人教版九年级数学上册全册导学案

22.1二次根式(1)编号：001

学习目标

1、若"工有意义，则a的值为

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是

二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。2、若Q在实数范围内有意义，则x为()。

3、全心投入，全力以赴

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

学习重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；3、在实数范围内因式分解

难点：二次根式有意义的条件；x2-3=x2-()2=(x+_____)(x-_____)

学习过程

J1-2%

一、温故知新：4、在式子［-----中，x的取值范围是_____.

1、数3的平方根是—,算术平方根是；1+x~

2、正数a的算术平方根为,0的算术平

方根为;

3、解下列不等式并回忆解不等式的一般步骤

2x_3=3x+7

5、yjx2-4+^2x+y=0,则x-y=

二、自主预习，探究新知

1、式子后表示什么意义？6、已知y=，3-x+Jx-3-2,则y*=

2、什么叫做二次根式？如何判断一个式子是否为

二次根式？

3、好心20(。20)的意义是什么？如何确定一

四、反馈检测

个二次根式有无意义？

1、7V|o—2|+y/b—3—0,则ci~—b=

尝试训练：

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪

些不是？为什么？

V3()-V16()V4()2、式子用+士有意义的条件是()

A.x20B.xW(kH.x#—2

厂7-—20）27C.xW—2D.%W0

J-5（）3（）yx'+1（）

3、当x=时，代数式,4x+5有最小值,其

2、若历?有意义，则。的取值范围是最小值是o

三、学以致用4、在实数范围内因式分解：

1.下列各式中，二次根式有()(1)x2-1(2)4a2-11

07(13尸；②③\/(a—b)2；1；

----------时’/有意义;三岛有

3

A.2个B.3个C.4个D.5个意义的条件是

4.当x时，后方有意义.

22.1二次根式(2)编号：002

学习目标4、化简下列各式

1、掌握二次根式的基本性质：47=\a\(1)((4-3)2(a>3)

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

(2)7(2x-l)2-G/2X-3)2(x>2)

3、全力以赴，做最好的自己。

学习重点、难点

重点：二次根式的性质在=何.

难点：综合运用性质/=向进行化简和计算。

学习过程5、a、b、c为三角形的三条边，则

一、温故知新：

J(Q+Z?-C)~+忸-Q-=.

(1)二次根式,有意义，则x-

Vx-5-----6、把(2-x)、口二的根号外的(2-x)适当变形

(2)在实数范围内因式分解：V-2

22

X-6=x-()J(x+____)(x-____)后移入根号内，得()

二、自主号，探究新知

1、式子T4表示什么意义?如何用=卜A、Y2-xB、Jx-2-

来化简二次根式？C>-《2-xD、-Jx-2

2、在化简过程中运用了哪些数学思想？

7、趟。、b在数轴上的位置如图所示，那么化

尝试训练：

简|a-b|一■s/?的结果是()

1、计算："=^=

A.2a-bB.bC.—bD.—2a+b

72

7M)7(-0.2)b0ci

8、若二次根式J-2x+6有意义,

J(—20)2=化简Ix-4|-|7-x|=

四、反馈检测

当a=。时,y[a=1、计算下列各式._______

三、学以致用(1)(V15)2=(2)(-1)2=

1、化简下列各式:

⑵J(-(Up=(3)(2代)2=(4)716=

(DTOJ7

2.以下各式中计算正确的是()

A.一(一6户=-6B.(-V3)2=—3

(4)7(W=♦

(4)0C.——16)2=±16D.—(,^^11)2=^!

2、下列各式正确的是()

A.(V-2)2=2B.V-43、化简：J(--4>=

C.V(-2)，=2D.Jx

3、化简下列各式4、已知2Vx<3,化简：J(X—2)2+1-3|

(1)>0)(2)J(2X+3)2(X<-2)

22.2二次根式的乘法编号：003

尝试训练2：自学课本第6—7页内容，化简:

学习目标

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的①庖②J12a%2

性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

3、阳光参与，全心投入。

③J25>49@7100x64

学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算

术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术二、学以致用、展示提升

平方根的性质进行二次根式的化简。1、计算：79XV27=

三、学习过程

一、自主预习，探究新知：请同学们阅读课本第2、等式成立的条件是

7页内容，思考下列问题()

A.xNlB.TWxWl

1、二次根式的乘法法则是什么？2、如何运用二C.x'TD.x》l或xWT

次根式的乘法法则进行计算？3、下列各等式成立的是().

3、积的算术平方根有什么性质？A.4百X2后=8行B.5^X4拒=20百

4、如何运用积的算术平方根的性质进行二.次根式

C.4V3X3V2=7V5D.573X472=2076

的化简。

尝试训练1：自学课本6页例1后，依照例题进4、二次根式J(-2>x6的计算结果是()

行计算：A.276B.-276C.6D.12

(1)V9XV27(2)275X3V2

5、判断下列各式是否正确并说明理由。

(1)J(-4)X(-9)=J-4xy/-9()

(2)J3a2/=ab回()

(3)678X(-276)=6x(-2)78^6=-12A/48

(3)y/5a,J卜匕(4)75•V3a•日

(4)J4—xVl6=4xJ—xV16=4x3=12

V16V16

6、计算：

(1)V18xV3O.

7、化简：

(1)V360；(2)J32x，；

(2)J8abxJ6ab'；

三、反馈检测

1、|a-2|+&2+4/>+4+Jc2^c+^=0,则

•4a•&=()

A.4B.2C.-2D.1

7.化简：

2、下列各式的计算中，不正确的是()

(1)^2700；(2)A/202-162；

A.J(-4)x(-6)=Fx工=(-2)X(-4)=8

B.J4a，=V？x-\[a^=x-J(a2)2=2a2

C.折+42=J9+16=4=5

D.7132-122=^(13+12)(13-12)=713+12X713-12-725X1

(4)

3.化简二次根式J(-5)2x3得()

5.计算：3屈=

8、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变

形后移入根号内。

6、计算：

(1)6我X(-276)；

二次根式的除法编号：004

学习目标三、拓展延伸

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的阅读下列运算过程:

性质。

1_73_732_275_2A/5

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

6一百xg—3'旧―后x亚一5

3、全力以赴，做最好的自己。

学习重点、难点数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分

重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算母有理化”。

术平方根的性质。利用上述方法化简：

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术

21

平方根的性质进行二次根式的化简。⑴(2)___=

372

学习过程

一、复习回顾

1、计算：（1）378X（-476）⑶

四、学以致用:

(2)112abx瓜7

1、计算出人

DI的结果是（）.

BD.也

A.-V5-lC.V2

二、自主预习，探究新知：自学课本第7页一第77

8页内容，完成下面的题目：化简簿的结果是（

尝试训练1、自学课本例3,仿照例题完成下面2、)

的题目：V27

计算：（1）半（2）工+[-也B.2「V6

A.C.一---D._V2

V3V2\83飞3

3、计算：

2,2/

(1)-^=(2)

V48⑶M2

尝试训练2、自学课本例4,仿照例题完成下面的

题目：

4、化简:

64b2

化简：（1）(2)

~9a^（1）f

最简二次根式编号：005

学习目标

1、理解最简二次根式的概念。同理可得：----产=2+V3，

2、把二次根式化成最简二次根式.2-V3

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

学习重点、难点

,111

重点：最简二次根式的运用。(-------------1-------------------1-............+----------------------------

V2+1V3+V2V2009+V2008

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二

次根式的乘除混合运算。

(J2009+1)的值.

学习过程

一、复习回顾

1、化简(1)V96Z⑵半

四、学以致用，展示提升

二、自主学习，探究新知：自学课本第9页内容,

完成下面的题目：

1、什么是最简二次根式？

2、比较下列数的大小

2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？

(1)后与归

3、如何进行二次根式的乘除混合运算？(2)—7后与—6«

4、化简下列式子为最简二次根式：

3日

(1)(2)Jx2y4+x4y2

5、下列计算中:①层=言=|,②聆=：向

(4)%

⑶完全正确的个数是()

V20A.2B.1C.4D.3

6、化简Jx：+//=.(x20)

7、已知x=T—，则x--的值等于

三、拓展延伸V5-2x

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二

次根式的化成最简二次根式：

五、反馈检测

1_lx(V2-l)_V2-l_片1、下列各数中，与2-百的积为有理数的是

7m_(&+"_1)一百

()

A.6B.2+V3C.2-百D.-2+73

J_:1*曲-扬=万

73+72-(73+72)(73-72)-3-2'3、计算：*(--7^)-3,-(a>0,b>0)

b2\a

二次根式的加减法编号：006

学习目标2、计算：

1、了解同类二次根式的定义。

2、能熟练进行二次根式的加减运算。

3、全心投入，细心认真。

学习重点、难点

重点：二次根式加减法的运算。

难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。

学习过程

一、温故知新

(4)(V48+720)+(712-75)

1、什么是同类项？

2、计算：（1）2x-3x+5x(2)a2b+2ba2-3ab

二、自主预习，探究新知：自学课本第10—11页

内容，完成下面的题目：

1、什么是同类二次根式？

2、判断是否同类二次根式时应注意什么？

3、如何进行二次根式的加减运算？

尝试训练：1、试观察下列各组式子，哪些是同类

二次根式：四、反馈检测

(1)2也与3痣()(2)6与6()1、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是

（）.

(3)亚与而()(4)718-^712()

A.与B.与Jga%'

尝试训练2、自学课本例1,例2后，仿例计算:

(1)V8+V18(2)3748-9^1+3V12

C.dmn与\[nD.Rm+n与Vn-Tm

2、计算：

(1)3790+J--4.—

N5V40

三、学以致用，展示提升

1、二次根式：①疝；②JF；③岛@V27中,

与6是同类二次根式的是（）、、

A.①和②B.②和③

C.①和④D.③和④

二次根式的混合运算编号：007

学习目标

1、熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

2、积极参与，全力以赴。

学习重点、难点

重点：戢练进点二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

学习过程

一、复习回顾：1、填空

(1)整式混合运算的顺序是：___________________________

(2)二次根式的乘除法法则是：

(3)二次根式的加减法法则是：

(4)写出已经学过的乘法公式：

①②

2、计算：

⑴遥•收.出(2)£+括(3)2V3-V8+^V12+|V50

二、自主探究，预习新知1、探究计算:

(1)(78+73)X76(2)(4行-3倔+2痣

2、自学课本11页例3后，依照例题探究计算：

(1)(V2+3)(V2+5)(2)(2V3-V2)2

三、学以致用、展示提升1、计算:(限时8分钟)

(1)(|V27-V24-3^|)-V12(2)(273-V5)(V2+V3)

(3)(3V2+2V3)2(4)(V10-V7)(-V10-T7)

四、反馈检测

1、计算：(1)(780+90)4-75(2)V24-73-A/6X2A/3

(3)+十曲)(a>0,b>0)(4)(276-572)(-276-5收)

2、已知a=—,b=———，求y/a2+b2+10的值。

V2-1V2+1

2OO92009

会考真题：计算：(1)(V3+V2—1)(A/3—V2+1)(2)(3-Vio)(3+Vio)

五、拓展延伸

同学们，我们以前学过完全平方公式(。±疗=/±2"+凡你一定熟练掌握了吧!现在，我们

又学习了二次根式，那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如3=(Q)>5=

(75)2,下面我们观察：(&-=(0)2—2xlx收+F=2-2亚+1=3-2后

反之，3-272=2-272+1=(V2-1)2

3-2V2=(V2-l)2

^3-242=42-1

仿上例，求：(1)；)4+26

(2)你会算“_至吗?

(3)若飞a±2/=际+五,贝ijm、n与a、b的关系是什么？并说明理由.

《二次根式》复习编号：008

学习目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的

条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式

3.(1)V2-5V3-3V7-：(2)(-372-273)2

的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进

行化简二次根式。

学习重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。三、达标测试:

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质1、化简历了的结果是（）

化简二次根式。

A5B-5C±5D25

复习过程

一、自主复习

2、代数式中，x的取值范围是（）

自学课本第13页“小结”的内容，记住相关知识,Jx-2

完成练习：Ax>-4Bx>2

1.若a>0,a的平方根可表示为Cx>-4月/H2Dx>一4.且xw2

a的算术平方根可表示3、下列各运算，正确的是（）

2.当a____时，Jl-2a有意义,A2亚亚=6亚

a______时,«J3a+5没有意义。19x(11一件_3

B\9(25)V255

J(万一3)2=_______7(V3-2)2=

CJ-5xJ-125=J-5x(-125)

714x748=.______；A/72-V18=

D+y2=+J),2=x+y

V12+V27=_______;V125-V20

如果#（y>0）是二次根式，化为最简二次根

二、合作交流，展示反馈4、

1、式子、仁4=成立的条件是什么？

Vx-57^5式是（）

A*(y>0)B而(y>0)

2、计算：（1）2配+5收

4c&〉。）D.以上都不对

y

化简二四的结果是(11、计算:

5、)

V27

(1)2-\/6—V3———-+J54

2

A--BC--D-V2

3也3

(2)10.9x121

V0.36x100

(3)(3V2-2V3)2(-3V2-2^)2

Aa,b互为相反数Ba,b互为倒数

Cab=5Da=b

7、在下列各式中，化简正确的是()

A得3而B^=±|V2

Cyja'b-a24bDdx，—x?=xjx-1

8、把(a-1)J-----中根号外的(a-1)移人根号内

Va-l

四、拓展延伸

得()

12、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程:

Ay/a-1

C—y/ct—i3

9、计算.

(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路,

(1)V27-2V3+V45猜想4#的变化结果并进行验证.

(3)(6+2)(五一2)⑷(4—3>

„―।,y/3-A/2i>.11,»田(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自

10、已知------,b=>------求-----的值

22ab然数，且n»2)表示的等式并进行验证.

参考答案

二次根式(一)

1、(1)⑵±6⑶-8

2

2、(1)(±75)2(±V035)2

（2）（X+A/7）（X-77）（2。+而）（2”而）

（六）达标测试

（A组）（一）填空题：

3

1、-2、(1)x2-9=x2-(3)2=(x+3)(x-3);

5--

(2)X"-3=x'-(6)2=(x+>/3)(x-g).

(二)选择题：

1、D2、C3、D

(B组)(一)选择题：

1、B2、A

(二)填空题：

1、12、(X2+2)(X+V2)(X-V2)3、Oo

二次根式(二)

（五）展示反馈

1、（1）2x（2）x22、(1)a-3(2)-2x-3

（七）拓展延伸

（l）2a（2）D⑶-3

（八）达标测试：

A组1、（1）、2(2)、4-72、1

25/2

B组1、2x2、---a

3

22.2二次根式的乘除法

二次根式的乘法

（七）拓展延伸

1、（1）错（2）错（3）错(4)错

2、（1）-V6(2)—J2a

（A）达标检测：

A组1、（1）A(2)D(3)A

2、⑴6丽（2）4行一；

3、⑴6V15

5

B组1、(1)B(2)A

2、⑴-4873(2)±4^ab2；

二次根式的除法

(六)拓展延伸

⑴逅((3)

2)也4(4)

36T

(七)达标测试：

A组1、⑴A(C

2、(1)—(2)-(3)2(4)区

628y

B组(1)2A/2(2)—

4

最简二次根式

(四)合作交流

1、1

2、(1)必)居

(2)-776<-677

3、AB=3A/5.

(六)拓展延伸

11

------------1------------------1-........+---------------------------)(72009+1)=2008.

V2+1V3+V2J2009+J2008

(七)达标测试：

A组1、(1)C(2)B2、(1)xjx2+y2(2)4

3、(1)叵(2)--

22

B组1、a-b24ab2、』

4

22.3二次根式的加减法

二次根式的加减法

(四)合作交流，展示反馈

⑴—V3⑵673+75

9

⑶4-3“

(4)4x\[x

(六)拓展延伸

1、高：G底面边长262、—+3^

4

(七)达标测试：

A组1、(1)C(2)D

2、(1)-1272(2)

2

B组1、B2、(1)9V10(2)(2y-x)后

二次根式的混合运算

(三)展示反馈

(1)6-18后(2)276+6-710-715

(3)30+12#(4)-3

(五)拓展延伸

(1)1+y/3(2)V3-1(3)a-m+n,b-mn

(六)达标测试：

A组1、(1)4+18百(2)-4V2

(3)a+b-3y/ab(4)26

2、4

B组1、(1)272(2)-12、够用

《二次根式》复习

(-)自主复习

1.2.Cl<—，d<—

23

3.^--3;2-V34.4历；2

5.5A/3;375

(二)合作交流，展示反馈

1、x>52、(1)—⑵区近

103y

3.(1)V2-20V3(2)30+12立

（四）拓展延伸

1、屈2、5

（五）达标测试:

A组1、(1)A(2)B(3)B(4)C(5)C

2、⑴6+36(2)-

2

(3)a-4(4)X+9-2A/3X

3、4A/2

B组1、(1)D(2)C(3)D

2、(1)976(2)⑶36

20

23.1一元二次方程(1课时)编号：009

学习目标：3、将下列一元二次方程3x(x-l)=5(x+2)

1、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程

化为一般形式它的二次项是

的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形

一次项系数是常数项是o

式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项

4、要使(&+l)/a+(k-l)x+2=0是一元二次方

系数和常数项。

程，则1<=.

2、全心投入，做最好的自己。

学习重点：一元二次方程的概念。

三、反馈检测

学习难点：准确认识一元二次方程的二次项和系

1、判断下列方程是否是一元二次方程；

数以及一次项和系数还有常数项。

[C

学习过程：(1)2x—x2-----=0()

32

一、自学课本导图，走进一元二次方程

【做一做】根据题意列出方程：(2)2X2->'+5=0()

1、-个正方形的面积的2倍等于50,这个正方(3)ax2+/?x+c=0()

形的边长是多少？

(4)4X2--+7=0()

2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这X

个数，求这个数。2、关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元

3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽二次方程，则m.

多5cm,则铁片的长是多少？3、方程4x(x-l)=2(x+2)+8化成一般形式是

观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特，二次项系数是一，一次项

征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出

系数是__，常数项是.

一元二次方程的定义。

4、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的

二、学以致用、展示反馈

解；

1.在下列各式中①x?+3=x;②2x2-3x=2x(x-

(1)2x(x+l)=4(x+l)±1±2；

1)-1;(3)3x2-4x-5;@x2=--+27M--

X(2)X2+2X-8=0±2,±4

元二次方程的共有()

AO个B1个C2个D3个、已知关于X的一元二次方程

2.方程6x2-5=0的一次项系数是()("?-2)1+3x+〃/-4=0有一个解是0,求m的

A6B5C-5D0值。

23.2一元二次方程的解法(第1课时)编号：010

学习目标：1、会用直接开平方法解形如，=a(a三、学以致用：

1、解下列方程：

>0)或(mx+n)2=a(a>0)的方程；

(1)、4?=2(2)45-X2=0；

2、积极参与，做最好的自己

学习重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解

一元二次方程的步骤。

学习难点：理解并应用直接开平方法和因式分解

(3)12y2-25=0；(4)(l-3x)2=l；

法解特殊的一元二次方程。

学习流程：

一、温故知新

1、25的平方根是：.3的平方根是

2、平方根的性质有哪些？

(5)(x+2)2-16=0；

二、自主预习，探索新知：自学课本相关内容，

尝试完成下列问题：

1.解下列方程：(1)x—2=0;(2)16/一25=0.

解：移项，得岁=

直接开平方，得x=±g.

(6)3(X-1)2-6=O

所以原方程的解是否=—,

2、解下列方程：

(1)(x+1)2—4=0；

(7)X2+8X+16=4

(2)12(2—x)2—9=0.

23.2一元二次方程的解法(第2课时)编号：011

学习目标:(3)x(3x+2)—6(3x4-2)=0.

1、能熟练运用直接开平方法解一元二次方程。

2、尝试运用因式分解法解一元二次方程。

3、大胆尝试，全心投入。

学习重点：运用因式分解法解一元二次方程

学习难点：选择恰当的方法解决一元二次方程(4)x(x+1)-5x=0.

学习过程：

一、温故知新：解方程

(1)9x2=4(2)3/—75=0.；

(5)X2+2X-3=0

(3)(x+2)2-16=0；(4)、乂2_以+4=5

(6)X2-50X+225=0

二、自主预习，探究新知：阅读课本38—39页内

容，尝试完成下列题目：

(1)3/+2A=0；(2)x=3x.

解(1)方程左边分解因式，得

所以，或

原方程的解是由=，应=

四、反馈检测：

解(2)原方程移项，即=0.1、方程X(X-l)=0的解是()

方程左边分解因式，得____________=0.A.X=0B.X=0或X=T

C.X=1D.X=0或X=1

所以，或2、方程X(X+1)=3(X+1)的解是()

A.X=-lB.X=3

原方程的解是不=_____，x.产—

C.x.=-l,X=3D.以上答案都不对。

三、学以致用：解下列方程：2

3.(X+2)(X+3)=0,X=

(1)X2-2X=0；(2)(t-2)(t+1)=0；

4.方程(3X+1)(2X-3)=0的根是

23.2一元二次方程的解法(第3课时)编号：012

学习目标：1、掌握用配方法解二次项系数为1的一元二、学以致用：用配方法解方程：

二次方程；

(1)X2+8X-2=0(2)X2-5X-6=0.

2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。3、

全力以赴，做最好的自己。

重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；

难点：配方的过程。

学习过程：(3)X2+10X+9=0(4)X2-12X-13=0

一、温故知新，自主学习

1、因式分解：x2+2x+l=

x2-2x