哈尔滨工业大学 05 结构力学-平面有限元2课件

结构力学学科组HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

结构力学

<II>1§5-5平面等参数单元对于曲线边界问题，矩形或三角形单元不仅精度低，而且必然产生离散误差。如果通过缩小单元尺寸来改善计算结果，又将使未知量数目剧增。为了提高精度减少未知量，本节介绍一种工程有限元分析中广泛应用的等参数单元

[简称等参元(isoparametricelement)]2哈工大土木工程学院等参元的基本思想是：首先建立规整形状单元[称为母单元(motherelement)]的形函数；然后用母单元形函数和实际单元的结点坐标根据坐标映射确定所划分单元的几何形状，这个实际划分的单元称为“子单元”(mappingelement)；利用母单元形函数和单元结点位移建立子单元的位移场。进而利用势能原理进行一定的数学推导，建立等参元的单元刚度方程3哈工大土木工程学院母单元的形函数由结点座标映射出与（,

）点对应的任意一的（x,y）座标的对应关系5哈工大土木工程学院子单元内任意一点的座标矩阵结点座标矩阵子单元结点座标矩阵母－子座标间的变换形式矩阵母元形函数矩阵6哈工大土木工程学院由此得到结论1、由母元形函数性质可知，母元结点座标通过映射可得到子单元结点直角坐标；2、母元中的某条座标线通过映射可得到子单元中的一条斜直线；3、母元中正交座标轴映射的子单元的一个斜角座标系。斜角座标系是固定于子单元的局部座标系，而子单元的另一座标系是整体座标系。7哈工大土木工程学院座标（，）既是的直角坐标，又是子单元的斜角座标，因此可用母元形函数建立子单元的位移场。2、建立单元位移场9哈工大土木工程学院1子单元位移场与母单元的位移场是一样的，但子单元的位移场是以斜角(或曲线)坐标表达的，而母单元的位移场是以正则坐标表达的。因此，子单元的位移分布与母单元的位移分布即使在结点位移相同的情况下也可能是不同的。3、几点说明2、座标场和位移场它们是相似的，因为使用相同的形函数构造的，并且用相同个数的结点参数(结点位移和结点坐标)来描述，因此称这类单元为等参数单元。由此定义可见，等参元分析的关健在于建立各种结点数量时母单元的形函数。10哈工大土木工程学院3、若由结点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比由结点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所用结点参数个数少，则称为亚参元；反之，若阶次高，结点个数多，则称为超参元。11哈工大土木工程学院由13哈工大土木工程学院雅克比矩阵14哈工大土木工程学院5-5-2几种常用单元描述和位移模式1、8结点四边形等参元123456781526378415哈工大土木工程学院（1）统一方法1、由形函数的性质。用直接试凑法建立边界上新增结点的形函数由低阶母元形函数生成高阶母元形函数17哈工大土木工程学院2、计算低阶母元形函数在新增结点处的值。18哈工大土木工程学院3、对低阶母元角顶结点形函数进行“它点为零”的修正。19哈工大土木工程学院1、6结点三角形等参元152634152634L2=0L1=0L1－1/2=0L2－1/2=021哈工大土木工程学院母元形函数角结点

边中点

22哈工大土木工程学院图形变换位移场23哈工大土木工程学院25哈工大土木工程学院单元应力场26哈工大土木工程学院dL的计算在边界123456781526378429哈工大土木工程学院在结点上30哈工大土木工程学院31哈工大土木工程学院3、单元刚度特性公式正方形母单元32哈工大土木工程学院33哈工大土木工程学院三角形母单元34哈工大土木工程学院152634积分线要有所改变35哈工大土木工程学院对于边界表面力的等效荷载的微分弧长应视不同边界而异36哈工大土木工程学院37哈工大土木工程学院5-5-4数值积分等参元的单元刚度矩阵和等效结点荷载的计算公式中被积函数是十分复杂的，很难用精确积分得到显式(解析)积分结果。因而要采用数值积分方法，即在单元内选出某些点(称为积分点)，算出被积函数在这些点处的值，再分别乘以权系数，然后以求其和作为积分的近似值。数值积分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯积分法，因为它可以用较少的积分点达到较高的精度，从而可以节省计算时间。38哈工大土木工程学院1、一维高斯积分高斯积分点的座标高斯积分点的加权系数高斯积分点的函数值39哈工大土木工程学院2、二维高斯积分方形域三角域40哈工大土木工程学院5-5-5注意事项1、Jacobi行列式等于零，将使等参元分析失效。经映射的单元边界发生严重扭曲。正方形母单元映射成三角单元。某角点处映射后单元边界的切线夹角接近180。导致Jacobi行列式等于零的可能原因：41哈工大土木工程学院结构离散过程中避免出现单元过分畸形避免出现Jacobi行列式等于零的措施：边界单元过分畸形退化成三角形角点切线夹角接近18042哈工大土木工程学院3、根据变换可知母单元中的点在子单元中的位置。但无法从子单元中的点确定其在母单元中的位置。2、母单元中边点是等距离分布的，在子单元划分确定边线结点位置时也应尽量等距离分布4、当子单元网格划分的边界结点位于两角点连接线上时，映射后子单元的此边界将为一直线。但沿边界所求得的位移并不一定是线性变化的（因为结点位移并不一定在一条直线上）。43哈工大土木工程学院5-5-6计算实例见130页例题44哈工大土木工程学院5-5-7二维和三维计算程序简要说明阅读光盘介绍45哈工大土木工程学院§5-6Wilson非协调元*理论和计算经验表明，单元的计算精度取决于单元位移模式中所包含的完全多项式的次数，而非完全的高次项一般不能提高精度。WisonE提出一种构造非协调元的方法，对提高等参元计算精度和计算效率很有指导意义。46哈工大土木工程学院5-6-1双线性单元计算纯弯曲问题误差考察受纯弯曲作用单元

精确解反映了纯弯曲应力47哈工大土木工程学院采用双线性单元，其位移解

应力解不是纯弯曲应力导致误差的原因是位移模式中缺少x2和y2项48哈工大土木工程学院5-6-2Wilson非协调元为提高精度，Wilson提出在位移场中附加内部无结点的位移项附加位移参数向量，是单元内部自由度49哈工大土木工程学院50哈工大土木工程学院消去单元内部自由度经过凝聚处理的这种非协调元精度有显著提高。51哈工大土木工程学院5-6-3Wilson非协调元的收敛性不同单元的位移参数是不同的，因此这种单元的位移是不协调的，其收敛性不能得到保证。可是已经证明非协调元满足一定条件下，结果是收敛的。由于在和边界上分别为：52哈工大土木工程学院1当网格划分是矩形或是平行四边形单元时(此时|J|为常数)，非协调位移在单元尺寸不断减小时协调性能得到改善，能保证趋于常应变状态，因此分析是收敛的。2对任意的四边形划分，Wilson指出，以＝＝0（单元中心点）的Jacobi矩阵值作为整个单元各点的J矩阵，在此条件下计算单刚，则用非协调元也是收敛的。一些结论53哈工大土木工程学院§5-7结论与讨论5-7-1几点结论

三角形和矩形单元及等参元都是协调元，理论分析和算例都表明，协调元一定收敛，非协调元满足一定条件也是收敛的，而且有时收敛的速度更快。

三角形单元用面积座标描述较简便，而四边形单元用正则座标描述，公式统一简便。54哈工大土木工程学院

等参元可以是曲边单元，同样也可分为两大类，即三角形类和四边形类，选什么样的单元作母单元即产生什么样的等参元。正则母单元的形函数是构造等参元的必备条件。

母单元的形函数，可用试凑法或统一法由低阶(常应变三角形和双线性矩形)单元的形函数来得到。对于书上已介绍之外更高阶的母单元形函数，直接试凑可能遇到困难，而按统一方法虽然稍麻烦些但不会有任何困难。55哈工大土木工程学院

等参元单元刚度矩阵和等效荷载计算公式中被积函数都十分复杂，一般只能采用数值积分方法获得近似积分结果。

等参元(子单元)几何形状、位移模式都是由对应的母单元形函数插值构造的。母单元的点对应子单元点。但由子单元指定点一般不可能求得母元对应的点。

等参元当det[J]=0时将失效，因此在离散化时要注意避免出现det[J]=0的一些情况。56哈工大土木工程学院5-7-2几点讨论协调的单元其位移解答一般都小于精确解(真实解答)，也即协调单元的刚度比实际值大。请考虑为什么?(提示：所设位移模式一般并非实际位移。)