为应力函数=a2x2

+b2xy+c2y2满足对应的应力分量为常应力状态3.取三次多项式为应力函数=a3x3

+b3x2y+c3xy2+d3y3

验证！如已知上述梁两端受到弯矩M的作用，但不知具体分布的形式，则根据局部性原理

圣维南原理

在求解弹性力学问题时，应力分量、应变分量和位移分量等必须满足区域内的三套基本方程和边界上的边界条件，因此，弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题。实际中要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界（放松边界条件）上的应力边界条件提供方便。表述1：若在物体任一小部分上作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内所产生的应力分布仅局限于该力系作用的附近区域，在离该区域的相当远处，这种影响便急剧地减小。这就是圣维南原理，或称为局部性原理。

圣维南原理表述2：若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来代替，则在力系作用区域附近的应力分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可以不计。4.取四次多项式为应力函数

该函数代入双调和方程后得到

3a4+c4+3e4=0

现在仅以其中的一项为例，即取

（3-16）§3-4若干典型实例

在工程实际中，常常是针对给定的问题进行求解的，这就要运用半逆解法。（一）悬臂梁端部受切向集中力(凑取多项式)

（二）悬臂梁受均匀分布荷载作用(分析物体受力特点)

（三）简支梁受均布荷载(将材料力学的一些结果加以修正)（四）三角形水坝(量纲分析法)

半逆解法所谓半逆解法，即对于给定的问题，根据弹性体的几何形状、受力特点或材料力学已知的初等结果，假设一部分应力分量或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量，把这些量合在一起来凑合已知的边界条件。另外，半逆解法也可以理解为针对给定的问题，假设全部的应力分量或位移分量作为已知，然后校核这些假设的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。

（一）悬臂梁端部受切向集中力设有图示悬臂梁，长为L，高为h，宽度取一个单位，在自由端受到向下的切向分布力作用，合力大小为P，不计体力。求它的应力和位移。这是一个平面应力问题.运用凑取幂次不同的多项式作为应力函数。从上一节可知，对式（3-16）所示的应力函数，梁边界上相应的面力与本题的情况大致相同，唯一的区别是比本题悬臂梁上、下表面多了均布切应力，为了消除这部分切应力，不妨在式（3-16）的基础上，加上一个与纯剪相应的应力函数b2xy.1.设应力函数2.验证是否满足双调和方程

3.应力分量

4.边界条件而在自由端x=0处，可以利用圣维南原理，放松边界条件，由于在x=0正好为零，因而只须写出

满足全部方程和边界条件，即为问题的解，显然，它与材料力学结果是一致的。

5.求位移分量

其中，a，b，c，d由约束条件以及式（j）关系式确定，而悬臂梁固定端的约束条件并不是唯一的，假设：

(j)梁的轴线的挠度方程由y=0得

（二）悬臂梁受均匀分布荷载作用图示悬臂梁的上表面受到均匀分布的荷载的作用，不计自重。这个问题可通过分析物体受力特点来求出应力函数。受横力弯曲梁内的应力分量主要分别由弯矩、挤压力及剪力引起。题设挤压力q沿x方向均匀分布，因而，不妨假定挤压应力分量与坐标x无关，即

代入为了满足双调和方程对于梁内x的一切值都必须成立的要求，只能令

已经删去了不影响应力值的一次项与常数项。边界条件

τxy与材料力学结果相同，而σx比材料力学结果增加了一个修正项，σy在材料力学中是忽略不计的，当梁比较细长时，这些差异是可以忽略的。

（三）简支梁受均布荷载图示所求的简支梁受均匀分布荷载作用为例，不计自重。将材料力学的一些结果加以修正，以满足全部的方程与全部边界条件，这也是一条求解的途径。这个问题按照材料力学的解为式（a）中σy=0的结果显然不满足边界条件:也不会满足弹性力学全部基本方程，只能放弃。而将剩下的两个应力分量写成普遍的形式来凑取应力函数，设

(a)边界条件

式（1）的第一、第三式已满足(l)式（3-20）与材料力学结果相比较，只有是相同的，而在材料力学的解中为零，的第一项为主要项，第二项为修正项，在细长的梁中，修正项占的比例不大，但当梁的长高之比缩小时，修正将变得明显。（3-20）（四）三角形水坝如图所示，水坝截面被看成沿下端伸向无穷，其形状由一个无量纲的α角来确定。平面应变问题用量纲分析法来求应力函数。假设水坝受到水的压力和自重的作用，水和坝的密度分别为ρ和ρ1，在线弹性力学范围内，应力分量必然与ρg和ρ1g成正比，它们的量纲为[力][长度]-3。假定本问题有多项式解，其函数形式必为

式（a）所示的应力分量的量纲一定是[力][长度]-2，从而可以判断N1，N2必定是x，y的一次幂函数式。可以确定应力函数必为x，y的三次多项式，即取

（a）*§3-5Airy应力函数的物理意义

存在问题：在解题的过程中找应力函数的盲目性较大一、艾里应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点上的物理意义二、采用边界及其导数的力学意义来选择应力函数

一、艾里应力函数的物理意义不计体力应力函数的物理意义[例1]单位厚度的薄板受力如图所示，现分别求A及D为起始点时的边界上的及其导数，以及域内的应力函数及应力，并进行比较。

二、采用边界及其导数的力学意义来选择应力函数以A为起始点，令

AB边：B点：BC边：C点

由以上分析可知，由于起始点的不同，应力函数值亦不一样，但仅相差ｙ的线性项，所以其所求应力结果相同。

解题步骤1.

根据边界上及其导数来选择应力函数。2.

代入双调和方程。3.

根据边界条件定积分常数。4.

由求得的应力函数求应力分量。5.

由应力分量求应变分量。6.由应变分量求位移分量。

§3-6平面问题的极坐标方程

对于曲梁、圆筒及扇形构件，如果用直角坐标求解，必然带来求解的难度。如用极坐标r，θ代替直角坐标x，y，可以使得求解带来不少方便。下面要一一建立极坐标表示的基本方程。（一）平衡微分方程

厚度为一个单位。r，θ坐标的正方向按图示箭头方向规定（r由坐标原点O向外为正，θ由x轴正向沿第一象限向y轴正向旋转为正）

（二）几何方程

（3-23）第一式易得。（3-23）θ一般是有两种原因引起的：1.ur≠0，uθ=0

线段AB的伸长率2.ur=0，uθ≠0

环向正应变

表示环向微段AB向r方向转过的角度切应变表示径向微段AC向方向转过的角度参考吴3-1节P34式(d)从x轴正向向y轴正向转动几何意义？（三）物理方程

对平面应变问题，只须将式（3-24）中的E、分别改成和。

（3-24）（四）莱维（Lévy）方程

采取数学上的处理

（五）应力函数与双调和方程

可以验证（3-26）式表示应力满足平衡微分方程

（3-26）

§3-7平面轴对称应力问题一、轴对称应力和相应的位移

二、厚壁圆筒内外壁受均布压力

三、曲梁的纯弯曲

一、轴对称应力和相应的位移在工程上经常会出现构件受到的外力关于坐标原点对称问题，因而可以假设应力函数和无关，即

展开式（a）并在等式两边乘以r4，便得到欧拉（Euler）方程：（a）设

or通解轴对称应力

（应力分量均与θ无关）与轴对称应力对应的位移不一定是轴对称的。

位移分量：

I，K，H与刚体位移有关。式（3-29）证实了应力轴对称并不表示位移也一定是轴对称的，而只有当物体的几何形状和受力情况均是轴对称的，位移才是轴对称的，而在此时环向位移uθ不管r，θ为何值都得为零，由式（3-29）的第二式得到

B=H=I=K=0

在这种状况下，应力分量则为

（3-29）而位移分量为

以上公式适合于平面应力问题，对于平面应变问题，只须让E1,1代替上述公式中的E，即可。

（3-30）

（3-31）

二、厚壁圆筒内外壁受均布压力考察内径为2a、外径为2b的很长圆筒，在圆筒内外壁分别受到均匀分布压力q1和q2的作用。几何形状与受力都关于坐标原点O对称。平面应变问题。边界条件

（3-30）q2=0，圆筒只受内壁压力时

三、曲梁的纯弯曲

图示曲梁，内半径为a，外半径为b，两端受弯矩M的作用。由于梁的每一个径向截面受到的弯矩都是M，显然属于应力轴对称问题，但曲梁的几何形状不对称于O点，位移分量是非轴对称的。边界条件

求位移分量θ角从曲梁的某一端量起

§3-8圆孔孔边应力集中

设有一个在x方向承受均匀拉伸（拉应力为σ）的平板，板中有半径为a的小圆孔如图所示。现在来分析小圆孔对附近应力分布的影响。以极坐标来求解。

假设在距圆孔中心距离为b（b》a）的圆周上，小圆孔的影响可以忽略。于是有

即（a）

式（a）表明：圆周b上的应力可以分两个部分来计算，最后进行叠加。

（a）

（1）圆周上受径向正应力，而孔壁径向应力为零，即

（2）外圆周上受到随θ变化的法向力和切向力的作用

设边界条件

叠加得

孔边

K称为应力集中系数。可以证明，板条双向均匀受拉时，K=2。

§3-9楔形体问题

量纲分析法一、楔形体顶部受集中力P的作用二、楔形体顶部受力偶M的作用平面问题一、楔形体顶部受集中力P的作用

P作为沿z方向单位厚度上的力，其量纲应为[力][长度]-1。应力分量应与P成正比，并和无量纲量α，β，θ以及r