2019年高考数学（文）考点一遍过考点28空间几何体的表面积与体积（含解析）

2019年高考数学（文）考点一遍过

考点28空间几何体的表面积与体积

考虫点攵

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知识整合,

_________/

一、柱体、锥体、台体的表面积

i.旋转体的表面积

圆柱（底面半径为〃圆锥（底面半径为r,圆台（上、下底面半径分别为

母线长为/）母线长为/），储母线长为/）

9E……

…——:：\2TT//-R

侧面展开图A/

%=兀/

底面面积3底=兀/S±jg=兀r"，s下底=兀厂

侧面面积S恻=2nrls«i=K”%=兀/（「'+八）

表=兀(/

表面积S表=2兀r(r+/)5衣=〃(〃+/)S2+/+//+〃)

2.多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.

棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：

二、柱体、锥体、台体的体积

1.柱体、锥体、台体的体积公式

几何体体积

柱体%体=S〃（S为底面面积，耳为高）,％柱=兀/〃（，为底面半径，/?为高）

9体=gs/z（S为底面面积，〃为高），%］锥为底面半径，/?为高）

锥体

%体=g（s'+J^M+s）/z（s、s分别为上、下底面面积，〃为高），

台体

〜台;^兀人卜口+尸厂+,卜人/分别为上、下底面半径，h为高）

2.柱体、锥体、台体体积公式间的关系

3.必记结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差;

（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.

三、球的表面积和体积

1.球的表面积和体积公式

设球的半径为R,它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为4兀心，即

4,

球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为一兀R'、

3

2.球的切、接问题（常见结论）

1a

（1）若正方体的棱长为则正方体的内切球半径是正方体的外接球半径是当。；与正方体所有棱相切

22

的球的半径是注Q.

2

（2）若长方体的长、宽、高分别为。，b,h,则长方体的外接球半径是从+/.

2

（3）若正四面体的棱长为。，则正四面体的内切球半径是迈正四面体的外接球半径是如与正四面体

124

所有棱相切的球的半径是注a.

4

（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.

（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.

考向一柱体、锥体、台体的表面积

1.已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体

的表面积公式，求其表面积.

2.多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.

3.求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面

图形后再求面积.

典例引领

典例1如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

(•)

o

A.20KB.24K

C.32兀D.28兀

【答案】D

【解析】由三视图知，该几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2指，

,在轴截面中圆锥的母线长是后a=4二圆锥的侧面积是KX2x4=8n,

下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,.".圆柱的侧面积是2nx2x4=l&i,一个底面的面

积是nx22=4K;空间组合体的表面积是28K,故选D.

【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去

掉，求表面积时常会设计此种陷阱.

典例2若正四棱柱ABC。一44aA的底边长为2,AG与底面A8CO成45。角，则三棱锥8—ACG的表面积

为

A.6+2及+26B.4+3夜+36

C.8++2.yj3D.10++y/3

【答案】A

【解析】由AG与底面ABCD成45。角，且正四棱柱ABC。-A5G。的底边长为2,可知棱柱的高为2及，故

三棱锥B—ACG的表面积为gx2夜x2夜+gx2及x2+；x26x2+gx2x2=6+2>/^+26.

故答案为A.

变式拓展

1.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积

为

・99

A.—B.61

2

C.62D.73

2.梯卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫柳，凹进部分叫卯，桦和卯咬合，起到

连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榨卯的三视图，其表面积

为

A.192B.186

C.180D.198

考向二柱体'锥体'台体的体积

空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、

锥体、台体体积的一般方法有：

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解.

①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可

以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的•种方

法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.

②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中

的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体

的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积

之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖

去的几个几何体的体积.因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减'’法.

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.

典例引领

典例3如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比

为

A3百.

A.-----1

n

C3A/3

c.---

Tt

【答案】A

【解析】正三棱柱与圆柱的体积比为4一=二丝（，力分别为圆柱的底面半径和高）,因此该几何体

的体积与挖去的圆柱的体积比为亚丁，选A.

典例4如图，几何体EF-HBCD中，DE平面4BCD,CDEF是正方形，力BCD为直角梯形，AB//CD,AD±DC,/\ACB

是腰长为2式的等腰直角三角形.

(1)求证：BCLAF.

(2)求几何体EF-4EC。的体积.

【解析】(1)因为是腰长为2夜的等腰直角三角形,

所以月CLBC.

因为DE坪面幺BCD,所以DE1BC.

又"〃CF,所以行1BC.

又ACCCF=C,所以BC_L平面月CF.

所以BCLAF.

（2）因为"BC是腰长为2段的等腰直角三角形，

所以AC=BC=2y/2,AB=^AC2+BC2=4,

所以40=BCsin^ABC=2小xsin450=2,CD=AB-BCcos/ABC=4-272xcos45°=2

所以DE=EF=CF=2,

由勾股定理得4E=^AD2+DE2=2#，

因为DEL平面4BCD,

所以CEl/lD.

又4。1DC,DEC\DC=D,

所以4D1平面CDEF.

所以匕l何体EF-ABCD=匕L何体A-CDEF+匕I何体F-AC7?=^^VSUlJUCDEF'+Q^^ABC'CF~—CD-DE-AD+

-x-ACBCCF=-x2x2x2+-x~x2j2x2y/2x2=—.

323323

变式拓展

3.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为匕，匕，则

甲乙

A.K>2匕B.%=2%

C.乂一匕=163D.乂一匕=173

4.如图，在斜三棱柱ABC—4AG中，底面A8C是边长为2的正三角形，M为棱6c的中点，64=3,

AB}=V10,NCBB】=60。.

（1）求证：AM,平面BCG4；

（2）求斜三棱柱ABC—AgG的体积.

考向三球的表面积和体积

1.确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积

或表面积也可以求其半径.

2.球与几种特殊几何体的关系：（1）长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；（2）正四面体的外接球与

内切球的球心重合，且半径之比为3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱

柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；（4）球与圆柱的底面和侧面均相

切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（5）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台

的高.

3.与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立

等量关系.

4.有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距

离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d=J/??一尸.

典例引领

典例5《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖麝.若三棱锥P-ABC为鳖腌，/%，平

面ABC,B4=AB=2,4c=4,三棱锥P—ABC的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为

A.8兀B.1271

C.20KD.24兀

【答案】C

【解析】如图，由题可知，底面△K5C为直角三角形，目乙3C=1则5C=LC2-加=跖,

2

则球。的直径2R=^P^+AB2+BC2=闻=邛…R=5则球。的表面积S=4成2=20K.故

选C.

典例6如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水,

当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为

500K3

A.----cm

3

1372兀20487r,

C.-----cmD.-----cm3

33

【答案】A

【解析】设球的半径为R,由题意知R,R-2,正方体棱长的一半可构成直角三角形，即△OB4为直角三角形,

如图所示.

则6c=2,BA=A,OB=R-2,OA=R,由7?2=（/?-2）2+4?,得R=5,

所以球的体积为a兀x53=©97T（cm3）,故选A.

33

变式拓展

5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是

A.16兀B.14K

C.12KD.8兀

6.三棱锥4-BC。的所有顶点都在球o的表面上，力6j_平面8cO，BC=BD=2,A8=2C0=4百，则球。

的体积为

」128

A.64兀B.兀

3

64256

C.7TD---------7T

33

考向四空间几何体表面积和体积的最值

求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：

一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根

据平面图形的有关结论直接进行判断；

二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.

典例引领

典例7如图是圆柱的母线,43是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于4,8的任意一点,AM=AB=2.

(1)求证:BC_L平面4AC;

(2)求三棱锥4-ABC的体积的最大值.

【解析】(1)因为C是底面圆周上异于的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径,

所以BCA.AC.

因为AAi_L平面A8C,BCu平面ABC,

所以A4_LBC.

又A4£AC=A,

所以8C_L平面AAtC.

(2)方法一：设AC=x(0<r<2),

在RtAABC中小=92_婚=)4--,

1111_____1________1____________

,/二梭锥（一ABC=33X耳,J4T2=3J%2（4_.2）=力-（公-2）2+4

故一俊带13s“8CXA41=32XACXBCXA4]=3尸3、'3^.

因为0<r<2,042<4,

2

所以当/=2,即厂企时，三棱锥Ai-ABC的体积取得最大值y.

方法二：在中乂0+40=432=4,

1

从而公驭1TBe=；B3CXA4I=1x^AOBOAAi='AOBC^X”空=消且仅当40soV2时等号

成立.

所以三棱锥Ax-ABC的体积的最大值为|.

变式拓展

高分别为2,«,b,且2a+8=|（a〉0,b>0）,

7.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、

则此三棱锥外接球表面积的最小值为

正舶倒视网

17

A.——71B•—兀

44

C.4兀D.5兀

声点冲关充

1.一个长方体共一顶点的三条棱长分别是G,G,、后，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表

面积是

A.1271B.18TI

C.36兀D.6兀

2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

俯视图

A.1B.2

C.3D.6

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

A.60

C.81D.114

4.一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为小则球的表面积为

A.207rB.20y(2n

C.167rD.1672TT

5.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五

百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？’'意思是："现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等

腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以

筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？"（注：一丈等于十尺）

A.24642B.26011

C.52022D.78033

6.某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.60兀B.75兀

C.9071D.93兀

7.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是10+2石，则该几何体的体积为

正视图

R46

3

「4企8

L.1D.-

33

8.如图，直角梯形4B8中，ADA.DC,AD//BC,BC=2C£)=2AD=2,若将直角梯形绕BC边旋转一

周，则所得几何体的表面积为

9.将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒

圆锥形器皿中，则水面的高度是cm.

10.正三棱锥的高为1，底面边长为2卡，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是.

11.如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABC。中，4045=60°,ADVDC,AB±BC,

QDJ_平面ABC。，PA//QD,1ft4=1，AD=AB=QD=2.

（1）求证：平面尸A8_L平面QBC；

（2）求该组合体QPABCO的体积.

直通高考

1.（2018新课标I文科）在长方体ABC。—44GA中，AB=BC=2,AG与平面所成的角为30°,

则该长方体的体积为

B.60

C.8逝D.8G

2.（2018新课标I文科）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。-02,过直线口。2的平面截该圆柱所得的截面是

面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A.12为B.12兀

C.8缶D.10兀

3.（2018年浙江卷）某儿何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是

俯视图

A.2B.4

C.6D.8

4.（2016新课标全国II文科）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

32

A.12?1B.—兀

3

C.8兀D.4兀

5.（2018年高考新课标HI卷文科）设A，B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，八铝。为等边三角形且

其面积为96，则三棱锥。-ABC体积的最大值为

A.1273B.18^

C.24。D.5473

6.（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位:cm)，则该几何体的体积（单位：cm3）是

俯视图

A.>1B.畀3

3K1

C.----F1D.-3-兀--F3o

22

7.（2017北京文科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

H—3—

侧（左）视图

A.60B.30

C.20D.10

8.（2016新课标全国I文科）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几

冗

何体的体积是——，则它的表面积是

3

A.17K

C.20兀D.2871

9.（2016山东文科）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

Wflu

12

A.一~1—71B.L旦

3333

1+J

c-+与D.

366

10.（2016四川文科）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为.

侧视图

俯视图

11.（2016浙江文科）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是.cmz,体积是

cm3.

俯视图

12.（2017山东文科）由一个长方体和两个一圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为:

正视图（主视图）侧视图（左视图）

—2—

俯视图

13.（2017天津文科）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为

14.（2017新课标全国II文科）长方体的长，宽，高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球。的表面积

为.

15.（2017江苏）如图，在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为

K，球。的体积为匕，则孑的值是

“2

16.（2017新课标全国I文科）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA

，平面SCB,SA^AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为.

17.（2018天津卷文）如图，已知正方体的棱长为1,则四棱锥Ai-BBiUQ的体积为.

AB

18.（2018新课标II文科）已知圆锥的顶点为S,母线S4,S3互相垂直，S4与圆锥底面所成角为30°,若△空S

的面积为8,则该圆锥的体积为.

19.(2017新课标全国I文科)如图，在四棱锥P-4BC。中，AB//CD,且N84P=NCDP=90.

(1)证明：平面P4B_L平面PA。；

8

(2)PA=PD=AB=DC,NAP£>=90，且四棱锥P-ABCD的体积为§,求该四棱锥的侧面积.

20.(2018新课标I文科)如图，在平行四边形中，A3=AC=3,NACM=90°,以AC为折痕将△ACM

折起，使点”到达点。的位置，且AB_LZM.

(1)证明：平面AC£>_L平面ABC；

参考答案

变式拓展

-----

I.【答案】C

【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是1、4的正方形；左、后两个侧面是上底为1,

下底为4,高为4的直角梯形；前、右两个侧面是上底为1,下底为4,高为5的梯形.

其表面积为S=lxl+4x4+gx(l+4)x4x2+gx(l+4)x5x2=62.故选C.

2.【答案】A

【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为2,6,3,下部分为长方

体，棱长分别为6,6,3,

其表面积为S=4x6x3+2x6x6+（2+6）x2x3=192.

故选A.

【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.

3.【答案】D

【网析】由申的三徵期可谈几何体力一个正方体中司花掉T长方体，正方体的慢长为I.长方体

的长为％友为4,福为6,财茂几何体的工程力耳1整一44》6-416,

由5二段图b如，谆几何‘4是-i出面也匕49叫万R,M*19的峭|,则谋匚闻体的W乃用【名

^^1x9x9x9=243.事-匕=416-243=173,

热送D

师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是

考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要

注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等“，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直

观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形

状.

4.【解析】（1）如图，连接4",

因为底面ABC是边长为2的正三角形，

所以AMJ_6C,且AM=J5，

因为8耳=3,NCBB[=60,BM=1,

所以用A/?=『+32-2xlx3xcos60=7,

所以B1M=布,

又因为做=回,

所以AA/2+4M2=10=AB：,

所以AM_L4用，

又因为用/BC=M,

所以AM_L平面BCC4.

<2）设斜三棱柱.3C-4与G的体积为V，

1।q

则，=犯可盟=3乂±54杯/（A/=-x2x3xsin60x73=".

~9

所以科三核柱3C-“G的体积为y

【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重

要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得AM_L6C；由各边长度，结合余弦定理，可求得用”的值,

再根据勾股定理逆定理可得AM，氏"，从而可证AW_L平面（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的

体积，结合三角形面积公式可求解.

5.【答案】A

【解析】由三视图知：几何体是球体切去,后余下的部分，球的半径为2,.•.几何体的表面积S=（1--）

44

乂4兀、22+n入22=16兀.故答案为A.

【名师点睛】（1）本题主要考查由三视图找到儿何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知

识的掌握水平和空间想象推理能力.（2）通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.

6.【答案】D

l22+22-(2^f

【解析】因为6C=6O=2,CD=26所以cosNC8Q=-------——

2x2x2

1CD

因此三角形BCD的外接圆半径为------------=2,

2sinZCBD

设外接球。的半径为R，则於=22+（空）2=4+12=16,.•.5=弓成3=变兀故选D.

233

【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截

面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体

的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.先确定三角形BCQ

外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果.

7.【答案】B

【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABC。-A与的四个顶点，即为三棱锥

A—CBQ-且长方体ABC。—A4aA的长、宽、高分别为2,a1,

.•.此三棱锥的外接球即为长方体ABCD-4用GA的外接球,

且球半径为R="+1+”=44+"-+产,

22

，三棱锥外接球的表面积为4m"+；+”=兀(4+/+房)=5乳(。-if+牛，

\一

\71

・•・当且仅当。=1,5==时，三棱锥外接球的表面积取得最小值;我.

24

故选B.

【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方

体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的表面积后可求出最小值.

(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时

要作一圆面起衬托作用.

(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可

考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

考点冲关

-------

1.【答案】A

【解析】长方体的体对角线的长是+(G『+(、后y=,所以球的半径是G，

所以该球的表面积是S=4兀=12无，故选A.

【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的

球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.

2.【答案】B

【解析】由题意可知该几何体的形状如图:

KC=1,CD=2,BC=3,AC1CD,四边形3CDE是矩形，ACrBC,

所以该几何体的体积为：；x2x3x1=2.故选B.

【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.三

视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为12,底面周长为16,棱

柱的高为3,故柱体的表面积5=2x12+16x3=72.

4.【答案】A

【解析】用一平面去截球所得截面的面积为兀，所以小圆的半径为L已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径

为+4=G所以表面积为4兀-5=20兀故选A.

5.【答案】B

【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为型口X38x5550=7803300（立方尺），一个秋天工

2

7X03300

期所需人数为'」=26011,故选B.

300

6.【答案】B

【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，其面积分别为：

圆柱侧面积：S1=6兀x7=42兀，圆锥侧面积：$2=—x6兀xJ3~+4~=15兀，

1,

半个球面的面积：5,=-x4KX3-=18K,所以表面积为75兀.故选B.

2

【名师点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面

已经不存在，不要多求面积.根据题意可知该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一

半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.

7.【答案】B

【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P—ABCD，其中底面A8CO,底面A88是正方形,

所以该几何体的表面积为S=22+2X；X2X+2X；X2XJ77F=10+2后,解得％=行，

所以该几何体的体积P=1X2?X追=越，故选B一

33

【名师点睛】该题考查的是有关应用儿何体的三视图求其体积的问题，解题的思路就是根据三视图还原几何体,

利用其表面积公式求得对应的高，之后借助于椎体的体积公式求得结果.

8.【答案】（3+夜）兀

【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，

则表面积为兀〃+27l/7z+7lT2=71X1x0+2兀xlxl+7txl=夜兀+3兀•

9.【答案】4\/18

【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为hcm,则水面圆的半径为/ztanBOOnXl//,则由nx42x8=1x（—A）2x

333

解得/?=我1且

10.【答案】8（5-2«）兀

【统桁】如阴，舞。是正三检HP-.0。的刑加30刈正三楼检四面『师*◎・环的罪杉

尸日是正三楼慢的高，即所=LE是月。边中6,.H^AE1,△•（7的边长为2石，

HCKHE=--x2^^=9PE—69到$»**S*JC*S&^tc■TPK■3^2>

61

#■

SAAb~~-•(2*)»由专体，E态用t卜;-■ACw，P~X^♦^K,JC♦.JMC"IjiT•

知她押面咫是S=4”(、8-2/=8(3-2R\R.

【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径H来求出R,

以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法.

11.【解析】（1）•••QDJ■平面ABC。，PA//QD,

：.而，平面458,

又,:BCu平面ABC。，

.,.PALBC,

又3CL43,PAu平面PAB,ABu平面PA8,PAAB=A,

：.BC±平面PAB,

又,:BCu平面QBC,

；.平面PABL平面Q6C.

(2)连接S。，过6作于。，

PA,平面ABCD,BOu平面/2?CD.

.\PA1BO,

yBOIAD,ADu平面PADQ,2/仁平面/MD0,PAf\AD^At

.二3。_1平面,

•・•加=期=2,NDAB=60°,

.•.△.3D是等边三角形，

:

/.^B-P1DQ=；皿"。=§XQx(l+2)2>-O=>/5.

vzxz>c=zx/rc=90°,

.*.NaD=NCM=30°,

又BD=AB=2,

BC=CD=—，

3

102百.旬。百

,•S^BCD=2x2X-y-xSin30=­•

••,QD1平面ABC。，

^Q-BCD=)S&BCD，QD=qX^~x2=:'

•..该组合体的体积V=vB_PADQ+展。=呼.

直通高考

1.【答案】c

【解析】在长方体ABC。-44G9中，连接8G，

根据线面角的定义可知NAG3=30°,因为A6=2,所以6G=2)§,从而求得。6=2近，

所以该长方体的体积为丫=2x2x2及=8后，故选C.

【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、

高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明

确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.

2.【答案】B

【解析】根据题意，可得截面是边长为20的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是近的圆，且高为2虚，

所以其表面积为5=2冗(应)+2wJ5-2点=12冗，故选B.

【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相

关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的

和.

3.【答案】3

【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2,底面为直角梯形，上、下底分别为1,2,梯形的高为

2,因此几何体的体积为:x(l+2)x2x2=6,选C.

［名师点睛］先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.

4.【答案】A

【解析】因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为2g，所以正方体的外接球的半径

为百，所以该球的表面积为4兀•（6>=12兀，故选A.

5.【答案】B

【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，

当点。在平面3C上的射影为M时，三棱锥Q-/5c的体积最大，此时，0D=0B=R=4,

，••S△皿=94